§4.1.1  方程的根与函数的零点

学习目标:

 (1).了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；

 (2).理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；

(3).能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数．

(4).初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．

教学重点：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理．

教学难点：对零点存在性定理的准确理解。

学习过程

一、课前预习准备

（预习教材P₁₁₅~ P₁₁₆，找出疑惑之处）

1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1它们的含义分别如何？

2.方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图象有什么关系？

3.一元二次方程+bx+c=0 (a0)的解法.

  判别式=              .

当    0，方程有两根，为            ；

当    0，方程有一根，为            ；

当    0，方程无实根.

4.方程+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax+bx+c (a0)的图象之间有什么关系？

二、新课导学

※学习探究

探究任务一：函数零点与方程的根的关系

问题：

① 方程的解为            ，函数的图象与x轴有     个交点，坐标为              .

② 方程的解为         ，函数的图象与x轴有     个交点，坐标为              .

③ 方程的解为           ，函数的图象与x轴有     个交点，坐标为              .

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的          

你能将结论进一步推广到吗？

新知：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点.

反思：

函数的零点、方程的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？

试试：

（1）函数的零点为              ；  （2）函数的零点为              .

小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.

探究任务二：零点存在性定理

问题：

① 作出的图象，求的值，观察和的符号

② 观察下面函数的图象，

在区间上      零点；      0；

在区间上      零点；      0；

在区间上      零点；      0.

新知：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有<0，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.

讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.

※典型例题

例1已知函数。问：方程在区间内有没有实数解?  为什么？

例2.求函数的零点的个数.

变式：求函数的零点所在区间.

小结：函数零点的求法.

① 代数法：求方程的实数根；

② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

※动手试试

练习1. 求下列函数的零点：

（1）.

（2）函数的零点为              . 函数的零点为           

练习2. 求函数的零点所在的大致区间.

三．总结提升

※学习小结

①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理

※知识拓展

图象连续的函数的零点的性质：

（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.

推论：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点.

（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.

学习评价

※自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数的零点个数为（    ）.

  A.  1    B. 2     C.  3      D. 4

2.若函数在上连续，且有．则函数在上（    ）.

A. 一定没有零点     B. 至少有一个零点

C. 只有一个零点     D. 零点情况不确定

3.函数的零点所在区间为（    ）.

A.    B.    C.    D.

4. 若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点．则的零点个数为     .

课后作业

1.判定下列方程存在几个实数解，并分别给出每个实数解的存在区间：

（1）；                 （2）。

2．判定方程在内是否存在实数解，并说明理由。

第二篇：2.4.1函数的零点说课稿

函数的零点

一、教材的地位和作用：《函数零点》是高中数学新课标人教B版第二章第四节第一课时的内容。在此之前，学生已学习了函数图象与性质及一次、二次函数这为过渡到本节课的学习起着铺垫作用。本节内容揭示了函数与方程的内在联系，不仅是对函数知识的深化拓展，而且对下一节用二分法求方程的近似解和后续的算法学习，不等式学习奠定了坚实的理论基础，因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要。

二、教学目标根据新课标要求以及函数零点在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标： 1 知识与技能目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性会求二次函数的零点。

2过程与方法目标：体验函数零点概念的形成过程，提示数学知识的综合应用能力。

3 情感态度价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化、数形结合以及由特殊到一般的辩证思想。

三、教学重、难点根据上述教学目标，结合学生的认知能力，确定本节课的教学重难点。

重点：函数零点的概念求法难点：利用函数零点作图

四、教法学法为了实现本节课的教学目标结合学生的认知规律，采用“自主探究，合作交流的”方法

新课标理念认为：教师和学生都是教学活动的参与者，实践者，合作者。学生有了二次函数知识做铺垫，宜采用“自主探究，合作交流”的方法，首先让学生在设置的学案指导下分组讨论，然后进行自主探究，自找规律，自得结论，最后师生共同确认。这样教师把课堂还给学生，把时间还给学生，把自主还给学生，有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程，从而提高学生做数学，用数学的意识。

五、教学过程

（一）、复习引入，创设情境

第一部分设计了两个问题：首先，为了面向全体学生，考虑到高一新生已有的知识体系，设计的第一个问题选择了常见的二次函数T1:如何判定一元二次方程是否有实根？T2:如何描绘二次函数的图像，决定图像形状的关键因素有哪些？

设计意图：本环节以问题的形式，通过老师提问，学生回答，让学生回忆了前面所学知识，并加深了对二次函数这个重要模型的应用意识。从而能顺畅的解决本节的问题。

（二）引出实例，形成概念

问题1 求方程x－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x－2x－3的图象；

问题2 观察形式上函数y＝x－2x－3与相应方程x－2x－3＝0的联系。函数y＝0时的表达式就是方程x－2x－3＝0。 问题3 由于形式上的联系，则方程x－2x－3＝0的实数根在函数y＝x－2x－3的图象中如何体现？

y＝0即为x轴，所以方程x－2x－3＝0的实数根就是y＝x－2x－3的图象与x轴的交点横坐标。

设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。这三问让学生了解了“方程与函数的转化”以及“数形结合”的数学思想，同时也提高了学生的作图，识图与用图形解决问题的能力。由这个问题大部分同学能够归纳总结出函数零点的概念。理解零点是连接函数与方程的结点。

（初步提出零点的概念：-1、3既是方程x－2x－3＝0的根，又是函数y＝x－2x－3在y＝0时x的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标。-1、3在方程中称为实数根，在函数中称为零点。）

概念形成：函数的零点：在坐标系中表示图像与x轴的公共点是（α，0）点。（重点强调零点指实数α，不是点（α，0）。） 为了加强同学们对零点概念的理解及利用求方程y=0根的方法求零点，趁热打铁给出一个练习巩固学生对上述方法的应用。 练习：求二次函数y= x-2x-3的零点。

（在这个环节让两名同学爬黑板分别用求根法和图像法来解决此题。显然方法不同但答案一致。对学生的做题过程作出点评，求根可用公式法和分解因式法，而图像法强调要规范作图、熟练用图。）

设计意图：在新课标的要求下，做到讲练结合，让学生掌握知识落到实处，这是本节课的重点之一，通过这个练习进一步巩固了学生对零点概念的理解，并利用让学生爬黑板的方式突出本节重点，还可以随时发现学生做题过程中出现的问题并及时加以纠正，补充。使学生的学习更加准确、实用。

（三）互动交流，研讨新知：根据新课程标准的要求，按照素质教育下的高效课堂模式，我组织学生分成小组讨论以下问题。

（1）函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

（2）求函数的零点有几种方法？①（代数法）求方程f(x)=0的实数根；

②（几何法）将函数y=f(x)与它的图象联系起来，并利用函数的性质找出近似零点．

（3）结合引例及练习，指出函数与方程之间的联系。

设计意图：如何求函数的零点是本节课的第二个重点。为此我采用“以问题研讨的形式替代教师的单纯讲解”，有利于提高 1 222222222222

学生学习的积极性与参与意识，通过小组讨论的模式加强了同学们的合作交流意识，并让学生进一步体会函数与方程之间相辅相成，相互转化的重要思想，深化了学生对概念本质的理解。

（四）应用概念，问题探究：

根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论：二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的零点： （１）△＞０，方程ax+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 22

（２）△＝０，方程ax+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或2

二阶零点．（３）△＜０，方程ax+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 2

要求学生填表，借助表格总结记忆

设计意图：本环节利用表格的形式有利于学生进行对比记忆，培养了学生思维的完整性、严密性和延伸性。填写表格的过程就是归纳总结的过程，学生在此过程中完善了自己的知识体系。

为巩固上述结论, 我们根据学生思维的连续性并引导学生发现性质，给出问题(4)

问题4：从函数y=x-x-6的图象中观察：（1）函数在哪些区间上有零点？（2）函数值在零点两侧附近、相邻零点与零点之间有什么变化？（3）推广到一般的二次函数有两个时零点，有什么性质？

设计意图：问题(4)的三个小问题从具体到一般逐次推进,让每一个层次的学生都能有自己的发现，再根据学生的回答来引导学生发现零点的两个性质，并为下一节零点是否存在的判定方法奠定基础，同时通过语言描述函数值的变化来感受数形结合思想的运用。

这时学生大多已经能理解零点的性质，我们可以进而提出问题5，让学生进一步感受通过方程的思想来研究函数的性质，体会数形结合的重要作用。

问题5：（1）求方程x-2x-x+2=0的根.（2）求函数y= x-2x-x+2的零点.（3）当x属于(-∞，-1)，（-1，1），(1，2)，(2，+ ∞)时，判断函数值的符号（4）根据上述性质画出函数的简图

（5）从图像上观察，函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于零？

学生对（1）求方程的根时，有一定的困难，教师适时引导学生分解因式求方程的跟。

设计意图：上述问题是对问题4 的延伸，是零点性质的应用。学生对（4）利用零点作图有一定的困难，因此，我把课本例题加以分解，让学生逐个突破，又采用动画的形式提高学生的注意力，师生看着课件共同分析，突破本节的难点。锻炼了学生改造信息、运用信息的能力，再次让学生体验函数零点在解决问题中的作用，也为以后我们解决高次不等式所用的“穿根法”做好了知识储备。

利用零点的性质作图是本节课的难点，为突破此难点，给出相应的练习

练习：求f(x)=(x-1)(x-2)(x+3)的零点并画图象。

设计意图：从学生的认知水平出发，解3次方程比较陌生，便于学生求零点该题直接以三个一次式乘积的形式给出，以期待学生顺利解决并能总结出此类问题的解题步骤：求方程根——找函数零点——判函数值符号——画图像。

（五）课堂小结，归纳反思：给学生五分钟的时间回顾、反思本节所学知识、所用数学思想方法。

设计意图：通过总结，反思，进一步巩固本节内容，有利于发现教学中存在的问题，并及时进行反馈、纠正，使知识结构更系统，更完善。

（六）布置作业：作业1是必做题，作业2是选做题。

设计意图：强化对本节知识的理解，落实学生对零点性质的应用，同时监督学生的作图能力是否完善。并设置有梯度的作业，分必做题和选做题，做到分层次教学。

六、教学评价：

本节课首先从同学们熟悉的二次函数问题入手，然后利用这个模型从特殊到一般，从抽象到形象去逐次解决问题，增强了学生的学习欲望，提高了学生学习的兴趣和信心。通过学生小组讨论，合作交流，使学生掌握了函数零点的概念及求法，对函数零点性质的应用也有了初步认识。在描述概念时，学生容易出现描述不准确，我们要及时加以纠正，函数的零点、方程的根、图像和x轴的交点横坐标三者本质一样，但名称不同，在画图像过程中我们要强调规范、严格作图，使学生养成严谨的学习态度。本节课还让学生体会了方程与函数的转化、数形结合等重要的数学思想。使学生在知识方面和能力方面都有所提高。

七、板书设计：

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