“方程的根与函数的零点”教学设计

一、教学目标

1、知识与技能：掌握函数零点的概念，领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，学会用函数的方法求解方程的根。

2、过程与方法：由观察几个具体的方程与相应函数的图像，发现方程的根与函数的零点之间的关系，培养学生观察和发现的能力，以及从特殊到一般的方法；继续培养学生数形结合的方法；学会用函数的思想方法解决方程的根的问题。

3、情感态度价值观：通过本节课学习，让学生继续体验 “从特殊到一般”的认知规律，体会函数在解决问题中的魅力。

二、教学重点难点

1、教学重点：函数零点的概念，方程的根与函数零点之间的联系，用函数的方法求解方程的根；

2、教学难点：方程的根与函数零点之间的联系，用函数的方法求解方程的根。

三、教学过程设计

（一）引入课题

简单介绍本章内容：（第一章）函数的概念→利用函数的图像分析函数的性质→（第二章）学习几个基本初等函数及其简单应用→（第三章）进入新的一章的学习，第三章：函数的应用。这里的函数是一般的函数，而不是哪一种特殊的函数。

设计意图：有助于学生理清课程内容，便于使所学内容形成一个完整的知识网络结构。

引出本节内容：本节课我们首先学习，函数在方程中的应用，方程的根与函数的零点。

（二）创设情景

提出问题：对于求方程2x?2?0，x?x?2?0的实数根，同学们能够使用多种方法很快得到答案，然而怎么求方程lnx?2x?6?0的实数根呢？

移项合并同类项、化系数为1、十字相乘法、求根公式法都不足于用来解决这样一般的方程的实数根，我们需要寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。通过本节课以及后面的学习，我们将学会这一点。

设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。

（三）新知探究

1、方程的根与函数图像

观察几个具体方程的根与方程对应函数的图像与横轴交点之间的关系 2

①求方程2x?2?0的根，画函数f?x??2x?2的图像；

②求方程x?x?2?0的根，画函数f?x??x2?x?2的图像； 2

③求方程e?0的根，画函数f?x??ex的图像； x

师生共同完成下面表格：

引导学生观察后发现：

①方程的不同实数根的个数＝函数的图像与横轴的交点个数；

②方程的实数根（值）＝函数的图像与横轴的交点的横坐标（值）；

说明：教学过程中也用不同颜色的笔填写以上表格中用不同颜色底纹标识的列；有必要说明“＝”只是为便于记号，用于表示左右相同或相等。

设计意图：考虑到本节内容：方程的根与函数的零点，并无意侧重与一元二次方程与一元二次函数，况且最后仍然要将结论推广到一般的情形，所以这里采用与教材不同的形式，使用几个不同的具体方程与

函数，得出方程的根与函数的零点之间的关系，继而直接讨论推广到一般的情形，而并不采用教材中从具体二次方程与函数，到一般二次方程与函数，再到一般的方程与函数的形式。采用的几个具体方程与函数也是学生应经非常熟悉的，所以也并不会增加学生发现的难度，却有利于学生最后把结论推广到一般。

2、函数的零点

问题引出：以上的结论（方程的根与函数图像之间关系的结论），对于一般的方程和对应的函数是否也同样成立呢？

为了便于以下问题的讨论，我们先给出函数零点的概念。

对于函数y?f?x?，我们把使f?x??0的实数x叫做函数y?f?x?的零点。

注意：零点不是点，是一个实数！！（它与方程的根是对应的，即对于方程来说，是方程的根，而对于函数来说，叫函数的零点）

练习巩固：指出上面（第一部分表格上面）三个函数的零点

说明：此时多媒体显示前面已经填好的表格，并且在表格右边多出一列，标题是函数的零点，分别把练习的答案填入（此处表格略）。有必要再次强调：零点不是点，是一个实数！

设计意图：先给出零点概念方便下面的讨论（零点＝函数的图像与横轴的交点的横坐标）；零点不是一个点，而是一个数，这一点初学者很容易混淆，因此有必要多加练习、强调，以加以强化，更好的掌握零点的概念。

3、方程的根与函数的零点

有了函数零点的概念，以及明白了函数零点表示的意思，重新表述上面的结论，我们有：

①方程的不同实数根的个数＝函数的零点个数（＝函数的图像与横轴的交点个数）；

②方程的实数根（值）＝函数的零点（值）（＝函数的图像与横轴的交点的横坐标（值））；

由此可知，求方程f?x??0的实数根，可以通过确定函数y?f?x?的零点来解决；反过来，确定函数y?f?x?的零点，可以通过求方程f?x??0的实数根来解决；而又由零点的定义，函数的图像与横轴的交点自然也可以确定。

因此，我们就建立了函数的零点与方程的根之间的关系，在适当的情况下也就可以使用函数的方法来解决方程的根的问题。

设计意图：建立函数的零点与方程的根之间的对应关系，提出用函数的思想方法来解决方程的根的问题。

4、将方程的根与函数图像之间关系的结论推广到一般的情形

说明：本部分内容教材不做要求，这里教师也只是简单的介绍一下，使学生有所了解即可。

推广到一般分析过程：方程f?x??0的根：表示使f?x??0成立的x值；

欲求解函数f?x?的图像与横轴交点的横坐标，即为令f?x??0，求出x的值。

所以，虽然方程的根与对应函数图像与横轴交点的横坐标，即方程的根与函数的零点表示不同的意义，然而却通过相同的式子去求解，因此它们得到的结果自然就是相同的。所以，对于一般的方程与其对应函数的图像之间，上面的结论同样成立。

设计意图：对推广过程做一定分析，有利于让学生明白数学的结论都是有严格的理论基础的，有利于使学生更好的更系统的掌握知识；考虑到学生负担，也并不做太高要求，了解即可，也可为有兴趣有能力的同学进行深入学习提供基础。

5、例题，巩固新知

例题：求函数f?x??4x2?12x?9的零点个数。

学生回答：可以求方程4x?12x?9?0的根的个数，从而确定零点的个数。

产生分歧：求解方程后发现方程有两个相等的实数根，那到底零点的个数是一个还是两个？

教师指出：在前面的结论中，实际上我们已经多次强调方程的根的个数是指不同的根的个数，所以，这里的两个根是相同的，不同的根也就只有一个，利用我们得到的方程的根与函数零点之间关系的结论，原函数只有一个零点。

其实，让大家做这道题目，就是要同学们记住：方程的不同根的个数＝函数零点的个数，两个或更多相同的根只作一个计！

设计意图：不但应用新知识解决了问题，还从中深刻明白方程的根个数对根的异同的要求，从而更牢固而又准确的掌握所学知识，更好的应用所学知识。

6、解决课前疑问

回顾前面问题：至此，你知道怎么求方程lnx?2x?6?0的实数根了吗？

学生回答：可以用函数的方法，求解函数f?x??lnx?2x?6的零点，也就得到方程lnx?2x?6?0的根。

通过求解函数的零点就可以得到方程的根，而由函数零点的定义，函数的图像与横轴的交点的横坐标就是函数的零点，所以我们通过作出函数f?x??lnx?2x?6的图像，得到函数的零点，进而得到方程2lnx?2x?6?0的根。

设计意图：新学知识得到应用，并且解决了以前不会解决的问题，感受学习新知识的乐趣，体会到成功的喜悦。

（四）小结

本节课我们通过几个具体的方程与其对应的函数图像之间的关系，在函数的零点的基础上，发现了方程的根与函数的零点之间的对应关系，并推广到了一般情况，提出了用函数的思想方法来解决方程的根的问题的方法，并且成功的解决之前的疑问，收获不少！

四、板书设计

说明：考虑到微格室的黑板实在太小，所以较多的内容都采用了在演示课件中展示，板书部分只是少许的至关重要和值得特别注意的部分。

第二篇：方程的根与函数零点教学设计

§3.1.1（1）  方程的根与函数的零点

一、教材分析

（一）.内容分析

《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，是一节概念课．

（二）．地位分析

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．

因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．

二、学情分析

高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．

三.教学目标分析

1．知识与技能

（1）通过课前练习使学生回顾一元二次方程的解法及有解的条件。

（2）通过探究让学生理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.

（3）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.

2．过程与方法

由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.

3．情感、态度与价值观

在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.

四、教学重点与难点分析

重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.

难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.

五、教学方法分析

在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.

 教学过程

教学反思：