《方程的根与函数的零点》教学设计及教学反思

授课教师：永宁回民高级中学 苏广鑫

一、背景分析

1、学习任务分析

函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在新课程教学中有着不可替代的重要位置.为什么要引进函数的零点?原因是要用函数的观点统帅中学数学,把解方程问题纳入到函数问题中.引入函数的零点,解方程的问题就变成了求函数的零点问题.

就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．即体现了函数与方程的思想,又渗透了数形结合的思想.总之，本节课渗透着重要的数学思想 “特殊到一般的归纳思想” “方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

2、 学生情况分析

学生在学习本节内容之前已经学习了函数的图象和性质,理解了函数图象与性质之间的关系,尤其熟悉二次函数,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数的零点提供了直观认识,并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持;学生有一定的方程知识的基础,熟悉从特殊到一般的归纳方法,这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依据.但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程，发现函数零点的存在性事造成了一定的难度。又加上函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括。因此教学中尽可能提供学生动手实践的机会，让学生亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图象和一元二次方程通过直观感受发现并归纳出函数零点的概念；在函数零点存在性的判定方法的教学时应该为学生创设适当的问题情境，激发学生的思维引导学生通过观察、计算、作图、思考理解问题的本质。

二、教学目标设计

1、结合《课程标准》对本节的要求，制定本节课的教学目标为：

（1）、以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系.

（2）、掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。

（3）、让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。

2、教学重点难点设计

重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

三、教学程序设计

四、教学媒体设计

根据本节课的教学任务以及学生学习的需要，教学媒体设计如下：

1、多媒体辅助教学

在对某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法的探究过程中，利用小马过河的形象实例把抽象的判定定理还原到具体的可观察可操作的层面上来，弱化纯粹的逻辑推理，把“数”转化到了“形”.

多媒体使用也为学生提供了更广阔的思维空间，提高了探究活动的质量。同时，为有效的指导学生活动，在教学中也使用了实物投影仪，展示学生所做的练习，并在此过程中队学生进行针对性的评价。

2、设计合理的板书

为对本课有一个整体的认识，教学时将重要内容进行板书，如：

五、教学过程设计

（一）设问激疑--创设情境

问题1：求下列方程的根．

（1）；           

（2）；  

（3）．

设计意图:从学生较为熟悉的方程（一元一次、一元二次方程）出发，再提出稍微难一点的方程符合学生的认知规律，进而使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．

（二）启发引导，初步探究

问题2：作出下列二次函数的图象

(1)y=x2+2x-3              (2)y=x2+2x+1           (3)y=x2+2x+3

以上各函数图象与相应方程的根有何关系？

设计意图: 与问题1联系起来结合一次、二次函数图象，判断方程根的存在性及根的个数，为理解函数的零点，了解函数的零点与方程根的联系作准备，充分发挥学生的主观能动性。

问题3:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系?

设计意图：把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力．

由此的出结论: 二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。

（三）形成概念

归纳：方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标。

定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

由此引出课题：等价关系

设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，并与原有的知识形成联系，利用方程与函数的联系，培养学生观察、归纳的能力，并渗透数形结合的数学思想。

辨析练习：

练习1、判断下列说法的正误．函数的零点是：

⑴ （-1，0），（3，0）；                       （     ）

⑵   x=-1；                                               （     ）

⑶   x=3；                                                （     ）    

⑷   -1和3．                                             （     ）

设计意图：利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.

例1、求函数的零点？

设计意图：巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步体会方程与函数的关系．

练习2：利用函数图象，判断下列函数又没有零点？并确定函数零点的所在的大致区间。

（1）；    （2）．   

设计意图：培养学生的知识转化应用能力，并给学生实践动手的机会，为下面函数零点存在性判定作铺垫。

（四）讨论探究，揭示定理

探究:在什么情况下，函数f（x）在区间（a，b）一定存在零点呢？

问题4：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组能一定曾渡过河？                               

设计意图：

在学生尚缺乏一定数学知识的提前下，为学生充分理解这个抽象的判定方法提供了有利得条件，这个问题以学生的经验为基础，并带有一定的趣味性和开放性，留给学生充分的空间，试图催生学生的深层思维，通过学生自身思维碰撞揭示结论，对突破教材的难点又重要的意义。

问题5：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当 A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？                           

                 A

  B      

问题6：A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？

最佳答案：用f（a）·f（b）<0来表示 （注意过程中的引导）

设计意图：

1、将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。

2、由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。

问题7：仅满足f（a）·f（b）<0可以确定有零点吗？

辨析练习：判断下列函数是否有零点？

设计意图：看似一个简单的问题却从直观上能揭示问题的本质，为学生充分理解这个抽象的判定方法提供了有利得条件，使得问题变得形象化。

问题8：那么在怎样的条件下，函数y=f(x)一定有零点？

设计意图：通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.

1．定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x) = 0的根．

2．说明：（1）、若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，不一定能得出f(a)·f(b)<0的结论，也就是说上述定理不可逆．（2）此定理只能判定零点的存在性，既不能判定有多少个实根，也不能得出零点的具体值。

3．判定零点存在性的方法：（1）利用定理;（2）利用图象．

反馈练习:

练习1、观察下表，分析函数在定义域内是否存在零点？

练习2、若函数y=5x²-7x-1在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且函数y=5x²-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值(    )

A、大于0  B、小于0  C、无法判断  D、等于零

设计意图：

1、通过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“函数零点存在或所在区间”这一类问题．

2、引导学生观察图象的单调性以及在每一个单调区间的零点情况，得出相应的结论，为后面的定理应用作好铺垫．

总结：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线

（1） f(a)·f(b)<0   函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；

（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点   f(a)·f(b)<0。

（五）观察感知，例题学习

例2、 已知函数f(x)=lnx+2x－6

（1）    是否存在零点？若存在零点则有几个？

（2）    指出函数零点所在的大致区间？

设计意图: 例2原题为：求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数，改为问题序列以追问的形式出现，问题由浅入深形成序列，即使对本节课知识的应用，也是对下节课二分法的一个铺垫，同时考虑了学生的实际情况，留给学生解决问题的不同思考途径，这样就抓住了教学的关键且分层预设问题有利于学生思维深刻性的培养

（六）知识应用，尝试练习

1、判断下列方程有没有根，有几个根？

(1)、-x²+3x+5=0

(2)、x²=4x-4

2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的区间：

（1）f(x)= －x3－3x+5；

（2）f(x)=2x · ln(x－2)－3；

（3）f(x)=ex－1+4x－4;

设计意图:对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.

（七）反思小结，培养能力

问题8：（1）．你能说说二次函数的零点与一元二次方程的根的联系吗？

（2）．如果函数图象在区间[a,b]上是连 续不断的，那么在什么条件下， 函数在(a,b)内有零点？

设计意图：通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.

回顾小结：

1、本节课你学到了那些知识？

（1）．函数零点的定义

（2）．等价关系

（3）．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断

2本节课渗透了什么数学思想方法？

（八）课后作业，自主学习

1、教材92页习题3.1（A组）第二题

2、求函数的零点的个数，并指出其零点所在的大致区间

设计意图:巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维．达到熟练使用零点定理的目的（没有图像的情况下），同时为下一节课作好铺垫。  

六、教学评价设计

1、本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳概念，由问题的提出进一步加深理解；这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

2、加强过程性评价，创设公平、平等、宽松、积极向上的课堂环境，这就要求对学生的语言行为及时地给予肯定性的表扬和鼓励，充分暴露思维，及时矫正，调整思路。

3、通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中肯定有点，指出不足。

4、通过作业反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

七、教学反思

1. 逐层铺垫，降低难度

由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．

2. 恰当使用信息技术

恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程.

3. 采用“启发—探究—讨论”教学模式

精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会.

第二篇：方程的根与函数的零点教学设计修改稿(刘彩凤)

《方程的根与函数的零点（第一课时）》教学设计方案

山西省汾阳中学 刘彩凤

一、内容和内容解析

内容：方程解法史话，方程的根与函数的零点

方程的求解在数学史上经历了很长时间，约公元50-100年编成的《九章算术》给出了一次方程和二次方程和正系数三次方程的求根方法；11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；13世纪，南宋数学家秦九绍给出了求任意次代数方程的正根的解法，国外数学家对方程的求解也有很多研究，数学史上，人们曾经希望得到五次以上代数方程的公式解，但最后被十九世纪挪威的数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的一般方程没有公式解。

方程的根是使方程f(x)=0左右两边相等的x的值，函数的零点是使f(x)=0的x,函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标是y=f(x)中纵坐标y=0时x的取值,所以他们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，其中体现了数形结合的思想：方程的根与函数图像的结合；转化与化归的思想：求方程的根转化为研究函数的图像与性质，利用求方程的根研究函数的图像与性质；函数与方程的思想。其中方程的根，函数的零点，函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标的关系是核心，零点是连接函数与方程的结点。

本节对“方程的根与函数零点”的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究,其学习平台是学生已经掌握了函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识.对本节课的研究，不仅为“用二分法求方程的近似解” 这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后的作用。

方程的根与函数零点的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法，这就是加强数形结合，由具体到抽象，由特殊到一般。首先在初中一元二次方程与一元二次函数学习的基础上，通过一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的观察，分析，归纳，发现方程的根与函数零点的关系，推广到一般情形，进一步用数学语言刻画函数零点的概念并应用，从而掌握求函数零点的方法。

本课的教学重点是

体会函数零点与相应方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。

掌握求函数零点的方法。

二、目标和目标解析

1．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与x轴的交点横坐

标以及相应函数零点的关系.从中体会由特殊到一般、由局部到整体的认知规律，提升学生

的抽象和概括能力。

2．能利用函数图象判断某些函数的零点个数，能顺利将一个方程求解问题转化为一个

函数零点问题。从中领会数形结合、化归等数学思想.

三、教学问题诊断分析

本节课的学习障碍是零点概念的认识，本课在必修1中的最后一章内容，学生已经学

习了函数的概念，对初等函数的性质，图像已经有了一个比较系统的认识与理解。特别是对

一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，

初步具备了学习所需的函数与方程的思想能力所以零点的概念从一元二次方程与其相应的

一元二次函数出发，在分析了众多图像的基础上，由图像与x轴的位置得到一个形象的概念，

不仅可以较容易的建立起它们之间的关系，而且一元二次方程的根的情况具有代表性，这样

由具体到一般很自然地使问题得到推广。

在高一学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都不很全面的基础上，本节课的

学习会遇到较多的困难，所以在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，尽可能提供

学生动手实践的机会,让学生从亲身体验中掌握知识与方法；环环紧扣提出问题引起学生对

结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位，必要时教师适当的引导和帮助。

基于上述分析，确定本课时的教学难点：

发现函数y=f(x)零点与相应方程f(x)=0根的关系。

四．教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，借助计算机或计算器来参与运算，通过多媒体课件演示提高

课堂效率加大容量容量大就好吗？教学中的辩证法要掌握好。，提高生动性，提高学习兴趣。

计算机（几何画板软件），计算器，展台

五．教学过程设计

（一）引言 在高次代数方程解的探索历程中，不少伟人作出了杰出的贡献：

1：花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。

2：数学家方台纳的故事1535年，在意大利有一条轰动一时的新闻：数学家奥罗挑战数

学家方台纳，奥罗给方台纳出了30道题，求解x+5x=10，x+7x=14 x+11x=20，……；诸如方程x3+Mx=N，M，N是正整数，比赛时间为20天，方台纳埋头苦干，终于在最后一天解决了这个问题。

3：阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。

..................................................................

方程的求解经历了相当漫长的岁月，让我们来感受数学探索的魅力吧！

（设计意图：不仅使学生知道五次以上一般方程，含指数对数的超越方程无求根公式，用方程的思想不能求根，要借函数的思想把方程问题转化为函数问题。从而明白为什么要学本节内容。而且使学生了解所学新内容的背景，体会人类在认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取精神及所能达到的崇高境界，增强探索精神，培养创新意识。）

（二）创设情景，引入课题

问题1：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？（学生独立思考）

（设计意图：从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，诱导学生发现用函数思想解决方程问题非常必要，进一步引发学生思考方程与函数到底有怎样的联系？）

预设的回答：学生发生认知冲突，陷入困境。

此时教师再逐步提出下面的问题进行引导：

1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？

以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。

2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？

以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。

3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？

以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。

教师讲解：把求方程的根转化为两个函数的交点问题，即：转化为函数y =lnx与函数y=-2x+6的交点问题，也就是我们可以用函数的思想解决方程问题，那么方程与函数到底有怎样的联系呢？下面我们从熟悉的二次函数来研究。

问题2：填写下表，并探究一元二次方程的实数根与其相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标的关系。（学生独立完成）

333

了解函数零点与方程根的联系作准备。）

预设的回答：学生填表并得出结论：方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标，方程的解的个数和函数的图象与x轴的交点个数是一样的。

问题3： 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠ 0) 的根与相应的一元二次函数y＝ax2

＋bx＋c(a≠ 0) 的图象与x轴交点的横坐标关系，上述结论是否仍然成立？其判别式?＝b2－4ac.（类比） （设计意图：由具体的一元二次方程和一元二次函数到一般的一元二次方程与一元二次函数，设置学生的最近思维发展区，既利于学生掌握知识又利于学生抽象思维能力的形成。）

预设的回答：学生填表，并交流归纳：如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴就没有交点；如果一元二次方程有实数根，它的实数根就是相应的二次函数图像与x轴的交点的横坐标，方程的解的个数和函数的图象与x轴的交点个数是一样的。

（三） 归纳推广，形成概念

问题4：对于一般的函数（高次函数，指对数函数等）与方程是否也有上述的结论成立呢？（类比）

（设计意图：遵循由特殊到一般的认识规律，由具体的二次方程和二次函数到一般的二次方程和二次函数，再到一般的方程，函数，使学生感受函数零点概念的来龙去脉，体验自主发现的过程，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想。）

（活动方式：教师通过几何画板作出以下函数的图像：

（1）f(x)=-x３-３x＋５=0 （2）f(x)=lnx+2x-6 （3）f(x)= -ex-4x

学生观察图像归纳总结。）

（教师提示：由一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠ 0)抽象出方程f(x)=0，由一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)抽象出函数y=f(x)。）

预设的回答：学生归纳：方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。方程f(x)=0的解的个数和函数y=f(x)的图象与x轴的交点个数是一样的。

教师给出函数零点定义：

对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

追问：函数的零点是一个点吗？函数的零点在方程中如何体现？在函数的图像中又如何体现？试论述三者之间的关系？（师生共同讨论归纳）

（设计意图：理解零点概念，领会其实质，培养学生的观察和归纳能力，并体现等价转换思想。）

小结：函数的零点不是一个点，而是一个数，函数零点，方程的根，函数图像与x轴交点的横坐标它们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，并引导学生得出零点的三个重要的等价关系：

方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图像与X轴有交点 函数y=f(x)有零点

给出零点概念后，教师向学生指出：借助方程可以研究相应函数的性质，反之借助函数也可以研究方程根的情况。可以揭示其中蕴含的数学思想。

（四）初步应用，自主练习

问题4：一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a> 0) 的零点的情况怎样？

填下列表格。（学生完成）

（设计意图：让学生对二次函数零点概念产生直观，完整的认识，深化零点概念，进而了解求方程的根就是确定函数零点这一本质。）

活动过程：

师：引导学生利用函数零点的意义，探索二次函数零点的情况。

生：根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像和性质，独立完成对二次函数零点情况的分析，并进行交流，总结概括形成结论。

问题5：分别指出问题2，问题3中涉及到的函数的零点。

（设计意图：让学生对二次函数零点概念产生直观，完整的认识，深化零点概念，进而了解求方程的根就是确定函数零点这一本质。）

预设的回答：学生学生容易把函数的零点写成点的形式。

问题6：1：求下列函数的零点. （独立思考）

(1)f(x)=2x-3 (2)f(x)=Lnx-1

(3)f(x)= 3 x-9 （4）f(x)=2x+x

（设计意图： 将求函数的零点拓展到二次函数以外的其他基本函数中去不仅巩固函数零点的定义，而且可以使学生从错误中加深对零点定义的理解。）

预设的回答：学生容易把函数的零点写成点的形式。

2：利用函数图象判断各方程有没有根,有几个根。（独立思考）

(1)-x2+3x+5=0 ⑵2x(x-2)=-3 ⑶x2=4x-4 ⑷5x2+2x=3x2+5 (5)x3-x=3 (6)

（设计意图：培养学生对知识的转化应用能力。）

预设的回答：学生可能会直接解方程求解。

此时教师提示：要用函数的观点解决方程的问题，注意对知识的转化。

问题6：如何求函数y=f(x)的零点？（小组讨论形式）

（设计意图：进一步理解零点概念，领会其实质，体现“化归”和“数形结合”的数学思想。）

（活动方式：先由学生做答，教师收集整理，挑选其中合理的成份，之后再在学生回答的基础上引导学生得出结论。）

预设的回答：学生想不到从哪些角度归纳。

教师启发性讲解：注意零点概念，以及三个重要的等价关系，从数与形的角度思考。 教师小结：求函数y=f(x)的零点的方法：

（1）（代数法）求方程f(x)=0有实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（五）反思小结，培养能力

问题6：：通过本节课的学习你有哪些收获？可以从知识，数学思想，经验等方面谈谈。 （设计意图：充分发挥学生的自主性，培养学生地归纳概括能力，归纳整理本节所学的知识和重要思想方法，优化学生的认知结构。）

预设的回答：

知识方面：函数零点概念，函数y=f(x)零点与相应方程f(x)=0根的关系，求函数y=f(x)的零点的方法。

数学思想：数形结合，类比，化归等数学思想。

经验：今天所学的知识源于已有的知识经验，所以在学习过程中要注意知识间的联系。

（六）目标检测设计

练习1：求下列函数的零点

（1） y= x2－5x+6； （2）y= 2x－1

（3）y=lg(x-1) （4）f（x）?ex?1?4x?4

练习2: 函数y=x2-5x+6的零点是（ ）

A （3，0），（2，0）；B x=2； C x=3 D 2和3．

练习2：由下列函数的图像，回答函数有零点吗？有几个零点

？

练习3: 已知f(x)=2(m+1)x+4mx+2m-1的一个零点是1，求m的值．

（设计意图：对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用，同时反应教学效果，便于教师在教学中查漏补缺。）

（七）布置作业，分层落实

1．若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求 loga25 + b2

2．请判断方程lnx=x2-4x+3的零点个数.（要求简单说明，并画出必要的图象）

3．思考：函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为（ ）

（设计意图：分层教学，让学生既能体会到学数学的成功感，又能恰当的提高学生的兴趣。）

（八）后记――一点感想

方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。

一、首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性

教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。但在教学时发现，当提问“方程2x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？”时，学生的反应都很平淡，对这个问题都不感兴趣，因为他们对如何解一元二次方程早就熟练了，因此没必要再问这么简单的问题。由此看来，这堂课一开始就应该让学生认识到学习函数的零点的必要性。最好是选择学生用已学方法不能求解的方程的例子，这样才能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。例如，可以把教材后面的例子先提出来，让学生思考：

方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？

在学生对上述问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根。这堂课的头开好了，整堂课就活了。

二、教学要把握内容结构，突出思想方法

教师首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课可以按照下列主线来展开教学：

（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题

教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就应该从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例如，可以像前面一样先提出：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？当学生陷入困境时，教师再逐步提出下面的问题进行引导：

1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？

以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。

2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？

以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。

3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？

以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。

（二）怎样突出数形结合的思想方法

数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数I”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学应该以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。所以在教学时要留给学生足够的时间去主动搭建函数图象这一桥梁，而不是由教师作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后老师再给出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，虽然一定程度上也能体现数形结合的思想方法，但体现的思想层次却很低。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让

学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。

此外本节课涉及多种数学思想方法，是数学教学走向本质的一大尝试，也是在实际教学中需要不断思考的一个课题。