函数极限方法教学反思
数理科学系 胡俊红
极限的思想贯穿于整个微积分之中，掌握好求极限的方法是十分必要的。在求极限的过程中，利用一些运算方法与技巧，以相关的概念、定理和公式为依据进行快速求解。下面是函数极限方法教学的一些思考：
一、善于利用无穷小量等价代换求极限
在乘除式极限里，其因子可以用等价因子代替，极限不变，最常见的等价关系如：当
时,x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1+x) ～e
-1～
～
(其中a>0,b
0).还有(1-cosx) ～
x
例1．求
解：原式=
=-
例2．求
解：原式=
=1
注：等价代换原理，来源于分数的约分。只能对乘除式里的因子进行代换，在分子（分母）多项式里的单项不可作等价代换，否则会出错。
二、学会利用两个重要极限和无穷小量的性质求极限
（一）利用重要极限求函数的极限
①重要极限一：
=1中，sinx和x是两个类型完全不同的函数，但是却可以通过该极限促使三角函数和一次函数之间建立起关系，二者之间的比值得以实现。而且该极限的应用范围非常广泛，在解决一些实际问题时非常有效。
例6．求
解：原式=
=
=
②重要极限二：
或
例7．求
解：原式=
（二）利用无穷小的性质求函数的极限
无穷小量的极限为零且无穷小量有以下性质：
（1）有限个无穷小量的代数和为无穷小量；
（2）有界函数（常量）与无穷小量之积为无穷小量；
（3）有限个无穷小量之积为无穷小量。
注：在关于函数极限的求解中使用最多的是性质（2）。
例8．求
解： 原式= 
。
三、巧妙利用两边夹定理求极限
当极限不易直接求出时，可以考虑将求极限的变量，做适当的放大或缩小，使放大或缩小的新变量，易于求极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，等于此公共值。
例9．求
（
表示不大于
的最大整数）
解：
当x>0时
当x<0时
故 =1
四、合理利用洛必达法则求极限
洛必达法则主要用来求解“ 
”型和“
”型这两种未定式的极限。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，而且可以连续进行运算，可以简化一些复杂的函数求极限的过程，但运用时需要注意条件。
例10．求
解： 原式=
例11．
解： 原式=
=
例12．
解： 原式=
=e
=1
总之，以上几种求极限的方法要根据不同的情况来选择，记住一些结论或标准的形式对于求解和选择恰当的方法帮助会很大。各个方法之间其实不是孤立的，有时求解一道题可以使用多种方法，而各个方法的使用中几乎都提到了恒等变形，这是很重要的一个原则。
第二篇：求函数极限的方法1
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义
例: 用极限定义证明:
证: 由
取
则当
时,就有
由函数极限
定义有:
2、利用极限的四则运算性质
若 
(I)
(II)
(III)若 B≠0 则：
（IV）
（c为常数）
上述性质对于
例：求 
解: =
3、约去零因式（此法适用于
）
例: 求
解:原式=
=
=
=
=
4、通分法（适用于
型）
例: 求 
解: 原式=
=
=
5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）
设函数f(x)、g(x) 满足：
（I）
(II) 
(M为正整数)
则：
例: 求 
解: 由 
而 
故 原式 =
6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
（I）若：
则 
(II) 若: 
且 f(x)≠0 则 
例: 求下列极限
① 
②
解: 由 
故 
由 
故 =
7、等价无穷小代换法
设
都是同一极限过程中的无穷小量，且有：
， 
存在，
则 
也存在，且有=
例:求极限
解: 
=
注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。
但我们经常使用的是它们的变形：
例：求下列函数极限
9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。
例：求下列函数的极限
（2） 
10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：
m、n、k、l 为正整数。
例：求下列函数极限
① 
、n 
②
解: ①令 t=
则当
时 
,于是
原式=
②由于=
令：
则 
==
=
11、 利用函数极限的存在性定理
定理: 设在
的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:
则极限 存在, 且有
例: 求 
(a>1,n>0)
解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使
k ≤x≤k+1
于是当 n>0 时有:
及 
又
当x
时,k 有
及 
=0
12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。
定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限
及右极限
都存在且都等于A。即有：
==A
例：设
=
求
及
由
13、罗比塔法则（适用于未定式极限）
定理：若
此定理是对
型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。
注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：
1、 要注意条件，也就是说，在没有化为
时不可求导。
2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。
3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。
4、当
不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。
例： 求下列函数的极限
①
②
解：①令f(x)= 
, g(x)= l
, 
由于
但
从而运用罗比塔法则两次后得到
② 由
故此例属于
型，由罗比塔法则有：
14、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：
1、
2、
3、
4、
5、
6、
上述展开式中的符号
都有:
例:求
解:利用泰勒公式，当
有
于是 
=
=
=
15、利用拉格朗日中值定理
定理:若函数f满足如下条件：
(I) f 在闭区间上连续
(II)f 在(a ,b)内可导
则在(a ,b)内至少存在一点
,使得
此式变形可为:
例: 求 
解:令
对它应用中值定理得
即: 
连续
从而有: 
16、求代数函数的极限方法
(1)有理式的情况，即若:
(I)当
时，有
(II)当 时有:
①若
则 
②若
而 
则
③若,
,则分别考虑若为
的s重根,即:
也为
的r重根,即:
可得结论如下：
例：求下列函数的极限
①
②
解: ①分子，分母的最高次方相同，故
=
②
必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:
(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。
例：求
解:
二、多种方法的综合运用
上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。
例:求
[解法一]:
=
注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。
[解法二]:
=
注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。
[解法三]:
注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则
[解法四]:
注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。