20##年硕士研究生入学考试自命题考试大纲

考试科目代码：[]               考试科目名称：泛函分析

一、试卷结构

1) 试卷成绩及考试时间

本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。

2)答题方式：闭卷、笔试

3)试卷内容结构

泛函分析　 100%       

二、考试内容与考试要求

1、距离空间和赋范线性空间

考试内容

（1）距离空间：距离空间的概念，距离空间中的开集闭集，稠密性与可分性，连续映射的概念，距离空间中的完备性，列紧集，紧集及其上连续映射，具体空间列紧集的判定定理，压缩映射原理及其应用。

（2）赋范线性空间：线性空间、范数、赋范线性空间、Banach空间等概念，赋范线性空间上范数的等价性，常见的具体Banach空间及其常用的范数的定义。

考试要求

（1）熟悉距离空间的概念和一些具体的距离空间；理解距离空间中的开集闭集，稠密集与空间的可分性；熟练掌握连续映射的概念、距离空间中的完备性、列紧集和紧集以及其上连续映射的性质；掌握具体空间列紧集的判定法；熟练掌握压缩映射原理，并会用压缩映射原理分析映射的不动点。

（2）理解线性空间、范数、赋范线性空间等概念；掌握Banach空间、线性赋范空间上范数的等价性；熟悉某些常见Banach空间中常用的范数的定义。

2、有界线性算子与连续线性泛函

考试内容

有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，线性算子空间、共轭（对偶）空间，某些常见Banach空间的共轭空间。

考试要求

掌握有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，并会计算界线性算子和连续线性泛函的范数；理解线性算子的连续性和有界性，熟悉算子空间、共轭（对偶）空间的基本性质和某些常见Banach空间的共轭空间。

 3、Hilbert空间

考试内容

内积空间的基本概念与基本性质、几何特征、正交系、正规正交基、正交化，Hilbert空间的同构，射影定理、Hilbert空间上的Riesz表示定理。

考试要求

熟悉内积空间的基本概念与基本性质、几何特征；熟练掌握正交系、正规正交基、正交化、射影定理；理解Hilbert空间的同构、Hilbert空间上的Riesz表示定理。

4、Banach空间的基本定理

考试内容

Hahn-Banach延拓定理及其推论，Riesz表示定理及应用，共轭算子及其性质，第一、第二纲的集，纲定理，一致有界定理及应用，开映射定理，闭图象定理，弱收敛和弱收敛。

考试要求

熟练掌握Hahn-Banach延拓定理的推论、Riesz表示定理、一致有界定理及应用、开映射定理、闭图象定理；掌握共轭算子及其性质；理解Hahn-Banach延拓定理、第一、第二纲的集；了解弱收敛和弱收敛。

教材及主要参考书：

[1] 江泽坚，孙善利， 泛函分析，高等教育出版社。

[2] 程其襄等， 实变函数论与泛函分析基础， 高等教育出版社。

第二篇：泛函分析关于各种收敛的定义及其关系讨论

泛函分析关于各种收敛的定义及其关系讨论

1.弱收敛：设?是一个巴拿赫空间，?xn???，x??，称?xn?弱收敛到x，记做

xn

x，是指：对于?f???都有limf?xn??f?x?.

n??

这时x称做点列{xn}的弱极限。

2.强收敛：xn?x?0?n???，也称为按范数收敛，x是{xn}的强极限。 强收敛与弱收敛的关系：

若dim???，则弱收敛与强收敛是等价的。

命题：弱收敛若存在必唯一，强极限若存在必是弱极限。 当dim?=?时，弱极限存在却未必有强极限。

则"e>0，??i?0?i?1,2,?,n?，??i?1，x，

i?1n

定理：设c是一个巴拿赫空间，xn

n

使得x0?

*

??x

i?1

ii

??.

*

既然c也是一个赋范线性空间，在c上自然也有两种收敛性：强收敛和弱收敛。所谓弱收敛fn

f，是指对?x??????都有x???fn??x?fn?.

，记做

3.?弱收敛：设?是巴拿赫空间，?fn????，f???。称fn?弱收敛到f

n??

n??

???limfn?f，是指：对于?x??，都有limfn?x??f?x?。这时f称做泛函序列?fn?

的?弱极限。

?弱收敛与弱收敛的关系：

由于???，因此?上的弱收敛蕴含着?上的?弱收敛，而且当?是一个自反空间时，

??

?

?

?弱收敛与弱收敛等价。

定理：设?是巴拿赫空间，又设?xn???，x??，则为了xn⑴xn有界；

??

⑵对?中的一个稠密子集M上的一切f都有limf?xn??f?x?。

n??

x，必须且仅须

定理：设?是一个B空间，又设?fn???，?f???，则为了fn?弱收敛到f，必须且

?

?

仅须 ⑴fn有界；

⑵对?中的一个稠密子集M上的一切x都有limfn?x??f?x?。 n??

4.依测度收敛： 设?fn?是E?Rq上的一列a.e.有限的可测函数列，若在E上a.e.有限的可测函数f?x?满足下列关系：对于任意的??0有limmE??fn?f?????0，则称函x??数列?fn?依测度收敛于f，记为fn?x??f?x?。 依测度收敛与几乎处处收敛的关系： 黎斯定理：设在E上?fn?依测度收敛于f，则存在子列fni在E上a.e.收敛于f。 勒贝格定理：设

⑴mE??；

⑵?fn?是E上的一列a.e.有限的可测函数列； ⑶?fn?是E上a.e.收敛于a.e.有限的函数f，则 ??fn?x??f?x?