泛函分析课程论文

泛函分析课程的知识体系总结各个知识点之间的区别和联系

（一）、度量空间和赋范线性空间

第一节  度量空间的进一步例子

1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得x,y,zX,下列距离公理成立：

（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0x=y;

（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);

（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);

则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d）

2.几类空间

例1          离散的度量空间

例2          序列空间S

例3          有界函数空间B(A)

例4          可测函数空M(X)

例5          C[a,b]空间 即连续函数空间

例6          l²

第二节          度量空间中的极限，稠密集，可分空间

1.       开球

定义  设（X,d）为度量空间，d是距离，定义

U(x₀, )＝{x ∈X | d(x, x₀) <}

为x₀的以为半径的开球，亦称为x₀的一领域.

2.       极限

定义 若{x_n }X, xX, s.t.  则称是点列{x_n }的极限.

3.       有界集

定义  若，则称A有界

4.       稠密集

定义  设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令表示M的闭包，如果,那么称集M在集E中稠密，当E=X时称M为X的一个稠密集。

5.       可分空间

定义  如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。

第三节  连续映射

1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, )是两个度量空间，T是X到Y中映射，x0,如果对于任意给定的正数，存在正数，使对X中一切满足的x，有

，

则称T在连续.

2.定理1  设T是度量空间（X,d）到度量空间中的映射，那么T在连续的充要条件为当时，必有

3.定理2  度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像是X中的开集.

第四节  柯西（cauchy）点列和完备度量空间

1.定义  设X=(X,d)是度量空间，是X中点列，如果对任意给定的正数，存在正整数,使当n,m>N时，必有

，

则称是X中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d）中每个柯西点列都在

（X,d）中收敛，那么称（X,d）是完备的度量空间.

【注意】（1）Q不是完备集

       （2）完备

       （3）cauchy列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy列.

       （4）C[a,b]完备

2.定理  完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间.

第五节  度量空间的完备化

1.定义  设（X,d）,( ,)是两个度量空间，如果存在X到上的保距映射T，即，则称（X,d）和( ,)等距同构，此时T称为X到上等距同构映射。

2.定理1（度量空间的完备化定理）  设X=（X,d）是度量空间，那么一定存在一完备度量空间=( ,)，使X与的某个稠密子空间W等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若( ,)也是一完备度量空间，且X与的某个稠密子空间等距同构，则( ,)与( ,)等距同构。

3.定理1’  设X=（X,d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间=( ,)，使X为的稠密子空间。

第六节  压缩映射原理及其应用

1.定义  设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数，0<<1，使得对所有的,

                      ,

则称T是压缩映射。

2.定理1（压缩映射定理）（即Barnach不动点定理）  设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx=x,有且只有一个解）.

补充定义：若Tx=x,则称x是T的不动点。

          x是T的不动点x是方程Tx=x的解。

3.定理2  设函数在带状域

                  

中处处连续，且处处有关于y的偏导数.如果还存在常数m和M满足

                           ,

则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：

               

第七节   线性空间

1.定义1  设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：

（1）关于加法成为交换群，即对任意x,yX，存在uX与之相对应，记为u=x+y,称为x和y的和，满足

1）；

2）；

3）在X中存在唯一元素，使对任何,成立，称为X中零元素；

4）对X中每个元素x，存在唯一元素，使，称为的负元素，记为；

（2）对于X中每个元素，及任意实数（或复数）a，存在元素u与之对应，记为，称为a与x的数积，满足

1）；

2）对任意实数（或复数）a和b成立；

3），

则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量。如果数积运算只对实数（复数）有意义，则称X是实（复）线性空间。

例1 Rⁿ,对Rⁿ中任意两点x=(ξ1,ξ2,…,ξn ),y=(η1,η2,…,ηn)和任何实(复)数a,定义

x+y=(ξ₁ +η₁,ξ₂ +η_2,…,ξ_n +η_n),

ax=(aξ₁ ,aξ₂,…,aξ_n).

容易验证Rⁿ按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间.

2.定义2   设x₁ ,x₂,…,x_n 是线性空间X中的向量,如果存在n个不全为零的数α₁,α₂,…,α_n,使

α₁ x₁ +α₂ x₂ +…+α_nx_n =0, (1)

则称x₁,x₂ ,…,x_n 线性相关,否则称为线性无关.

不难看出,x₁,x₂,…,x_n 线性无关的充要条件为,若,

必有α₁ =α₂ =…=α_n =0.

3.定义3   设M是线性空间X的一个子集,如果M 中任意有限个向量都线性无关,则称M 是X中线性无关子集.设M 和L为X中两个子集,若M 中任何向量与L中任何向量都线性无关,则称M和L线性无关.

4.定义4   设X是线性空间, M 是X中线性无关子集,如果·spanM= X,则称M 的基数为X的维数,记为dim X, M 称为X的一组基.如果M 的基数为有限数,则称X是有限维线性空间,否则称X是无限维线性空间.如果X只含零元素,称X为零维线性空间.

第八节  赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间

1.定义1  设X是实(或复)的线性空间,如果对每个向量x∈X,有一个确定的实数,记为‖x‖与之对应,并且满足:

1°‖x‖≥0,且‖x‖=0等价于x=0;

2°‖αx‖=|α|‖x‖其中α为任意实(复)数;

3°‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,x,y∈X,

则称‖x‖为向量x的范数,称X按范数‖x‖成为赋范线性空间.

2.引理1(H?lder不等式) 设p>1, ，那么f(t)g(t)在[a,b]上L可积,并且

3引理2(Minkowski不等式) 设p≥1,f,g∈L^p[a,b],那么f+g∈L^p[a,b],并且成立不等式

‖f+g‖p ≤‖f‖p +‖g‖p

4.定理1 当p≥1时,L^p[a,b]按(6)中范数‖f‖_p 成为赋范线性空间.

5.定理2  L^p [a,b](p≥1)是Banach空间.

6.定理3 设X是n维赋范线性空间,{e1,e2,…,en}是X的一组基,则存在常数M 和M′,使得对一切

成立

                       .

7.推论1 设在有限维线性空间上定义了两个范数‖x‖和‖x‖₁ ,那么必存在常数M 和

M′,使得

M‖x‖≤‖x‖₁ ≤M′‖x‖.

8. 定义2 设(R₁,‖x‖₁ )和(R₂ ,‖x‖₂ )是两个赋范线性空间.如果存在从R₁ 到R₂ 上的线性映射φ和正数c₁ ,c₂,使得对一切x∈R₁,成立

c₁ ‖φx‖₂ ≤‖x‖₁ ≤c₂ ‖φx‖₂

则称(R₁ ,‖x‖₁)和(R₂,‖x‖₂ )这两个赋范空间是拓扑同构的.

8.推论2 任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构.

(二)有界线性算子和连续线性泛函

第一节  有界线性算子和连续线性泛函

定义1 设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间,D是X的线性子空间,T为D到Y中的映射,如果对任何x,y∈D,及数α,有

T(x+y)= Tx+ Ty,                                        (1)

T(αx)=αTx,                                        (2)

则称T为D到Y中的线性算子,其中D称为T的定义域,记为D(T),TD称为T的值域,记为R(T),当T取值于实(或复)数域时,就称T为实(或复)线性泛函.

定义2 设X和Y是两个赋范线性空间,T是X的线性子空间D(T)到Y 中的线性算子,如果存在常数c,使对所有x∈D(T),有

‖Tx‖≤c‖x‖,                                       (3)

则称T是D(T)到Y中的有界线性算子,当D(T)= X时,称T为X到Y中的有界线性算子,简称为有界算子.对于不满足条件(3)的算子,称为无界算子.本书主要讨论有界算子.

定理1 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子,则T为有界算子的充要条件为T是X上连续算子.

定理2 设X是赋范线性空间,f是X上线性泛函,那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间N(f)是X中的闭子空间

定义3  T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空

间Y中的线性算子,称

                                        (4)

为算子T在D(T)上的范数.

引理1 设T是D(T)上有界线性算子,那么

                                      （6）

Ⅲ. 有界线性算子和连续线性泛函的例子

例6 赋范线性空间X上的相似算子Tx=αx是有界线性算子,且‖T‖=|α|,特别‖I_X ‖=1,‖O‖=0.

第二节  有界线性算子空间和共轭空间

Ⅰ. 有界线性算子全体所成空间

定理1 当Y是Banach空间时,B(X→Y)也是Banach空间.

Ⅱ. 共轭空间

定义1 设X是赋范线性空间,令X′表示X上连续线性泛函全体所成的空间,称为X的共轭空间.

定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是Banach空间.

定义2 设X和Y是两个赋范线性空间,T是X到Y中的线性算子,并且对所有x∈X,有

‖Tx‖=‖x‖,

则称T是X到Y中的保距算子,如果T又是映射到Y上的,则称T是同构映射,此时称X与Y同构.

第二篇：泛函分析总结

泛函分析知识点小结及应用

第七章  度量空间

    §1  度量空间的进一步例子

    一    度量空间的定义

    设是任一非空集合，若对于，都有唯一确定的实数与之对应，且满足

1．非负性：，=0;

2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);

3．三角不等式：对，都有+，  则称(，)为度量空间，中的元素称为点。

    欧氏空间  对中任意两点和，规定距离为   =.

    空间  表示闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点，定义=.

    （空间  记=.

设，，定义  =.

    二    度量空间的进一步例子

例1 序列空间

令表示实数列(或复数列)的全体，对，，令 =. 

例2 有界函数空间

设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函数的全体. ，定义 =.

例3 可测函数空间

设为上实值(或复值)的可测函数的全体，为Lebesgue测度，若，对任意两个可测函数及，由于，故不等式左边为上可积函数. 令   

=.

§2 度量空间中的极限

    设是中点列，若，s.t.

                                        ()

则称是收敛点列，是点列的极限.

收敛点列的极限是唯一的. 若设既牧敛于又收敛，则因为 ，而有 =0. 所以=.

 注   ()式换一个表达方式：=. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有

    距离是和的连续函数.

    证明   ++  -+; 

     ++ -

+. 所以|-|+

   

    具体空间中点列收敛的具体意义：

    1.  欧氏空间     =，，为中的点列，=，         =.     对每个，有  .

    2.       设，，则 =    在一致收敛于.

    3.   序列空间      设=，，及=分别是中的点列及点，则   依坐标收敛于. 

    4.   可测函数空间    设，，则因=，有  .

§3  度量空间中的稠密集 可分空间

 

   定义  设是度量空间，和是的两个子集，令表示的闭包，若，则称集在集中稠密，当=时，称为的一个稠密子集. 若有一个可数的稠密子集，则称是可分空间.

例1   维欧氏空间是可分空间. 事实上，坐标为有理数的点的全体是的可数稠密子集.

   例2   离散距离空间可分  是可数集.

  例3     是不可分空间.

  §4  连续映照

    定义  设=，=是两个度量空间，是到中的映射：= =.  ，若0，0，s.t. 且，都有，则称在连续：

    定理 1   设是度量空间到度量空间中的映射：， 则在连续  当时，必有.

       

    定理2   度量空间到中的映照是上的连续映射  任意开集，是中的开集.

   定理   度量空间到中的映照是上的连续映照  任意闭集，是中的闭集.

§5  柯西点列和完备度量空间

定义 1   设=(，)是度量空间，是中的点列. 若0,，s.t.当时，有，则称是中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(，)中每个柯西点列都收敛，则称(，)是完备的度量空间.

在一般空间中，柯西点列不一定收敛，如点列1, 1.4, 1,41,  在中收敛于，在有理数集中不收敛.

但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.

  定理1  完备度量空间的子空间是完备度量空间  是中的闭子空间.

常见例子：(1)（收敛的实或复数列的全体）是完备度量空间

          (2) 是完备的度量空间

(3) (实系数多项式全体)是不完备的度量空间

§6 度量空间的完备化

定义 1   设(,)，(,)是两个度量空间，若存在到上的保距映射(,，有(,)=(,))，则称(,)和(,)等距同构，此时称为到上的等距同构映照。

等距同构映照是1-1映射. 因设,，且，则因(,)0及(,)=(,)0，知.

定理1 (度量空间的完备化定理) 设=(,)是度量空间，那么一定存在一完备度量空间=(,)，使与的其个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若(,)也是一完备度量空间，且与的其个稠密子空间等距同构，则(,)与(,)等距同构.

§7压缩映照原理及其应用

定义  设是度量空间，是到中的压映照，若存在一个数：01，s.t. 、，成立         

                                    

则称是到中的压缩映照(简称压缩映照).

 定理1.(压缩映射定理) 设是完备度量空间，是上的压缩映照，则有且只有一个不动点(即方程有且只有一个解).

补充定义：若TX=X,则称X是T的不动点，即X是T的不动点X是方程TX=X的解。

定理2.  设函数在带状域，中处处连续，且处处有关于的偏导数，若存在常数和， 满足  ，0，  则方程  =0  在区间上必有唯一的连续函数作为解：0，.

§8赋范线性空间和Banach空间

线性空间+范数Þ线性赋范空间线性赋范空间+完备性Þ巴拿赫空间

定义1   设X是任一非空集合，若K是一个数域（R或C），如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且"x,y,zÎX,  l,ÎmK,  满足：

1)   x+y=y+x          （加法交换律）

2)   (x+y)+z+x+(x+y)      （加法结合律）

3)  Îq$X,  使x+q=x     （零元素存在性）

4)  $x’ÎX,使x+x’=q     （逆元存在性）

5)  l(mx)=mlx=m(lx)    （数乘结合律）

6)  1x=x,  0x=q

7)  (l+m)x=lx+mx     （元素对数的加法分配律）

8) l(x+y)=lx+ly      （数对元素的加法分配律）

则称x+y为x与y的和，lx为数l与x的数乘 ,  称X为线性空间或向量空间 (实或复)，X中的元素称为向量。

定义(范数，赋范线性空间) 设为是实（或复）数域的线性空间，若对，存在一个实数于之对应，且满足下列条件：

(1) ;  且；    （非负性）

(2) ，；          （正齐（次）性）

(3) ，；    （三角不等式）

则称为的范数(norm)，称（或：）为赋范线性空间

定义  完备的赋范线性空间称为巴拿赫（Banach）空间。

例子：，空间，维Euclidean空间，，

都是Banach空间。

度量空间与赋范线性空间   区别：度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足非负性、对称性、三角不等式。赋范线性空间就是定义了范数的线性空间，其满足范数公理（非负性，齐次性，三角不等式）

联系：都是在线性空间的前提下讨论的。赋范线性空间是一种特殊的度量空间