Banach不动点定理的推广及其应用

摘要：本文介绍了Banach不动点定定理（即压缩映像原理）的几种推广形式，并由两个例子讨论了不动点定理在微分方程及数学分析中的应用。

引言

泛函分析作为一门二十世纪初发展起来的学科，以其高度的统一性和广泛的应用性得到了广泛关注和应用。而不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析的重要组成部分。泛函分析，特别是非线性泛函分析，在数值计算，非线性问题的求解，微分积分方程等问题的理论研究方面贡献了重要的力量，为计算数学提供了有力的工具，并带来了深远性的变革。

不动点问题的的研究，从二十世纪二十年代开始，由波兰数学家巴拿赫（Banach）于1922年提出的压缩映射原理而发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理，该定理有着非常广泛的应用，如线性微分方程，积分方程，代数方程等解的存在唯一性方面的问题均可归结到此定理的推论问题。本文介绍了Banach不动点定理的几种推广形式，并讨论其在几个方面的应用。

关键词：不动点定理   推广   应用

1 Banach不动点定理及其推广

定义1  设X是一个非空的集合，X叫做距离空间，是指在X上定义了一个双变量的实值函数 ，满足下面三个条件：

 再将定理2推广到无穷维空间，便得到

 将定理1与定理3结合起来就可以得到

      

这个定理对于处理带有扰动的算子方程是非常有用的，例如，可将G视为扰动算子，研究方程T(x)=x-G(x)的解.

2 不动点定理的应用问题

2.1 Banach不动点定理在微分方程中的应用

考虑如下微分方程：

在证明微分方程初值问题解得存在唯一性的时候，大部分的文献采用的是采用逐步逼近的近似解的序列加以证明的.用逐次迭代法构造Picard序列其中 ，用归纳法证明了Picard序列 在I上是连续的，又因为极限函数在区间I上是连续的，然后利用的连续性和Picard序列的一致收敛性得到了在I上是积分方程的解，这种方法有其直观实用的优点，但步骤复杂.下面采用压缩映像原理给出对于此问题的简洁证明。

定理2.1（存在唯一性定理）

对于式（2.2.1）所示的初值问题如果在开区域中满足下列条件：

(1)    f在G内连续，简记为,

(2)    f关于x满足局部Lipschitz条件，即对于点 

和依赖于点的常数,使得有不等式

成立，其中表示欧氏范数.

则问题（2.1.1）在区间上存在唯一解.其中

证  容易看出，在区间  上初值问题（2.1.1）等价于积分方程

的求解问题.取Banach空间B为定义在区间上的一切连续函数所构成的空间.D为定义在区间上且图像包含在中的一切连续函数所构成的集合.现定义在连续函数空间上的映射

 

因为

所以映射（2.1.5）把集合D映到它本身。要证明积分方程（2.1.4）存在唯一解，也就是证明映射（2.1.5）存在唯一的不动点：.下面利用Banach空间的压缩映射原理来证明。设，由方程（2.1.4）得

 

上式右端积分号内为欧氏范数.由Lipschitz条件（2.1.2）知

 

由式（2.1.3）可见，  因此，由式（2.1.5）所定义的映射T是一压缩映射.据压缩映射原理知其存在唯一不动点.

例：不动点定理的应用（证明解的存在唯一性）

对于积分方程

其中为一给定的函数，为常数，.求证：存在唯一解.

证：对于上式两边同乘以，得到：

令

设  ，则

又因为为常数， .

由压缩映射原理可得存在唯一解 .

不动点定理除了在微分方程和积分方程中的应用外，在代数方程解的存在唯一性定理证明中也起着重要作用，本文不再具体讨论.

第二篇：数值分析课程总结

课程内容

1 误差

了解误差的来源与分类及误差的基本概念与性质；

熟悉绝对误差及绝对误差限、相对误差及相对误差限和有效数字之间的关系；

掌握一元和二元函数的误差估计式并会应用；

熟悉减小误差的积累和传播应注意的几大原则和通常做法。

2 插值法

掌握 Lagrange 插值、 Newton 插值；

理解 Hermite 插值的构造和计算；

掌握这些插值函数的余项表达式的求法、形式、作用及估计；

了解用插值基函数思想求任何插值条件的插值函数问题；

了解分段插值及三次样条函数插值的构造思想、特点和计算方法；

了解差商和差分、等距结点插值的基本性质。

3 曲线拟合与函数逼近

掌握曲线拟合的有关概念、意义和推导过程；

掌握应用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解；

了解函数逼近的有关概念、意义和推导过程；

掌握求解最佳一致逼近和最佳平方逼近函数的方法；

熟悉求连续函数的最佳平方逼近及由离散点求曲线拟合的方法；

了解正交多项式特点及性质，会求连续函数的最佳一致多项式逼近。

4 数值积分与数值微分

理解机械求积公式及代数精度概念；

掌握确定求积公式的代数精度的方法；

掌握 Newton-Cotes 求积公式、特点及余项形式；

了解 Romberg 算法及 Gauss 求积公式的构造技术、特点及余项形式；

掌握复化梯形求积公式、复化 Simpson 求积公式的构造技术及余项形式；

了解上述求积公式的适用类型并会熟练使用这些公式做数值积；

了解数值微分法以及 Newton-Cotes 求积公式、 Gauss 求积公式的稳定性问题。

5 非线性方程的数值解法

掌握求非线性方程根的对分区间法、简单迭代法、 Newton 迭代法；

理解这些方法的构造特点、收敛速度及适用范围并掌握压缩映射原理；

了解 Newton 迭代法的变形如 Newton 下山法、割线法及迭代法加速技术；

了解局部收敛及收敛阶的概念；

6 求解线性方程组的直接解法

掌握解线性方程组的 Gauss 消元法、列主元法、LU 分解；

理解这些方法的构造过程和特点以及适用的线性方程组；

了解全主元消元法、平方根法，知道直接解法的误差分析；

了解特殊线性方程组求解的追赶法。

7 求解线性方程组的间接方法

掌握向量范数、矩阵范数的基本概念与性质；

熟悉用范数来分析方程组的性态及稳定性；

掌握线性方程组的误差分析与解的改善；

了解病态方程组概念并会判断；

能判别 Jocobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代的敛散性并会应用迭代求解。