泛函分析

一，距离空间

定义1.1.1设X是任一非空集合，对于X中的任意两点x,y，均有一个实数d(x,y)与它对应，且满足：

1）d(x,y)≥0（非负性）

2）d(x,y)=0当且仅当x=y(严格正)

3）d(x,y)=d(y,x)

4）d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）

则称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集合称为一个距离空间，记为（X,d），有时简记为X。

1.2设（X,d）是一个距离空间，X中的一个数列，存在X中的任意点，如果当n趋于无穷时，这个数列按照距离收敛到这个点，则称这个数列以这点收敛。

1.3d(x,y)是x,y的二元函数，若当存在一个x的数列收敛到x,存在一个y的数列收敛到y，则这个距离关于x,y的二元函数也收敛。(利用三角不等式证明)

2.1开球的定义

（X,d）是一个距离空间，r>0，集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)<r}则称以x0为中心，r为半径的开球。

有界集：称A为有界集，若存在一个开球，使得A属于这个开球。

内点：称x0为集合G的内点，若存在一个开球B(x0,r)属于G。

开集：称G为开集，若G中的每一个点都是它的内点。

闭集：开集的补集就是闭集。（若用接触点定义闭集就是，A的接触点的全体称为A的闭包，也就是闭集。）

闭集的等价条件是这个集合中的收敛点列收敛到这个集合中的元素。

全空间和空集即使开集也是闭集。

任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。

任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。

等价距离：两个距离空间称为等价距离，如果它们之间可以互相表示。

连续映射：在两个距离空间之间存在一个映射：T，称T为连续映射。

若在定义域的距离空间中存在一个开集，经过映射T，在另一个距离空间定义的距离下是任意小的。

映射T是连续的等价于值域里的开集的原像仍然是开集。

接触点：点x0称为A的接触点，若存在一个x0的开球与A的交不为空集。（点x0可以属于A，也可以不属于A）

聚点：点x0称为点A的聚点，若存在点x0的任意一个开球与A\{x0}的交不为空集。（聚点一定是接触点，但接触点不一定是聚点。）

稠密集：称B在A中稠密，若A包含于B的闭包。

可分：一个空间称为可分的，若这空间中存在一个可数的稠密子集。

列紧集：称A为列紧集，若A中的每一个无穷点列都有一个收敛的子列。

如果X是列紧集，那么X一定是有界集。反之不一定。

一致有界：即存在K>0,使得对于每一点t∈[a,b]及一切x∈A，

                       |x(t)|≤K

等度连续：对于任意的ε>0，存在δ>0,当|t1-t2|<δ时，

            |x(t1)-x(t2)|<ε  (任意x∈A)

完备的距离空间：称X是完备的距离空间，若X中的任意柯西列都收敛。

完备空间的任一闭子空间的都是完备的。

列紧空间是完备的距离空间。

完备距离空间的性质：闭球套定理，压缩映射原理（banach不动点定理）。

第二篇：泛函分析部分知识总结

泛函分析单元知识总结与知识应用

一、单元知识总结

第七章、 度量空间和赋范线性空间

§1 度量空间

§1.1定义：若是一个非空集合，是满足下面条件的实值函数，对于，有（1）当且仅当；

（2）；

（3），则称为上的度量，称为度量空间。

例：1、设是一个非空集合，，当，则为离散的度量空间。

2、序列空间 ，是度量空间

3、有界函数全体 ，是度量空间

4、连续函数，是度量空间

5、空间，是度量空间

§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间

§2.1收敛点列：设是中点列，如果，使，则称点列是中的收敛点列。

例：1、，按欧氏距离收敛于的充要条件为各点列依分量收敛。

2、中（一致）

3、可测函数空间中点列（依测度）

稠密子集与可分空间:设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令,那么称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。

即：

例：1、n维欧氏空间是可分空间；

2、坐标为有理数的全体是的可数稠密子集；

3、是不可分空间。

§3 连续映射

§3.1定义（用领域来描述）：对的每个领域，必有的某个领域是,其中表示在映射作用下的像。

§3.2定理1 设是度量空间到度量空间中的映射，那么T在连续的充要条件为当时，必有

定理2 度量空间到中映射是上连续映射的充要条件为中任意开集的原像是中的开集。

§4 柯西点列和完备度量空间

§4.1定义：设是度量空间，是X中点列，如果对，正整数,使当时，必有，则称是X中的柯西点列，如果度量空间中每个点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间。

例：1、是完备度量空间 

 2、是完备度量空间

3、是完备的度量空间

注意：1、全体按绝对值距离构成的空间不完备

2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列（完备空间中即可反之一定是）

3、实系数多项式全体，作为的子空间不是完备度量空间

§4.2定理1 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）

注意：开子空间不完备。

§5 度量空间的完备化

§5.1定理1 （度量空间的完备化定理）设是度量空间，那么一定存在一完备度量空间，使与的某个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若也是一万倍度量空间，且与的某个稠密空间等距同构，则与等距同构。（其中：若，称与等距同构。）

用下图可形象表达这一关系：

      

定理 设是度量空间，那么存在唯一的完备空间，使为的稠密子空间。

§6 压缩映射原理及其应用

§6.1定义：设是度量空间，是到中的映射，如果，，，则称是压缩映射。

§6.2定理1（压缩映射定理）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（就是说，方程，有且只有一个解）。

证明：存在性：1、构造柯西列

              2、

3、

定理2（隐函数存在定理）设函数在带状域中处处连续，且处处有关于的偏导数。如果常数和，满足，则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：

§7 线性空间

§7.1定义：设是一非空集合，在中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与中元素的乘法运算，满足下列条件：

（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，

（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3），均有，

满足这样性质的集合称为线性空间。

例：1、按自身定义的加法和数乘成线性空间

2、按自身定义的加法和数乘成线性空间

3、空间按自身定义的加法和数乘成线性空间

§8 赋范线性空间和巴拿赫空间

§8.1定义：设是实（或复）的线性空间，如果对，都有确定的一个实数，记为与之对应，并且满足：

，且等价于；（非负性）

其中为任意实（复）数；

，（三角不等式）

则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间

注意：1、任意赋范线性空间都是度量空间   

 2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间  

 3、是的连续函数

重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。

2、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。（即拓扑同构范数等价）

例：1、按范数成巴拿赫空间

2、空间按范数成巴拿赫空间

3、空间是巴拿赫空间

§8.2定理2 按范数成巴拿赫空间

总而言之，赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。

第八章 有界线性算子和连续线性泛函

§1 有界线性算子和线性泛函的定义

§1.1定义：设和是两个同为实（或复）的线性空间，是的线性子空间，为到中的映射，如果对及数，有，，则称为到中的线性算子，其称为的定义域，记为，称为的值域，记为，当取值于实（或复）数域时，就称为实（或复）线性泛函。

例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子

注意：1、n维线性空间上线性泛函与向量相对应。

2、在有限维空间上，当基选定后，线性算子与矩阵是相对应的

§1.2定义：为赋范线性空间的子空间到赋范线性空间中的线性算子，称为算子在上的范数。

§1.3 定理1 设是赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则为有界算子的充分必要条件是为上的连续算子。

这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。

定理2 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么是上连续泛函的充要条件为的零空间是中的闭子空间。

注意：1、若有界  

 2、

3、若有界 

§2 有界线性算子空间和共轭空间

§2.1定义：设是赋范线性空间，令表示上连续线性泛函全体所成的空间，称为的共轭空间。

§2.2定理1 当是巴拿赫空间时，也是巴拿赫空间

      定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间

例：1、的共轭空间为有界序列全体，即，但

    2、且则其中连续

3、设，令，，则为线性算子

4、的共轭空间为，其中，，当时，

二、列举泛函分析中的某个知识点在其他学科中的应用

泛函分析是分析数学中“最年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论，有着广泛的应用。在这里我主要阐述一下压缩映射定理（Banach不动点定理）的应用。

定理 （压缩映射定理）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（就是说，方程，有且只有一个解）。

a.不动点原理在证明数值分析中的迭代法不动点原理的应用

迭代法不动点原理：设映射在在上有连续的一阶导数，且满足：（1）封闭性：对，有，

（2）压缩性： 使得对 ，则在上存在唯一的不动点，且对，收敛于，且有使用Banach不动点原理对推论证明：

由原理内容可知，是到上的线性映射；和均完备；条件（2）等价于为压缩映射。

以上可知，必存在，对，有且且满足。

b、不动点原理在解决线性方程组解的存在问题时的应用

例4 线性代数方程组解的存在唯一性：设线性方程

若对每个，，则方程组唯一解存在。

证：在中定义与之距离易证是完备的距离空间。定义映射由确定，记于是

于是T是压缩映射，它有唯一不动点，所以方程方程组即的解唯一存在。

参考文献：[1] 王文静 《泛函分析的理论在数学其他学科中的点滴应用》 科教纵横 20##年 第10期

          [2] 孔慧英 梅智超 《现代数学思想概论》

          [3] 闫大桂 严尚安 《工科研究生应用数学基础》

[4]石智,王军秋.泛函分析初步[M] .西安:陕西科学技术出版社, 2005.