《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄泛函知识点期末总结

时间：2024.5.2

泛函知识点期末总结

一、关于有界线性算子，算子范数等

1、设 x?X?C[a,b]，定义X上的线性算子

T：若f?C[a,b],(Tf)(t)?x(t)f(t),t?[a,b]。

求证：T有界，并求||T||。

2、设 X?C[a,b],t0?[a,b]。定义X上的线性泛函f：若x?X,f(x)?x(t0)。求证：f有界，并求||f||。

3、设 X?C[a,b],t1,t2,,tn?[a,b],?1,?2,

n,?3?C（全体复数集），定义X上

的线性泛函f: 若x?X,f(x)???ix(ti)，f有界，并求||f||。

i?1

二、关于共轭空间的定义及其求解

三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间

四、变分引理极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1

五、投影定理，投影算子及其性质，

六、Hilbert空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子

七、完全规范正交基及其判定定理

八、Banach空间的基本定理及其应用

九、Banach共轭算子的定义及其求法

十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明

十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系

十二、完备度量空间的定义及其应用

十三、压缩映射原理及其应用

十四、h?lder 不等式，Minkowski不等式，Schwarz不等式

十五、稠密，可分，完备，柯西序列

十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性

空间

第二篇：实变函数与泛函分析基础第三版(程其襄)+课后答案

1.A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

x∈(A∪(B∪C)).x∈A,x∈A∪B,x∈A∪C,x∈(A∪B)∩(A∪C).x∈B∩C,x∈A∪Bx∈A∪C,x∈(A∪B)∩(A∪C),

A∪(B∩C)?(A∪B)∩(A∪C).

x∈(A∪B)∩(A∪C).x∈A,x∈A∪(B∩C).x∈A,

x∈A∪Bx∈A∪C,x∈Bx∈C,x∈B∩C,x∈A∪(B∩C),(A∪B)∩(A∪C)?A∪(B∩C).

2.A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

(1)A?B=A?(A∩B)=(A∪B)?B;

(2)A∩(B?C)=(A∩B)?(A∩C);

(3)(A?B)?C=A?(B∪C);

(4)A?(B?C)=(A?B)∪(A∩C);

(5)(A?B)∩(C?D)=(A∩C)?(B∪D);

(6)A?(A?B)=A∩B.

(1)A?(A∩B)=A∩?s(A∩B)=A∩(?sA∪?sB)=(A∩?sA)∪(A∩?sB)=A?B;(A∪B)?B=(A∪B)∩?sB=(A∩?sB)∪(B∩?sB)=A?B;

(2)(A∩B)?(A∩C)=(A∩B)∩?s(A∩C)=(A∩B)∩(?sA∪?sC)=(A∩B∩?sA)∪(A∩B∩?sC)=A∩(B∩?sC)=A∩(B?C);

(3)(A?B)?C=(A∩?sB)∩?sC=A∩?s(B∪C)=A?(B∪C);

(4)A?(B?C)=A?(B∩?sC)=A∩?s(B∩?sC)=A∩(?sB∪C)=(A∩?sB)∪(A∩C)=(A?B)∪(A∩C);

(5)(A?B)∩(C?D)=(A∩?sB)∩(C∩?sD)=(A∩C)∩?s(B∪D)=(A∩C)?(B∪D);

(6)A?(A?B)=A∩?s(A∩?sB)=A∩(?sA∪B)=A∩B.

3.(A∪B)?C=(A?C)∪(B?C);A?(B∪C)=(A?B)∩(A?C).

(A∪B)?C=(A∪B)∩?sC=(A∩?sC)∪(B∩?sC)=(A?C)∪(B?C);

∞?∞?(A?B)∩(A?C)=(A∩?sB)∩(A∩?sC)=A∩?sB∩?sC=A∩?s(B∪C)=A?(B∪C).

4.?s(

i=1Ai)=

∞?i=1?sAi.

x∈S,x∈∞?x∈?s(

i=1Ai),

i=1Ai,i,x∈Ai,x∈?sAi,

x∈

i=1

x∈?s(5.

∞?

?sAi.

i=1

x∈

∞?

i=1

Ai).

∞?

?sAi,

i=1∞?

i,x∈?sAi,

x∈S,x∈Ai,

x∈S,

x∈

?s(Ai)=

i=1

(1)(?

α∈Λ

(1)

(2)6.

α∈Λ

Aα?B=(

α∈Λ

Aα)?B=

∞?

i=1

?sAi.(Aα?B);

α∈Λ

∞?

Ai,

α∈Λ

Aα)∩?sB=

(2)(

α∈Λ

Aα?B=(

α∈Λ

Aα)∩?sB=

α∈Λ

(Aα∩?sB)=

α∈Λ

Aα)?B=

α∈Λ

{An}

ν=1

i=j,

Aν=

ν=1

B1=A1,Bn=An?(

Bν,1≤n≤∞.i<j.

n?1?ν=1

α∈Λ

(Aα?B);

(Aα?B).

Aν),n>1.

{Bn}

Bi?Ai

(1≤i≤n).

Bi∩Bj?Ai∩(Aj?Bi?Ai(1=i=n)

n=1

j?1?

An)=Ai∩Aj∩?sA1∩?sA2∩···∩?sAi∩···∩?sAj?1=?.

i=1

x∈Ai

x∈

in?1?i=1

i=1

Ai,

x∈A1,

Bi?

i=1

Ai.

x∈B1?

x∈Ain.?

=0,

x∈Ain?

A2n?1

i=1in?1?i=1

Bi.

x∈A1,

x∈Ain,

Ai=Bin?

i=1

Bi.

i=1

Ai=

i=1

Bi.

n→∞

limAn=(0,∞);

x∈(0,∞),

x<N,x

n>N

0<x<n,

x∈A2n,

An,

x∈

n→∞

limAn?(0,∞),

n→∞

An=?;x∈lim

n→∞Am.

0<x≤0,

lim

n→∞

An=

n=1m=n

x∈lim

n=1m=n∞?∞?

∞?∞?

n→∞

An?

Am.

x∈

n=1m=n

x∈An,

x∈limAn=

∞?∞?

Am,

x∈

m=n

∞?

Am,

m≥n,

n→∞n=1m=n

∞?∞?

Am.

9.(?1,1)(?∞,+∞)

?:(?1,1)→(?∞,+∞).x∈(?1,1),?(x)=tanπ

)21

2=(

1?z,y

(0,1)

R={r1,r2,···},???(0)=r1,???????(1)=r2,

[0,1]

(0,1)

???(rn)=rn+2,n=1,2,···??????(x)=x,x∈((0,1)\R),

16.

?n.A

A={x1,x2,···},A

?nA2n

17.

[0,1]

?=A

n=1

∞?

?n={x1,x2,···,xn},AnA.A

?n,?AA

[0,1]

A,[0,1]{r1,r2,···},

?√√?√B=,,···,,···?A

23n

?(?(

√

)=,2nn+1√

)=rn,

√

n=1,2,···n=1,2,···x∈B.

2n+1[0,1]

?(x)=x,

?xi

[0,1]A

c,c.Ai

A={ax1x2x3···},

?i.

18.

E∞

xi∈Ai,Ai=c,i=1,2,···.

ax1x2x3···∈A.?(ax1x2x3···)=(?1(x1),?2(x2),?3(x3),···).

i,?i(xi)=?i(x′i).

′′?(ax1x2x3···)=?(ax′),1x2x3···′′ax1x2x3···=ax′.1x2x3···

xi=

x′i,

(a1,a2,···),

19.

xi∈Ai,

?i(xi)=ai.

(a1,a2,a3,···)∈E∞,ai∈R,i=1,2,···,

ax1x2x3···∈A,E∞

?(ax1x2···)=(?1(x1),?2(x2),···)=

n=1

∞?

n0,

An0

An<c,n=1,2,···.

E∞=c,

n=1

E∞

x=(x1,x2,···,xn,···)∈E∞,

∞?

An=E∞.

Pi(x)=xi.

A?i=Pi(Ai),i=1,2,···,

A?i,i<Ai<c,i=1,2,···.∞∞??ξ∈An.ξ∈An,ξi∈R\A?i,i,ξ=(ξi,ξ2,···,ξn,···)∈E∞.ξi=Pi(ξ)∈Pi(Ai)=A?i,

n=1

ξ∈R\A?iξ∈n=1

Ai0=c.

20.∞?n=1∈Ai,An=E∞,ξ∈E∞i0,01T,Tc.

T={{ξ1,ξ2,···}|ξi=0or1,i=1,2,···}.

TE∞?:{ξ1,ξ2,···}→{ξ2,ξ3,···},?TE∞?(T)x∈(0,1]

(0,1]TA≤E∞=c,(0,1]x=0.ξ1ξ2f((0,1])···,2ξi01,T≥(0,1]=c.

5f(x)={ξ1,ξ2,···},A=c.f

EoE′?E1.

P0P0∈E′P0U(P,δ)(P0)P1E(P1),P0U(P,δ)(P0)U(P,δ)?E.P0∈EoP0E.P1∈E∩U(P0)?E∩U(P,δ)

E,P0∈E′,P0U(P,δ),P0U(P0)?U(P,δ),P1=P,P1P0P1P0E,P0U(P0)

P0P1P0∈E′.

U(P0)?U(P,δ)?E,P0∈Eo,U(P0)?E.P0∈U(P,δ)?E,

[0,1]P0∈Eo.2.E1E1R1′o?E1,E1,E1.′E1=[0,1],oE1=?,?1=[0,1].E

3.E2={(x,y)|x2+y2<1}.E2R2′o?E2,E2,E2.

′E2={(x,y)|x2+y2≤1},oE1={(x,y)|x2+y2<1},?1={(x,y)|x2+y2≤1}.E

4.E3

y=??sin1

(?∞,∞),|x?x0|<δx0∈E,f(x)>a,f(x0)>a.f(x)δ>0,x∈

x∈U(x0,δ)x∈E,U(x0,δ)?E,E

x0∈E,

9.xn∈E,Exn→x0(n→∞).f(xn)≥a,f(x)f(x0)=limf(xn)≥a,n→∞

y0∈F,d(x0,y0)=δ<?Gn=x|d(x,F)<11

n,n,

d(x0,F)=infd(x0,y)≥1

n).

?=1

∞x∈G

n?=1n,n,x∈Gn.n,x∈Gn,d(x,F)<11n??=U(x0,?)?Gn,y∈FGn

[0,1]

An,(?∞,0),(1,∞)

n=1

∞?

An∪(?∞,0)∪(1,∞).

[0,1]

11.

f(x)

[a,b]

E={x|f(x)≥c}

E1={x|f(x)≤c}

f(x)

[a,b]

f(xn)≤f(x0)??0,

x0∈[a,b].f(x)

c=f(x0)+?,

?0>0,xn→x0,f(xn)≥f(x0)+?0

x0∈E(f(x0)<f(x0)+?0=c),§2

f(x)

xn∈E={x|f(x)≥c},

[a,b]

12.

E=?,E=Rn,

(

?E=?).

Pt=(ty1+(1?t)x1,ty2+Pt0∈?E.Pt∈E.

P0=(x1,x2,···,xn)∈E,P1=(y1,···,yn)∈E.

(1?t)x2,···,tyn+(1?t)xn),0≤t≤1.t0=sup{t|Pt∈E}.

t0,tn→t0

Pt0∈E.

Ptn∈E,

t0=1.

Ptn→Pt0,

t∈[0,1]

Pt0∈?E.

t0<t≤1,

tn,1>tn>

Pt0∈?E.

13.

Pt0∈E,

?E=?.

t0=0,tn,0<tn<t0,tn→t0,Ptn→Pt0,Ptn∈E,

2n?1

11979

(n)

???

(

P),

=(0.1,0.2),=(0.01,0.02),=(0.21,0.22),

······

Ik,k=1,2,···,2n?1

(n)

=(0.a1a2···an?11,0.a1a2···an?12),

a1,a2,···,an?1

02.

[0,1]?P

x∈P,

+···+

ABφ:

∞?anφ:x=

n=12n·an

1.Em?E<+∞.

EIE?I.m?E≤m?I<+∞.2.

E={xi|i=1,2,···}.??>0,Ii,xi∈Ii,|Ii|=?

m?T=m?(T∩E)+m?(T∩?E),

(Cantor)P

[0,1]

9,······3n

2n?1

=1(

m[0,1]=m(P∪([0,1]?P))=mP+m([0,1]?P).

mP=m[0,1]?m([0,1]?P)=1?1=0,

A,B?Rp

m?B<+∞.

m?(A∪B)=mA+m?B?m?(A∩B).

m?(A∪B)=m?((A∪B)∩A)+m?((A∪B)∩?A)=mA+m?(B?A).

m?B=m?(B∩A)+m?(B∩?A),

m?B<+∞,

m?(B∩?A)<+∞,

m?(B?A)=m?B?m?(A∩B),

m?(A∪B)=mA+m?B?m?(A∩B).

?>0,

F?E?G,

∞?

m(G?E)<?,m(E?F)<?.

mE<∞

?>0,G

i=1

mE+?,

∞?

|Ii|<mE+?.

G=E

i=1

mG?mE<?,

∞?

{Ii},i=1,2,···,mE≤mG≤

i=1∞?

i=1

Ii?E,

i=1∞?

Ii,

G?E,

mIi=

|Ii|<

m(G?E)<?.

mE=∞En

n=1?

Gn,

Gn?En

m(Gn?En)<

∞?

En(mEn<∞),

i,n=1

∞?i,

m??∞?Bn?Bi,Bn?E?n=1∞?Bn?E?Bi?E.E?Ai,Bi?E?Bi?Ai,

n=1≤m?(Bi?E)≤m?(Bi?Ai)=m(Bi?Ai).

?i→∞,

n=1

10.∞?m(Bi?Ai)→0,m?BnE=n=1A,B?Rp,n=1∞?∞?Bn?E=0.?∞??Bn?Bn?E?n=1∞?Bn?EBnn=1

m?(A∪B)+m?(A∩B)≤m?A+m?B.

m?A=+∞

G2,m?B=+∞,m?A<+∞m?B<+∞GδG1G1?A,G2?B,mG1=m?A,mG2=m?B.

m?(A∪B)≤m(G1∪G2),m?(A∩B)≤m(G1∩G2).

m?(A∪B)+m?(A∩B)≤m(G1∪G2)+m(G1∩G2)=mG1+mG2=m?A+m?B.

11.E?Rp.?>0,F?E,m?(E?F)<?,

1En,Fn?E,m?(E?Fn)<

m?(E?F)=0,E?F

E=F∪(E?F)

12.?

M,??M,?≤M.c

?≥M,?=M.

f(x)

E[f>r]

E[f=r]

f(x)

E[f>a]=

n=1

∞?

r,E[f>r]

α,

E[f>rn],E[f>rn]

E[f>α]

{rn}

f(x)

r,E[f=r]

E[f>

√

x∈z,f(x)=

√

f(x)

E=(?∞,∞),z

(?∞,∞)

r,E[f=r]=?

n→∞

E|fn?f|<

x∈lim

x∈

∞?

k=1

lim

k=1

∞?

lim

?>0,

k0,,

n→∞

|fn(x)?f(x)|<

E|fn?f|<

n→∞

E|fn?f|<

n→∞

fn(x)

n→∞

fn=+∞]

+∞

n→∞

limfn>lim

fn=+∞]?E[

limfn>lim

n→∞

E[lim

n→∞

limfn=?∞]∪E[

n→∞

fn]

[0,1]

f(x)=

f(x)

x,?x,

x∈E,x∈[0,1]?E.

[0,1]

|f(x)|

f(x)

0∈E,E[f≥0]=E

0∈E,[0,1]E0

E[f>0]=E

f(x)

x∈[0,1]

|f(x)|=x

|f(x)|

fn(x)(n=1,2,···)?>0

a.e.

mE<∞.

E0?E,m(E\E0)<?,

|fn|a.e.

|fn(x)|≤c.

f]∪(

n=0

∞?

E[|fn|=∞]),

E[|fn|=∞],E[fn→f]

mE1=0.

E?E1

fn(x)

n=0,1,2,···.

f(x).

E1=E[fn→

E2=E?E1,

x∈E2,sup|fn(x)|<∞.

E2=

∞?

k=1

E2[sup|fn|≤k],E2[sup|fn|≤k]?E2[sup|fn|≤k+1].

mE2=limmE2[sup|fn|≤k].

k→∞

mE2?mE2[sup|fn|≤k0]<?.

E0=E2[sup|fn|≤k0],c=k0.

n,|fn(x)|≤c,

m(E?E0)=m(E?E2)+m(E2?E0)<?.

f(x)

(?∞,∞)

g(x)

[a,b]

f(g(x))

?∞,βn

E1=(?∞,∞),E2=[a,b].

∞?

E1[f>c]=(αn,βn),

n=1

f(x)

c,E1[f<c]

(αn,βn)

(

αn

+∞).

E2[f(g)>c]=

n=1

g7.

E2[g>αn],E2[g<βn]

∞?

E2[αn<g<βn]=

n=1

E[f(g)>c]

∞?

(E2[g>αn]∩E2[g<βn]),

fn(x),(n=1,2,···)fn(x)

”

f(x),

{fn}a.e.

”

f(x),

δ>0,fn

Eδ?E,

m(E?Eδ)<δ

fna.e.

EδEδ

f(x).

E0).

mE0=0.

δ,E0?E?Eδ(fn(x)

f(x)(

mE0≤m(E?E0)<δ,

δ→0,

f(x)

δ>0,

f(x)

Eδ

m(E?Eδ)<δ,

f(x)

a.e.

Eδ?E

1/n,

En?E,

f(x)En

m(E?En)<

n→∞,

mE0=0.E=(E?E0)∪E0=(

n=1∞?

n=1

a]∪(

En[f>a]),

∞?

En)∪E0=

n=0

En[f>a]

∞?

En.

a,E[f>a]=E0[f>

m?(E0[f>a])≤m?E0=0,

n=1

∞?

E0[f>a]En

E[f>a]

f(x)a.e.E

f(x)≤g(x)

{fn}

fn(x)≤g(x)a.e.fni(x)

E,n=1,2,···.

fn(x)?f(x),f(x)

fni(x)

En=E[fn>g].

{fni}?{fn},

n=0

∞?

fni(x)≤g(x),fni(x)

f(x),

a.e.f(x).E0

∞∞??

mE0=0,mEn=0.m(En)≤mEn=0.

n=0n=0

f(x)=limfni(x)≤g(x)

n=0

f(x)≤g(x)E

∞?

10.

fn(x)?f(x),

fn(x)≤fn+1(x)

n=1,2,···,

fn(x)

f(x).

fn(x)?f(x),

fni(x)

f(x)

En=E[fn<fn+1],m(

∞?

{fni}?{fn},

∞?

fni(x)

a.e.

f(x).

mE0=0,mEn=0.

En)≤mEn=0

n=0n=0

n=0

∞?

fni(x)

f(x),

fn(x)).

fn(x)En

f(x).(

n=0

fn(x)a.e.11.

f(x).

∞?

fn(x)

f(x),

fn(x)?f(x),fn(x)=gn(x)a.e.

n=1∞?

n=1,2,···,

gn(x)?f(x).

(

n=1

∞?

En=E[fn=gn]

m(En)≤

n=1

En)∪E[|f?fn|≥σ].

∞?

mEn=0.

σ>0,E[|f?gn|≥σ]?

mE[|f?gn|≥σ]≤m(

n=1

∞?

En)+mE[|f?fn|≥σ]=mE[|f?fn|≥σ].

fn(x)?f(x),12.

0≤limmE[|f?gn|≥σ]≤limmE[|f?fn|]≥σ=0

gn(x)?f(x).

mE<+∞,

fn(x)?f(x)

{fnk},

{fnk}

{fnkj},

j→∞

limfnkj(x)=f(x),a.e.

{fn}

{fn(x)}

f(x).

η0>0,

{fnk},

{mE[|fn?f|≥η0]}

?0>0,

mE[|fnk?f|≥η0]>?0>0.

{fnk}

(1)

a.e.

mE<+∞,

f(x)

fnkj?f(x),

(1)

{fnkj}

13.

mE<∞,g(x),

fn(x)

gn(x),n=1,2,···,

f(x)

(1)fn(x)gn(x)?f(x)g(x);(2)fn(x)+gn(x)?f(x)+g(x);

(3)min{fn(x),gn(x)}?min{f(x),g(x)};max{fn(x),gn(x)}?max{f(x),g(x)}.

(1)

f(x)a.e.

mE[|f|=∞]=0.

E[|f|≥n]?E[|f|≥n+1]

n=0

f|≥1]≤mE<∞,

∞?

E[|f|≥n]=E[|f|=∞],

E[|f|≥1]?E,mE[|

mE[|f|=∞]=limmE[|f|≥n]=0.

n→∞

limmE[|g|≥n]=0.

5,mE[|

?>0,σ>0,

σ0=min

k,mE[|f|≥k]<

fn?f|≥σ0]<

?σE|gnfn?gnf|≥

2(k+1)

?E[|gn|≥k+1]∪E[|fn?f|≥σ0].

?σmE|gnfn?gnf|≥

?σE|fgn?fg|≥

2(k+1)

?E[|f|≥k]∪E[|gn?g|≥σ0].

?σmE|fgn?fg|≥

?σ

E[|gnfn?gf|≥σ]?E|gnfn?gnf|≥

5?,

?σ

mE[|gnfn?gf|≥σ]≤mE|gnfn?gnf|≥

=?.

?>0,σ>0,

n>N

mE[|gnfn?gf|≥σ]<?,

gnfn?gf.(2)

E[|(fn+gn)?(f+g)|≥σ]?E?|fσ

n?f|≥

?mE[|(fn+gn)?(f+g)|≥σ]≤mE?|fσ

n?f|≥

2limmE[|(f?,

n→∞

n+gn)?(f+g)|≥σ]≤nlim→∞

mE?|fσ

n?f|≥

fn+gn?f+g.(3)

fn?f,

|fn|?|f|.

E[|fn?f|≥σ]?E[||fn|?|f||≥σ].

nlim→∞

mE[||fn|?|f||≥σ]≤nlim→∞

mE[|fn?f|≥σ]=0,

|fn|?|f|.

fn?f,

a=0,afn?af.

E[|afn?af|≥σ]=E?

|fn?f|≥

min{f(x)?g|a|

=0.

n(x),gn(x)}=

fn(x)+gn(x)?|fnn(x)|

(x)+g(x)?|f(x)?g(x)|

f2?.

min{fn(x),gn(x)}?min{f(x),g(x)}.max{fn(x),gn(x)}=fn(x)+gn(x)+|fn(x)?gn(x)|

Lebesgue

Darboux

f(x)

D:E1,E2,···,En,

1≤i≤n

maxmEi→0

S(D,f)→

f(x)dx,S(D,f)→

f(x)dx.

[0,1]

?????1,f(x)=????0,

[0,1][0,1]

→0(n→∞).

Dn={Ein},

Ein=

n?i=1

i?1

,i=1,2,···,n?1,En=

n?1

S(D,f)=

i=1x∈Ei

sup

mEin

1·

n(n=1,2,···),

f(x)

f(x)dx=

[0,1]

∞??n=1

f(x)dx=

∞?n=1

nmEn=

∞?n=1

n·

2n?1

|f(x)|

?>0,

δ>0,

e?E

me<δ

|f(x)|dx<?.

δ>0,

n>N

men<δ,n·men≤

|f(x)|dx<?.

limn·men=0.

n∞?

mE<∞,f(x)

En=E[n?1≤f<n],

f(x)

?∞

|n|mEn<∞.

f(x)

|f(x)|

n≥1n≤0

EnEn

n?1≤|f(x)|=f(x)<n.

|n|≤|f|≤|n?1|=1?n,

?∞??∞?∞?∞????∞>|f(x)|dx=|f|dx+|f|dx≥(n?1)mEn+|n|mEn

=En

∞?n=1

|n|mEn+

n=1

?∞?n=0

n=0

n=1n=0

|n|mEn?

∞?n=1

mEn=

∞??∞

|n|mEn?

∞?n=1

mEn,

∞?n=1

∞?

mEn=m(

∞?n=1

En)≤mE<∞,

?∞

|n|mEn<∞.

?∞

∞?

|n|mEn,

∞??n=1∞?n=1

|f(x)|dx=

|f|dx+

|n|mEn+

n=0

?∞?n=0

?∞??

|f|dx≤

?∞?n=0

∞?n=1

nmEn+

∞??∞

?∞?n=0

|n?1|mEn

|n|mEn+

mEn≤|n|mEn+mE<∞.

|f(x)|5.

f+(x)R

f?(x)

f(x)=f+(x)?f?(x)),

f(x)

[a,b]R

(

f(x)

[a,b]

|f(x)|

[a,b]

f(x)dx=(R)

[a,b]

f(x)dx.),

0<?<b?a,f(x)4

f(x)

[a,b]

[a+?,b]

|f(x)|

[a+?,b]

(R)

a+?

|f(x)|dx=

§2

[a+?,b]

|f(x)|dx.

?→0,

(R)

|f(x)|dx=

[a,b]

|f(x)|dx.

f(x)

[a,b]?

|f(x)|

[a,b]§5

7,?

f(x)dx=f(x)dx?

f(x)dx=(R)

f(x)dx?(R)

f(x)dx=(R)

f(x)dx.

[a,b]

[a,b]a

{fn}

nlim

→∞?

Efn(x)dx

=0,

fn(x)?0.

σ>0,

σmE[|fn|≥σ]≤

fx)dx≤

E[|fn|≥σ]

n(?

ndxmE[|fn|≥σ]≤

f(x)dx=0.

nfn(x)?0.7.

mE<∞,{fn}

a.e.

n(x)|

nlim

→∞

|fE

1+|fn≥σ?E[|fn|≥σ],

limmE

|fn|

1+|fn|

?0,

0≤

|fn|

1+|f=

n(x)|

dx?

0dx=0.

n→∞lim

|fn(x)|

1+|fn(x)|dx

?0.

1+|fn|

≥

1+|fn|

≥

α≥1

0|f(x)|dx≥?11x0|dx≥?1x|sin1

y|dy=∞,

α≥1

α<1f(x)L[0,1]1x|xα|,f(x)L

9.[0,1]nE1,E2,···,En,[0,1]nqq/n.?n?i(x)Ei[0,1]q?i=1i(x)≥q.mEi=?[0,1]?i(x)dx,

mEi=

i=1?[0,1]?n?i(x)dx≥

i=1?qdx=q.[0,1]

Ei,mEi≥q

n?.

mE[f?0]≤n?∞=1mE?|f|≥1

?1+t=1.n

t∈(0,1)1

n?nt1t1√

1+t=n2nt2+···?t1t2(n?1)<4[0,1]

?1?,t∈(0,1),

F(t)=?????????t

????

4√

=6,

)

F(x)

(0,∞lim

dtn

(0,∞)

?1+

dt=

(0,∞)

1+x

=(1?x)+(x2?x3)+···,0<x<1,

ln2=1?

1+x

dx=

?∞?1

(x2n+1)dx=

=1?

n=0

?x2n?∞n=0

?2n+2

1+xdx

=ln2,

ln2=1?

f(x,t)?????≤K,

a≤x≤b,|t?t0|<δ,

f(x,t)dt=lim

n→∞

?????=?????

ft′(x,t+θhn)·hn?

f(x,t)dt=

lim

f(x,t+hn)?f(x,t)

an→∞

1?x

(p+n)2(p>?1).

x=(∞?xn)xpln1

n=0

px∈(0,1)n+xln1

1?xln1

(n+p+1)2=?∞

n=1

(x)|dx≤K,

n→∞?E|fn

|f(x)|f(x)

16.f(x)[a??,b+?]

limt→0?ba|f(x+t)?f(x)|dx=0.

§41,σ>0,[a??,b+?]

?b+?

(x)??(x)|dx<σ

a??|f

3(b?a).

0<t<δx∈[a,b],

|?(x+t)??(t)|<σ

3+σ

3(b?a)·(b?a)=σ.

limt→0a|f(x+t)?f(x)|dx=0.

61?(x),

17.

f(x),fn(x)(n=1,2,···)

n→∞

lim

|fn(x)|dx=

n→∞

limfn(x)=f(x)a.e.

|f(x)|dx,

e?E,

n→∞

lim

|fn(x)|dx=

|f(x)|dx.

{fni(x)},

|f(x)?f(xn)|<

|f(x)|dx=

lim

n→∞

|dx.

|fn(x)?

|f(x)|dx≥

nlim→∞

|fn(x)|dx,

ilim

→∞

|fni(x)|dx=

)|dx≥

n→∞

|fn(x?

|f(x)|dx≥

x∈(xn?δ,xn+δ)

≥

?∞mEni=

δ?0=∞,

i=1

?∞i=1

|f(x)|

19.(0,∞)x→∞limf(x)=0.Rqf(x)Rp

Rpg(y)f(x)·g(y)Rp×Rqf(x)

g(y)RpRp×Rqf(x)g(y)Rp×RqRp×Rq

f(x),g(y)??

f(x),g(x)Rp×Rq§64,f(x)g(y)Rp×Rq????f(x)g(x)dxdy=dxf(x)g(y)dy=f(x)dx·g(y)dy<∞,RpRqRpRqf(x)=f+(x)?f?(x),g(y)=g+(y)?g?(y),f+(x),f?(x),g+(y),g?(y)f(x)g(y)=f+(x)g+(y)+f?(x)g?(y)?f?(x)g+(y)?f+(x)g?(y)

f(x)g(y)

20.D:?1≥x≥1,?1≥y≥1

??????f(x)=?????

?1xyxy(x2+y2)2dx

(x2+y2)dx=2?1dx

?1?1xy?1

(x2+y2)2dx

?1xy

2y0?y

(a,b)

f(x),g(x)

(a,b)

f(x)=g(x).xn∈E,

f(x)

g(x)

xn≤x0

x0∈M,

n→∞

limxn=x0,

f(x0+0)=f(x0)=f(x0?0).

(a,b)

f(x0?0)=limf(xn)=limg(xn)=g(x0?0).

n→∞

f(x0+0)=g(x0+0),

g(x)

N?M,

M=N,

f(x)

g(x)

x0∈E,

M?N.

f(x)

{fn}[a,b]

(fn)<K,(n=1,2,···),

fn(x)→f(x)(n→∞),

f(x)

[a,b]

T:a=x0<x1<···<xm=b,

m?i=1

|fn(xi)?fn(xi?1)|≤(fn)<K,n=1,2,···.

am?i=1

m?i=1

|fn(xi)?fn(xi?1)|=lim

n→∞

|fn(xi)?fn(xi?1)|≤K.

f(x)3.

[a,b]

f(x)=xαsin

(f)≤K.a

??1

?xαk?1sin

xβk

((n?1)?k)π+((n?1)?k)π+(n?k)π

+=2

?α

(n?k)π+

(n?k+1)π

k=2n?1

xβ?βxα?β?1cos1

tβ?xδ=xαsin1

?n?f(a)|+

i)?f(xi?1)|

i=1

|f(xi)?f(xi?1)|=|f(x1)≤|f(x1)|+|f(a)|+

?b?ni=2

|f(x(f)≤2M+|f(b)|+|f(a)|,

b(f)≤2M+|f(b)|+|f(a)|<∞,a

f(x)[a,b]6.

{fn}

[a,b]f(x)=

n=1

f(x)

[a,b]

∞fn(x)

fn(x)

[a,b]

fn(x)=fn(a)+

f′

)dt.

n(tfn(x)

f′

n(x)≥0,a.e.

[a,b].

f(x)

[a,b]

f′(x)

[a,b]L

f(?

∞?

∞x)=

fn(x)=

fn(a)+

)dt.

n=1n=1

∞=1

f′

n(t?

∞?x

′

xfn(t)dt=

n=1

f′

)dt.

an(tn∞?

∞=1

fx)

n=1

n()]<∞.

∞t)dt≤

fn(b)?fn(a=1

f′

n(n?∞?

∞[=1

f′

n(x)

[a,b]

n=1

f(x)=

n(a)+

∞f=1

∞xf′

n(t)dt

n=1

[a,b]7.

f(x)

[a,b]

(1)f(x)[a,b]Lipschitz

(2)f(x)

[a,b]

(2)

(1).

f(x)=

g(t)dt,

a,b]

[

g(x)[a,b]|g(x)|≤K,x∈[a,b].[a,b]x′,x′′,x′>x′′,f(x)[a,b]Lipschitz

f(x)??′??x???′′′|f(x)?f(x)|=?g(t)dt?≤K|x′?x′′|,?x′′?(1)(2).[a,b]Lipschitz?x

f(x)=f(a)+f′(t)dt.f(x)[a,b]

x,y∈[a,b],

KLipschitz?????xy

g(x)[a,b]|f′(x)|≤K,a.e.??f′(x),g(x)=?K,??f′(t)dt??=|f(x)?f(y)|≤K|x?y|,[a,b].|f′(x)|≤K,|f′(x)|>K,

f(x)=f(0)+

8.?xg′(t)dt.0””S

””f(x),α(x)[a,b][a,b]

T:a=x0<x1<···<xn=b,

Mimif(x)[xi?1,xi]i=1,2,···,n,

S(T,f,α)=

s(T,f,α)=

??b

an?i=1n?i=1Mi(α(xi)?α(xi?1)),mi(α(xi)?α(xi?1)).f(x)dα(x)=infS(T,f,α),T

af(x)dα(x),f(x)α(x)S

”””

f(x)=”????0,???1,x∈?1,???1,x∈?2

4?12,1,?

α(x)=

????0,

[?1,1]

T:?1=x0<···<xi?1<?1

σ=

n?i=1

???1,

x∈?1,?

x∈?.

,1,

<xj<···<xn=1,

f(ξi)[α(xi)?α(xi?1)]=f(ξi)?f(ξj)

1??1,ξ>?i?????

=0,ξi>?????????1,ξi<?1f(x)

ξi<?,

[?1,1]S

α(x)

”

f(x)

T:?1=x0<x1<···<xn=1,

(xi?1,xi)

α(x0)=α(x1)=···=α(xn)=0.?1

S(T,f,α)=

0,s(T,f,α)=0;

∈[xj?1,xj],

S(T,f,α)=

Mk(α(xk)?α(xk?1))=1?1=0,

k=1

s(T,f,α)=

??1f(x)dα(x)=?

mk(α(xk)?α(xk?1))=0,

k=1

i=1

∞?

(ai,bi)?E,

∞?i=1

m?α(ai,bi)≥mα

?∞

(ai,bi)

i=1

≥m?αE,

inf

∞?i=1

m?α(ai,bi),

i=1

∞?

(ai,bi)?E

≥m?αE.

α(x)

α′(x).

α(x?0)=α′(x?0),α(x+0)=α′(x+0),

???

∞?

m?α(ai,bi)=mα′(ai,bi).

E?R1,

m?αE=inf

=inf=inf=inf

m?α(ai,bi),

(ai,bi)?E

∞?

=m?α′E.

i=1

∞?i=1

i=1∞?

i=1

(α(bi?0),α(ai+0)),

(ai,bi)?E

(α′(bi?0),α′(ai+0)),m?α′(ai,bi),

∞?

i=1

∞?

(ai,bi)?E?

i=1

(ai,bi)?E

i=1

L?S

α(x)

L?S

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