西安交通大学

概率论与数理统计上机实验报告

 

     ——《用蒙特卡洛方法估计积分值》

学院：电信学院

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一．  实验内容：用蒙特卡洛方法估计积分值

1.      用蒙特卡洛方法估计积分 ，和的值，并将估计值与真值进行比较。

2.      用蒙特卡洛方法估计积分 和的值，并对误差进行估计。

二．       实验要求

（1）  针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；

（2）  利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值；

（3）  进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。

三．  实验目的

（1）    能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数及其期望、方差、协方差等；

（2）    熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；

（3）    能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。

四．    实验原理

蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

蒙特卡罗方法求积分的基本思想是，首先建立一个随机均匀的与求解有关的概率模型，使所求的解是我们所建立的的模型的概率分布或数学期望；然后在该模型中随机产生随机样本；最后用算数平均值所谓求解问题的近似解。

此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。当抽样点数为m时，使用此种方法所得近似解的统计误差只与m有关,不随积分维数的改变而改变。因此当积分维度较高时，蒙特卡罗方法相对于其他数值解法更优。

五．  实验步骤

1.      用蒙特卡洛方法估计积分 ，和的值，并将估计值与真值进行比较。

（1）

问题分析：构造一个服从均匀分布的概率模型，随机变量X具有概率密度

             取，则有=，所以积分值就为E[h(x)]。所以，产生10组随机数，每组中有10000个随机数，求出每组随机数所对应的估计值，并用估计值与真值进行比较，通过计算均方误差来估计结果的精度。

  

程序设计：

    首先，求出积分的真值：

          

所以积分的真值为1.

现在通过蒙特卡洛方法得出10组积分的估计值，并计算样本均值和均方误差：

计算结果为：

所以，样本均值为1.000931，均方误差为0.000049。表明计算结果与真值误差较小。

（2）

     问题分析：

         ==

所以取，则该函数为标准正态分布函数，取

，所以积分值就为E[h(x)]。所以，产生10组随机数，每组中有10000个随机数，求出每组随机数所对应的估计值，并用估计值与真值进行比较，通过计算均方误差来估计结果的精度。

程序设计：

首先，计算出积分的真值：

   所以，积分的真值为。

现在通过蒙特卡洛方法得出10组积分的估计值，并计算样本均值和均方误差：

所以计算结果为：

所以样本均值为0.884741，均方误差为0.000012，表明计算结果与真值误差较小。

（3）

问题分析：

=

所以，把看做x,使x在0到1之间取10000个值坐在0至1区间上的均匀分布的随机简单样本,计算样本对应的y值,因为y与无关,所以第二重积分可直接乘以得样本均值,一共计算10次,即可用样本均值作为积分的估计值.

取均匀分布的概率密度为：

取，所以积分值为。

程序设计：

首先，计算出积分的真值：

所以，积分的真值为：

现在通过蒙特卡洛方法得出10组积分的估计值，并计算样本均值和均方误差：

计算结果为：

所以样本均值为5.380563，均方误差为0.002566，表明计算结果与真值误差较小。

2. 用蒙特卡洛方法估计积分 和的值，并对误差进行估计。

  （1）

问题分析：构造一个服从均匀分布的概率模型，随机变量X具有概率密度为

              取，所以=

即积分值为E（h（x））。在0至1区间上随机取10000个数为均匀分布的简单随机样本,然后计算y的值一共计算10次,即可用样本均值作为积分的估计值.并且计算样本均值与样本方差。

程序设计：

       

      计算结果为：

所以样本均值为1.463067，样本方差为0.000023，所以误差较小。

（2）

问题分析：构造一个服从均匀分布的二维概率模型，随机变量X具有概率密度为

                     

           取，所以积分值为E（h（x））。所以只需随机产生10组数据每组10000个,保证这些数据为均匀分布在单位圆内的简单随机样本,然后计算h（x）的值,即可用E（h（x））对积分制进行估计。并且计算样本均值与样本方差。

 

计算结果为：

 

所以，样本均值为2.959142，样本方差为0.000003，所以计算较为精确。

六．    实验心得

在实验过程中，主要难点是确定一个合适的分布进行估计，由于这几个程序的思想是一样的，所以编写程序的时候只需根据分布函数的不同进行几个调整就可以了。所以说，确定合适的分布是最为重要的。在应用matlab过程中，由于对一些知识的不了解，所以在操作过程中遇到了一些麻烦。用蒙特卡洛方法求积分能够较为准确、便捷的求得所需要的值。

第二篇：西安交通大学 概率统计试题 07年

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