《概率论与数理统计应用》
实验报告
班级：
学号：
姓名：
实验目的：
ａ．熟悉MATLAB的在概率计算方面的操作；
ｂ．掌握绘制常见分布的概率密度及分布函数图形等命令；
ｃ．会用MABLAB求解关于概率论与数理统计的实际应用题
ｄ．提高数据分析的能力
实验题目与解答：
1.二项分布的泊松分布与正态分布的逼近
设 X ~ B(n，p) ，其中np=2
1) 对n=101,…,105,讨论用泊松分布逼近二项分布的误差。
画处逼近的图形
2) 对n=101,…,105, 计算 
，
1）用二项分布计算
2）用泊松分布计算
3）用正态分布计算
比较用泊松分布逼近与正态分布逼近二项分布的优劣。
问题分析：
查询MATLAB函数库可知泊松分布概率密度函数为
，泊松分布概率函数为
。其中
同时，二项分布概率密度函数为
，二项分布概率分布函数为
。其中
正态分布概率分布函数为
，其中
利用
这两个函数，即可画出泊松分布和二项分布的概率密度曲线，设置变量
表示在每一点处概率密度差值的绝对值，对 求平均值
，并计算方差
。即为用泊松分布逼近二项分布的误差。
利用
这三个函数，可分别得出泊松分布，二项分布和正态分布在任一点
的概率
，用泊松分布计算
只需计算
和
时的概率之差即可，即
实验内容：
1) 
时画出图像并计算误差
k = 0:20;
N=10;p=0.2;
lamda=n*p;
B = binopdf(k,n,p);
P = poisspdf(k,lamda);
Aver1=mean(abs(P-B))
Var1=var(abs(P-B))
subplot(2,3,1)
plot(k,B,'r',k,P,'b')
title('二项分布(red).泊松分布(blue) n=10')
grid on
——————————————————————————————
k = 0:20;
N=100;p=0.02;
lamda=n*p;
B = binopdf(k,n,p);
P = poisspdf(k,lamda);
Aver2=mean(abs(P-B))
Var2=var(abs(P-B))
subplot(2,3,2)
plot(k,B,'r',k,P,'b')
title('n=100')
grid on
——————————————————————————————
k = 0:20;
N=1000;p=0.002;
lamda=n*p;
B = binopdf(k,n,p);
P = poisspdf(k,lamda);
Aver3=mean(abs(P-B))
Var3=var(abs(P-B))
subplot(2,3,3)
plot(k,B,'r',k,P,'b')
title('n=1000')
grid on
——————————————————————————————
k = 0:20;
N=10000;p=0.0002;
lamda=n*p;
B = binopdf(k,n,p);
P = poisspdf(k,lamda);
Aver4=mean(abs(P-B))
Var4=var(abs(P-B))
subplot(2,3,4)
plot(k,B,'r',k,P,'b')
title('n=10000')
grid on
——————————————————————————————
k = 0:20;
N=100000;p=0.00002;
lamda=n*p;
B = binopdf(k,n,p);
P = poisspdf(k,lamda);
Aver5=mean(abs(P-B))
Var5=var(abs(P-B))
subplot(2,3,5)
plot(k,B,'r',k,P,'b')
title('n=100000')
grid on
2) 计算泊松，二项，正态分布的
lambda=2;
N=10;
p=lambda/N;
k=0:N;
——————————————————————Pl=poisscdf(50,lambda);
P2=poisscdf(5,lambda);
P3=P2-P1
——————————————————————B1=binocdf(5,N,p);
B2=binocdf(50,N,p);
B3=B2-B1
——————————————————————N1=normcdf(5,p,N);
N2=normcdf(50,p,N);
N3=N2-N1
——————————————————————
实验结果及误差分析：
1)
误差如下所示：
n越大，泊松分布与二项分布的误差越小。
（2）泊松分布计算
表 2
二项分布计算
表 3
正态分布计算
表 4
二项分布就趋于参数为λ的泊松分布。如果
（如p是一个定值），则根据中心极限定理，二项分布将趋近于正态分布。
2. 正态分布的数值计算
设
～
；
1）当
时，计算 
，
；
2）当时,若
，求
；
3）分别绘制
，
时的概率密度函数图形。
问题分析：
用函数即可求解。
1) 计算，只需计算
和
差值即可。且
。
2) 当，求。使用
函数即可。
3) 
得到概率密度，使用
画出即可
实验内容：
1)
F1=normcdf(2.9,1.5,0.5)-normcdf(1.8,1.5,0.5)
F2=1-normcdf(2.5,1.5,0.5)
2)
x=norminv(0.95,1.5,0.5)
3)
x=-2:4;
F=normpdf(x,1,0.5);
plot(x,F);
hold on;
title('mu=1')
实验结果：
1)
2)
3) 概率密度图形
正态分布曲线关于x=μ对称
3. 已知每百份报纸全部卖出可获利14元，卖不出去将赔8元，设报纸的需求量的分布律为
试确定报纸的最佳购进量
。（要求使用计算机模拟）
问题分析：
设
为购进k百张报纸后赚得的钱，计算
，
当N足够大时，误差很小。
实验内容：
n=20000;
x=rand(n,1);
for y=1:5;
w=0;
for i=1:n ;
if x(i)<0.05
T=0;
elseif x(i)<0.15
T=1 ;
elseif x(i)<0.4
T=2 ;
elseif x(i)<0.75
T=3 ;
elseif x(i)<0.9
T=4;
else
T=5;
end
if y>T
w1=T*14-(y-T)*8;
else
w1=y*14;
end
w=w1+w;
end
y
w
end
结果：y =1
w =257868
y =2
w =471296
y =3
w =575120
y =4
w =525054
y =5
w =408746
当y=3时收益最大，所以，最佳进购量n=300份时收益最佳。
4．蒲丰投针实验
取一张白纸，在上面画出多条间距为d的平行直线，取一长度为r（r<d）的
针, 随机投到纸上 n次，记针与直线相交的次数为m. 由此实验计算
1） 针与直线相交的概率。
2） 圆周率的近似值。
问题分析：
假设针长度
，则将针弯成一个圆后，无论怎样仍，针都会和直线相交两次。以当针长度时，在投掷次数n够大时，相交次数m期望大致为2n。则在
时，当投掷次数n增大的时候，针与平行线相交的交点总数m应当与长度r成正比，即
k是比例系数，满足
故
即
实验内容：
（1）
clear
a=1;
l=0.6;
counter=0;
n=10000000;
x=unifrnd(0,a/2,1,n);
phi=unifrnd(0,pi,1,n);
for i=1:n
if x(i)<l*sin(phi(i))/2
counter=counter+1;
end
end
frequency=counter/n;
disp('针与直线相交的概率')
gailv=counter/n
结果：针与直线相交的概率
gailv =0.3819
（2）
clear
a=1;
l=0.6;
counter=0;
n=10000000;
x=unifrnd(0,a/2,1,n);
phi=unifrnd(0,pi,1,n);
for i=1:n
if x(i)<l*sin(phi(i))/2
counter=counter+1;
end
end
frequency=counter/n;
disp('圆周率的近似值')
frequency=counter/n;
Pi=2*l/(a*frequency)
结果：圆周率的近似值
Pi =3.1406
实验总结与心得体会：
在平时的题目运算中，时常会遇到繁琐的计算，费时费力，而MATLAB提供了方便快捷的运算，大大地减少了题目的运算量，使我受益匪浅。
通过本次试验，我学习到多种MATLAB有关概率论和数理统计运算的指令，主要学习运用MATLAB绘制常见分布的概率密度及分布函数图形。熟悉了MATLAB的多种命令，并综合运用多种指令解决实际应用，十分方便准确快捷。在此次实验学习实践的过程中，加深了对本门课程和MATLAB的理解，也产生了对本学科更深的兴趣。相信在以后更多的实践中能够更加熟练地运用MATLAB解决实际问题，并继续深入学习。
第二篇：概率论上机实验报告
实验一
实验题目: 通过模拟实验，验证男孩、女孩的出生频率接近
。
问题分析
我们知道，出生的是男孩还是女孩仅仅决定于父亲遗传给子女的染色体是X或者是Y染色体，而且父亲产生X和Y染色体的概率是一样的，所以这里可以通过产生一万个0~1的随机数，小于0.5的就可以定义为产生X染色体，也就是出生的是女孩，反之为男孩，最后计算男女孩占总数的比例来验证频率1/2。
源代码
boy=0;
girl=0;
for i=1:1:10000
a=rand;
if a<0.5
boy=boy+1;
else
girl=girl+1;
end
end
s=boy/10000
实验结果
s =
0.4958
通过得到的结果我们可以知道出生的男女孩比例确实为1/2。
实验二
实验题目: 通过血检对某地区的
个人进行某种疾病普查。有两套方案：方案一是逐一检查；方案二是分组检查。那么哪一种方案好？若这种疾病在该地区的发病率为0.1；0.05；0.01，试分析评价结果。
问题分析
类似于上一个题目，依然可以通过产生随机数的方法，其中可以定义小于p（患病率）的为患病者，大于p的就是健康的人，此时若分组中没有患病者，则一组只要检查一次即可，反之则要检查组中人数+1次，组后算出检查总数与所检查的总人数比较来确定究竟是哪一种检查方案更好。其中，由于就做一次实验可以有较大的偶然性，所以进行多次循环求平均值以确保实验的科学性与准确性。
源代码
total=0;
for q=1:100
number=0;
p=0.05; %患病的概率
k=100; %所分的组数
t=100; %每组的人数
N=k*t; %总人数N
A=rand(k,t);
for i=1:k, %循环检查每个分组
h=1;
for l=1:t %遍历分组中的每个成员看是否患病者
if A(i,l)<p
h=0;
end
end
if h==1
number=number+1; %没有患病者时只要检查一次
else
number=number+t+1; %有患者则检查t+1次
end
end
total=total+number;
end
number=total/100
实验结果
number =
6491
number =
10039
number =
10098
通过实验结果我们可以看出在每个分组有一百人的情况下（一共有100个分组），只有患病率为0.01的时候分组检查方案才有明显的优势，而在患病率为0.05和0.1的时候则没有任何的优势可言，相反的会更加麻烦，其实通过带入不同的每组人员数值可以发现在每组人数为40人的时候，患病率为0.05时，用分组检查的方案就没有明显的优势。在患病率为0.1时这个数值会更小。
实验三
实验题目: 来自总体的样本观测值如下，计算样本均值，样本方差，样本中位数，样本极差，画出频率直方图，经验分布函数图。
（16 25 19 20 25 33 24 23 20 24 25 17 15 21 22 26 15 23 22 20 14 16 11 14 28 18 13 27 31 25 24 16 19 23 26 17 14 30 21 18 16 18 19 20 22 19 22 18 26 26 13 21 13 11 19 23 18 24 28 13 11 25 15 17 18 22 16 13 12 13 11 09 15 18 21 15 12 17 13 14 12 16 10 08 23 18 11 16 28 13 21 22 12 08 15 21 18 16 16 19 28 19 12 14 19 28 28 13 21 28 19 11 15 18 24 18 16 28 19 15 13 22 14 16 24 20 28 18 18 28 14 13 28 29 24 28 14 18 18 18 08 21 16 24 32 16 28 19 15 18 18 10 12 16 18 19 33 08 11 18 27 23 11 22 22 13 28 14 22 18 26 18 16 32 27 25 24 17 17 28 33 16 20 28 32 19 23 18 28 15 24 28 29 16 17 19 18）
问题分析
本题主要就是对于样本的各种相关概率统计，而已用matlab中概率统计相关的函数进行解决，思路和方法都很明确。过程应该来说也很简单。
源代码
a=[16 25 19 20 25 33 24 23 20 24 25 17 15 21 22 26 15 23 22 20 14 16 11 14 28 18 13 27 31 25 24 16 19 23 26 17 14 30 21 18 16 18 19 20 22 19 22 18 26 26 13 21 13 11 19 23 18 24 28 13 11 25 15 17 18 22 16 13 12 13 11 09 15 18 21 15 12 17 13 14 12 16 10 08 23 18 11 16 28 13 21 22 12 08 15 21 18 16 16 19 28 19 12 14 19 28 28 13 21 28 19 11 15 18 24 18 16 28 19 15 13 22 14 16 24 20 28 18 18 28 14 13 28 29 24 28 14 18 18 18 08 21 16 24 32 16 28 19 15 18 18 10 12 16 18 19 33 08 11 18 27 23 11 22 22 13 28 14 22 18 26 18 16 32 27 25 24 17 17 28 33 16 20 28 32 19 23 18 28 15 24 28 29 16 17 19 18];
E=mean(a)
D=var(a)
Mid=median(a)
Y=range(a)
x=10:2:40;
[m,n]=hist(a,x);
subplot(1,2,1)
bar(n,m/sum(m),1);axis([5,40,0,0.2])
hold on
subplot(1,2,2)
cdfplot(a);axis([10,40,0,1])
实验结果
>>
E =
19.4416
D =
34.1662
Mid =
18
Y =
25
,由上面得到的结果可以得到，样本的均值为19.44，方差为34.17，中位数为18，极差为25。
上图左方为样本的频率直方图，右边为经验分布函数图。
实验四
实验题目:给出200名学生的身高和脚印（单位：厘米）
a) 分别列出身高与脚印的样本数
b) 计算样本均值、样本标准差、中位数、
c) 作出身高与脚印的频率直方图
d) 估计身高与脚印的关系
问题分析
与上题类似，不过多了一点，也就是样本数据是自己随机产生的符合正态分布的一组数据。（因为人的身高和脚长本身就符合正态分布）
源代码
H=normrnd(170,10,1,200);
E=mean(H)
D=var(H)
Mid=median(H)
x=150:2:190;
[m,n]=hist(H,x);
bar(n,m/sum(m),1);axis([150,190,0,0.2])
hold on
实验结果
E =
169.2277
D =
92.1337
Mid =
169.7961
身高样本的平均值为169.23，方差为92.13,中位数为169.80.。
身高的频率分布直方图为：
实验五
实验题目：已知机床加工得到的某零件尺寸服从期望为20cm,标准差为1.5cm的正态分布。
（1）任意抽取一个零件，求它的尺寸在（19,22）区间的概率；
（2）若规定尺寸不小于某一标准值的零件为合格品，要使合格品 的概率为0.9，如何确定这个标准值？
（3）独立的取25个组成一个样本，求样本均值在（19,22）区间的概率。
问题分析
通过经验分布函数和逆经验分布函数可以直接计算得到对应的频率与对应的标准值。至于第三题，一者可以通过计算机仿真来估算其概率，二者可以通过中心极限定理来计算对应的结果。
源代码
p=normcdf(22,20,1.5)-normcdf(19,20,1.5)
x=Norminv(0.1,20,1.5)
k=0;
for i=1:1:100000
R=normrnd(20,1.5,1,25);
r=sum(R)/25;
if (r>19&&r<22)
k=k+1;
end
end
P=k/100000
p=normcdf((20/3),0,1)-normcdf((-10/3),0,1)
实验结果
p =
0.6563
x =
18.0777
P =
0.9996
（1）任意抽取一个零件，它的尺寸在（19,22）区间的概率为0.6563；
（2）若规定尺寸不小于某一标准值的零件为合格品，要使合格品 的概率为0.9，则这个标准值应该为18.07；
（3）独立的取25个组成一个样本，样本均值在（19,22）区间的概率为0.9996，可以得到当实验次数足够多时通过计算仿真得到的结果与通过中心极限定理得到的结果是一致的。
实验总结
通过本次实验，我们对于概率统计学中的一些基本知识有了更深的了解与更牢固的掌握，更主要的是基本能够通过matlab工具来觉得一些基本的概率统计为题。其中最主要的两点：一是对于计算机仿真算法有了比较熟练的把握与运用；再者就是掌握了一些常用的，实用的概率统计函数。