§实验7用扭摆法测定物体转动惯量

一、实验目的

1．学会扭摆法测量物体转动惯量的基本原理和实现方法。

2．理解“对称法”验证平行轴定理的实验思想，学会验证平行轴定理的实验方法。

3．学习间接比较法测量转动惯量的实验方法，掌握定标测量思想方法。

4．学会光电转换测量时间的累积放大法。

5．掌握直接测量和间接测量不确定度的估算方法。

6．学会判断理论和实验是否相符的作图法。

二、实验器材

（1）转动惯量测试仪：通过扭摆摆动测量转动惯量，验证平行轴定理；光电门：通过光电传感器测量物体摆动的周期。

（2）电子天平、托盘天平：测量待测物体的质量。

（3）米尺、卡尺：测量待测物体的长度和直径。

（4）待测物体：金属载物盘，塑料圆柱，金属圆筒，金属细杆，金属滑块等。 

三、实验原理

1.转动惯量:转动惯量是表征转动物体惯性大小的物理量，是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数。如钟表摆轮、精密电表动圈的体形设计、枪炮的弹丸、电机的转子、机器零件、导弹和卫星的发射等，都不能忽视转动惯量的大小。因此测定物体的转动惯量具有重要的实际意义。刚体的转动惯量与刚体的质量分布、形状和转轴的位置都有关系。对于形状较简单的刚体，可以通过计算求出它绕定轴的转动惯量，但形状较复杂的刚体计算起来非常困难，通常采用实验方法来测定。

2.实验方法及测量公式简介:转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量，与转动惯量的关系，进行转换测量。本实验使物体作扭转摆动，由于摆动周期及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。

扭摆的构造如图1所示，在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体。垂直轴与支座间装有轴承，以降低摩擦力矩，3为水平仪，用来调整系统平衡。

将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度θ成正比，即：

                               ( k为弹簧的扭转常数)                       （2-7-1）

根据转动定律( I为物体绕转铀的转动惯量，β为角加速度)，即            （2-7-2）

令，且忽略轴承的摩擦阻力矩，由以上两式（2-7-2）可得：

                                                          （2-7-3）

上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速与角位移成正比，且方向相反，此方程的解为：

式中，A为谐振动的角振幅，φ为初相位角，ω为角速度。此谐振动的周期为：

                                                                  （2-7-4）

由（2-7-4）式可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I和k中任何一个量已知时即可计算出另一个量。

四、仪器装置简介

实验中出主要仪器为转动惯量测试仪，下面简单介绍组成及使用方法。

1.转动惯量测试仪

由主机和光电传感器两部分组成。主机采用新型的单片机作控制系统，用于测量物体转动和摆动的周期，以及旋转体的转速，能自动记录、存贮多组实验数据并能够精确地计算多组实验数据的平均值。光电传感器主要由红外发射管和红外接收管组成，将光信号转换为脉冲电信号，送入主机工作。因人眼无法直接观察仪器工作是否正常，但可用遮光物体往返遮挡光电探头发射光束通路，检查计时器是否开始计数和到预定周期数时，是否停止计数。为防止过强光线对光探头的影响，光电探头不能置放在强光下，实验时采用窗帘遮 光，确保计时的准确。

3.仪器使用方法

（1）调节光电传感器在固定支架上的高度，使被测物体上的挡光杆能自由往返地通过光电门，再将光电传感器的信号传输线插入主机输入端（位于测试仪背面）。

（2）开启主机电源，摆动指示灯亮，参量指示为“P₁、数据显示为‘┈’”。

（3）本机默认扭摆的周期数为10，如要更改，可参照仪器使用说明3，重新设定。更改后的周期数不具有记忆功能，一旦切断电源或按“复位”键，便恢复原来的默认周期数。

（4）按“执行”键，数据显示为“000.0”，表示仪器已处在等待测量状态，此时，当被测的往复摆动物体上的挡光杆第一次通过光电门时，由“数据显示”给出累计的时间，同时仪器自行计算周期C1予以存贮，以供查询和作多次测量求平均值，至此，P1（第一次测量）测量完毕。

（5）按“执行”键，“P1”变为“P2”，数据显示又回到“000.0”，仪器处在第二次待测状态，本机设定重复测量的最多次数为5次，即（P1，P2…P5）。通过“查询”键可知各次测量的周期值C₁（I ＝1，2…5）以及它们的平均值CA。

五、实验内容

1. 预习准备

熟读实验原理，认真设计实验内容。熟悉实验仪器的使用方法和注意事项。自行设计实验步骤和实验数据表格。拟定实验数据处理方法，，预习并复习不确定度计算方法。写好预习实验报告，准备实验。

2.实验前准备

明确实验内容！（1）调节扭摆水平和转动惯量测试仪处于测量状态。（2）测定扭摆的仪器常数即弹簧的扭转常数。（3）测量塑料圆柱体、金属圆筒和木球的转动惯量，并与理论值比较，计算百分误差。4）测量滑块位置不同时的转动惯量，验证转动惯量平行轴定理。观察实验仪器，了解仪器结构和原理，看是否与自己预习的相同。

3.开始实验

按预习报告设计好的实验步骤及现场观察有条不紊的进行实验。以下实验步骤仅供参考：

1．测出塑料圆柱体的外径、金属圆筒的内、外径、木球直径、金属细长杆长度及各物体质量（各测量3-6次）。

2.调整扭摆基座底脚螺丝，使水平仪的气泡位于中心。

3. 弹簧的扭转常数及塑料圆柱体、金属圆筒和木球转动惯量的测量

                                                                  （2-7-5）

其中为塑料圆柱体的转动惯量的理论值，、为金属载物盘空转和放入塑料圆柱后共同摆动时的摆动周期。思考：为什么用此公式计算扭转常数k，如何推导？怎样测量？

4.分别测量金属载物盘、塑料圆柱.金属圆筒和木球的转动惯量的摆动周期，各测6次。在计算木球的转动惯量时，应扣除支架的转动惯量）。

5.验证平行轴定理：取下其他待测物，在支架上装上金属细杆（金属细杆中心必须与转轴重合）。测定摆动周期。（在计算金属细杆的转动惯量时，应扣除支架的转动惯量）。再将滑块对称放置在细杆两边的凹槽内，分别测出滑块质心离转轴的距离分别为5.00、10.00、15.00、20.00、25.00厘米，的摆动周期T。验证转惯量平行轴定理。（在计算转动惯量时，应扣除支架的转动惯量）。

注意事项

1．扭摆的基座应保持水平状态。

2．光电探头宜放置在挡光杆的平衡位置处，挡光杆不能和它相接触，以免增大摩擦力矩。

3．在安装待测物体时，其支架必须全部套入扭摆主轴，将制动螺丝旋紧，否则扭摆不能正常工作。

4．在测定各种物体的摆动周期时，扭摆的摆角应在90⁰附近。

5．在称金属细长杆和木球的质量时，必须取下支架和夹具。

6．扭摆的弹簧有一定的使用寿命和强度，千万不要随意玩弄。

4．转动惯量平行轴定理

理论分析证明，若质量为m的物体绕通过质心轴的转动惯量为I₀时，当转轴平行移动距离x时，则此物体的转动惯量变为I₀+mx²。称为转动惯量的平行轴定理。

六、实验数据及其处理

1.原始数据

表2-7-1待测物体几何参数和质量

表2-7-2 待测物摆动周期

表2-7-3 平行轴定理验证

2.数据处理

2.1各测量量的平均值和不确定度（要有计算过程，结果填入表格，不确定度）

表2-7-4各测量量的平均值

2.2弹簧的扭转常数

（1）塑料圆柱的转动惯量理论值（数据仅做为举例使用）

估算不确定度：

塑料圆柱转动惯量理论值结果表示：

（2）测量扭转系数

仪器弹簧的扭转系数k：

估算不确定度：

扭转常数k的结果表示：

2.3测量金属载物盘、塑料圆柱.金属圆筒和木球的转动惯量

（1）金属载物盘的转动惯量

（2）塑料圆柱的转动惯量测量值

     相对百分误差：

（3）金属圆筒的转动惯量

理论值：

测量值：

相对百分误差：

（4）木球的转动惯量

理论值：

测量值：

相对百分误差：

2.4.验证平行轴定理

表2-7-5 滑块在不同位置x时的转动惯量

其他测量数据如下：金属杆长度610.0mm；质量133.5g；金属杆夹质量65.0g；球夹质量42.5；滑块质量0.4587kg。

（1）作I_x～x²图线

    根据图线可知，I_x与x²成线性关系，实验结果与平行轴定理相符，验证了平行轴定理。I_x与x²的线性拟合关系为

I_x＝0.0482x²+0.0277，其中单位的I_x为10^-3kg.m²；x²的为10^-4m²。

由此可知，两个金属滑块的质量m＝0.482kg；两个金属滑块绕质心轴的转动惯量I_c＝0.277×10^-4kg.m²。

（2）金属细杆转动惯量的理论值和实验值

金属细杆的转动惯量理论值I^‘_杆：

金属细杆的转动惯量测量值I_杆：

相对百分误差：

3.实验结果与结论

    在常温常压条件下，测量结果为：

1．扭转常数

2．金属载物盘、塑料圆柱.金属圆筒和木球的转动惯量

表2-3金属载物盘、塑料圆柱.金属圆筒和木球的转动惯量

3．验证平行轴定理实验结果与理论相符。

七、问题与讨论（根据学生能力选答）

1.预习思考题

(1)扭摆的基座为什么要保持水平？

(2)弹簧的扭转常数测量公式如何得到？

2.分析思考题

(1)计算金属圆筒的转动惯量测量值时为什么要减去载物金属盘的转动惯量？

(2)验证平行轴定理时为什么要？

第二篇：转动惯量组合实验仪

 验证平行轴定理

   转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。

［实验目的］

1、双圆柱改变d，不对称放置，验证平行轴定理

［实验仪器］

转动惯量实验仪，数字毫秒计，及砝码托盘或挂钩，水平仪等

［实验原理］

1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理

根据刚体的定轴转动定律：

                                                                (1)

只要测定刚体转动时所受的合外力矩及该力矩作用下刚体转动的角加速度，则可计算出该刚体的转动惯量。

设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为，未加砝码时，在摩擦阻力矩的作用下，实验台将以角加速度作匀减速运动，即：

                                  (2)

将质量为的砝码用细线绕在半径为的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力矩作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为，则细线所受张力为。其中是砝码和托盘或挂钩的质量之和。若此时实验台的角加速度为，则绕线塔轮边沿处的切向加速度。经线施加给实验台的力矩为，此时有：

                           (3)

将(2)、(3)两式联立消后，可得：                       (4)

同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为，加砝码前后的角加速度分别为与，则有：                               (5)由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量为：        (6)

测得、及、、、，由(4)，(5)，(6)式即可计算被测试件的转动惯量。

2、的测量

实验中采用通用电脑计量器计录遮挡次数和相应的时间。固定的载物台圆周边缘相差角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产生一个计数光电脉冲，计数器计下遮档次数k和相应的时间t。若从第一次挡光(k=0,t=0)开始计次，计时，作为第次遮挡时所用的总时间，且初始角速度为，则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据，，相应的角位移，分别为：

                                       (7)

                                       (8)

从(7)、(8)两式中消去，可得：

                                          (9)

由(9)式即可计算角加速度。

注意数字毫秒计读数是第次遮挡的周期，公式（7）中的

3、平行轴定理

理论分析表明，质量为的物体围绕通过质心的转轴转动时的转动惯量最小。当转轴平行移动距离后，绕新转轴转动的转动惯量为：

                             (10)                   

在上式等式两端都加上系统支架的转动惯量，则有：

令，又，都为定值，则台与待测物的总转动惯量与呈线性关系，实验中若测得此关系，则验证了平行轴定理。

4、的“理论”公式

    设待测的圆柱质量为、半径为，则圆盘、圆柱绕几何中心轴的转动惯量理论值为

                                                              （11）

［实验内容及步骤］

1、实验准备

在桌面上放置转动惯量组合实验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将仪器调平（用水平仪）。将滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高，且其方位相互垂直，如图1所示。

通用电脑计时器上2路光电门的开关应1路接通，另1路断开作备用。当用于本实验时，毫秒计1个光电脉记数1次，1次测量记录大约4-5组数据(砝码下落距离有限)。

2、测量并计算实验台的转动惯量

(1)测量

接通数字毫秒计电源开关(或按“复位”键)，在按“开始”进入设置状态，用“增”“减”改变默认值；用手拨动载物台，使实验台有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下作匀减速运动；仪器开始测量光电脉冲次数(正比于角位移)及相应的时间；显示4-5组测量数据后按“停止”键（这时“次数”显示为4， “毫秒”显示为0），时间停止测量 ，再按“查询”状态，将查阅到的数据记入表1中：（按“增、减”键查询）

采用逐差法处理数据，将第1和第3组，第2和第4组，分别组成2组，用(9)式计算对应各组的值，然后求其平均值作为的测量值。注意数字毫秒计读数是第次遮挡的周期，公式（7）中的

(2)测量

调整实验台位置使绕线放完时，托盘或挂钩恰好落到地面，调水平。选择塔轮半径及砝码质量10g、15g、20g、25g，将细线一端沿塔轮不重叠的密绕于所选定半径的轮上，另一端通过滑轮扣连接砝码托上的挂钩或托盘上，用于将载物台稳住；按“复位”键，在按“开始”后仪器进入使计时器进入工作等待状态；释放载物台，砝码重力产生的恒力矩使实验台产生匀加速转动；

电脑计时器记录4组数据后停止测量。按下“停止”，查询、记录数据于表1中并计算的测量值。由(4)式即可算出的值。

3、测量并计算实验台放上试样后的转动惯量，计算试样的转动惯量并与理论值比较。将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转轴中心重合，按与测量同样的方法可分别测量未加法码的角加速度与加砝码后的角加速度。由(5)式可计算，由(6)式可计算试样的转惯量。

已知圆柱绕几何中心轴转动的转动惯量理论值为：       (11)

4、验证平行轴定理

将两圆柱体不对称插入载物台上与中心距离为d的圆孔中，测量并计算两圆柱体在此位置的转动惯量。将测量值与由(11)、(10)式所得的计算值比较，若一致即验证了平行轴定理。另一方法如前所述，若测得台与圆柱体在不同位置时的总转动惯量与呈线性关系，也可以验证平行轴定理。

5、整理仪器：实验结束，将绕线绕在塔轮上端系好；将遮挡板旋紧（由下往上看顺时针旋转）；关闭电源，拔下插座；定滑轮转向桌面一侧；整理好待测物等仪器及实验组号牌；将凳子靠桌放好；交还砝码、水平仪。

[注意事项]

1.绕线放完时，托盘或挂钩恰好落到地面。绕线要紧密且不能重叠。

2.定滑轮绕线水平，其延长线过塔轮切线位置。旋紧遮挡板,防止触碰光电门。

3.释放砝码后，挡板经小角度既第一次过光电门。数据线拉直或固定螺丝松动会导致无数据记录。

4.圆柱体测量时，转速不要过快或者使塔轮急停，防止圆柱体脱落。

[数据记录表格与测量计算]

1.采用逐差法处理数据，完成表格各项内容。

2.实验报告中要写明实验台转动惯量计算过程,即，计算过程。

3. 实验报告中写明圆柱的转动惯量和相对误差E计算过程，详细分析误差原因。

                     表1测量实验台的角加速度

                 

           

                将表1中数据代入(4)式可计算空实验台转动惯量

           将表1中数据代入(4)式可计算空实验台转动惯量

         表2测量两圆柱试样中心与转轴距离=40/65mm,=65/90mm时的角加速度

1、将表1中数据代入(4)式可计算空实验台转动惯量J₁

2、将表2中数据代入(5)式可计算实验台放上两圆柱后的转动惯量J₂

由(6)式可计算两圆柱的转动惯量测量值J₃

由(11)、(10)式可计算两圆柱的转动惯量理论值J

计算测量的相对误差E

说明：

1、试样的转动惯量是根据公式J₃=J₂-J₁间接测量而得，由标准误差的传递公式有

当试样的转动惯量远小于实验台的转动惯量时，误差的传递可能使测量的相对误差增大。

2、理论上，同一待测样品的转动惯量不随转动力矩的变化而变化。改变塔轮半径或砝码质量(五个塔轮，五个砝码)可得到25种组合，形成不同的力矩。可改变实验条件进行测量并对数据进行分析，探索其规律，寻求发生误差的原因，探索测量的最佳条件。

[思考题]

1.  释放砝码时，初速度不同是否影响测量结果？

2.  实验测量中引起误差的原因有哪些?

[实验可行性分析]

1.原理分析：本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量,只要测定刚体转动时所受的合外力矩及该力矩作用下刚体转动的角加速度，则可计算出该刚体的转动惯量。实验时，将质量为的砝码用细线绕在半径为的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力矩作用下将作匀加速运动，提供一个合外力矩，使实验台转动通过测量、及则可得到转动惯量。然后再改变圆柱体的位置，测量相关物理量，通过计算与的关系，既可验证平行轴定理，原理可行。

2.物理量可测性：实验中可通过数字毫秒计测量时间T，通过求得β。R为实验台塔轮半径，也为已知量。将R及，代入可得到转动惯量。砝码和挂钩质量及转轴距离d也已知。实验中所有物理量都是可以测量的。

3.数据处理方案：本实验采用逐差法处理数据，在验证并平行轴定理时通过绘图的方法可判断数据的准确性，减少实验误差。处理方案满足实验要求，方案可行。