实验2-10 扭摆法测物体的转动惯量

(兰州大学)

【引言】

转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表明刚体特性的一个物理量。刚体相对于某转轴的转动惯量，是组成刚体的各质元质量与它们各自到该转轴距离平方的乘积之和。

刚体的转动惯量与以下因素有关：

刚体的质量：各种形状刚体的转动惯量都与它自身的质量成正比；

转轴的位置：并排的两个刚体的大小、形状和质量都相同，但转轴的位置不同，转动惯量也不同；

质量的分布：质量一定、密度相同的刚体，质量分布不同（即刚体的形状不同）转动惯量也不同。

如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体，计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定，例如机械部件、电动机转子和枪炮的弹丸等。

转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。本实验使物体做扭转摆动，由摆动周期以及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。

在国际单位制中，转动惯量的单位是（千克·米²）。

【实验目的】

1.       测定弹簧的扭转常数

2.       用扭摆测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比较

3.       验证转动惯量平行轴定理

【实验仪器】

扭摆  附件为塑料圆柱体  金属空心圆筒  实心球体  金属细长杆（两个滑块可在上面自由移动） 数字式定数计时器   数字式电子秤

【实验原理】

扭摆的构造如图2-10-1所示，在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体。垂直轴与支座间装有轴承，以降低磨擦力矩。3为水平仪，用来调整系统平衡。

将物体在水平面内转过一角度后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩与所转过的角度成正比，即

                                   （2-10-1）

    式中，为弹簧的扭转常数，根据转动定律

                      

式中，为物体绕转轴的转动惯量，为角加速度，由上式得

                                                               （2-10-2）

    令  ,忽略轴承的磨擦阻力矩，由（2-10-1）、（2-10-2）得

                             

上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。此方程的解为：

                                                      （2-10-3）

    式中，为谐振动的角振幅，为初相位角，为角速度，此谐振动的周期为

                                                      （2-10-4）

由（2-10-4）可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在和中任何一个量已知时即可计算出另一个量。由公式（2-10-4）可得出

    或              （2-10-5）

为金属载物盘绕转轴的转动惯量，为另一物体的转动惯量理论值，该物体为质量是，外径为的圆柱体，则，是只有载物盘时测得的周期，是载物盘上加载后测得的周期。

由（2-10-4）和（2-10-5）可推导出弹簧的扭转常数

                        (2-10-6)

本实验用一个几何形状规则的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，再算出本仪器弹簧的扭转常数值。若要测定其它形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由公式（2-10-4）即可算出该物体绕转动轴的转动惯量。

平行轴定理：若质量为的物体绕通过质心轴的转动惯量为时，当转轴平行移动距离为时，则此物体对新轴线的转动惯量变为。本实验通过移动细杆上滑块的位置，来改变滑块和转轴之间的距离。

【仪器介绍】

扭摆、转动惯量测试仪、金属载物盘、塑料圆柱体、金属圆筒、木球、金属细杆、天平、砝码、游标卡尺、钢尺、高度尺。

转动惯量测量仪由主机和光电传感器组成，可测出物体的多倍扭摆周期，并算出扭摆周期。使用时，调节光电传感器在固定支架上的高度，使挡光杆自由往返通过光电门，操作时开启电源、复位、执行，光杆自由往返通过光电门，转动惯量测量仪自动计数并自动停止，结果显示后再“执行”，多次测量最后求平均值。

图2-10-2  转动惯量实验仪

1.开机：显示上图，若异常，可按复位键，即可正常(默认状态为摆动)

2.按功能键：可选择摆动和转动 (开机和复位默认状态为摆动)

3.按置数键：显示，按上调键，周期数依次加1，按下调键，周期数依次减1，周期数可在1~20间任意设定，再按置数键确认。显示或，预设后仅当再次置数或复位，其余操作均不改变预置周期数。

4.按执行键：显示当被测物体上挡光杆第一次通过光电门时开始计时，计时灯亮，直到周期数等于设定值时，停止计时，计时灯灭，显示第一次测量总时间。重复上述步骤，可进行最多5次测量(P1, P2, P3, P4, P5)。执行键还具有修改功能。如要修改第三组数据，按执行键直至显示后，重新测量第三组数据

5.按查询键可知每次测量周期(C1~C5)，以及多次测量的周期的平均值CA，及当前的周期数n，如显示“NO”表示无数据。

 

……

 

6.按自检键：仪器自动依次显示：

自动复位 ————

7.按返回键，系统无条件回到最初状态，清除所有执行数据。

【实验内容】

1.用游标卡尺分别测出圆柱体的外径，金属圆筒的内、外径，球体直径，用米尺测金属细杆的长度，各测5次，取平均值；

2.用数字式电子秤测得圆柱体、金属圆筒、球体、金属细杆、金属滑块的质量，各测一次；

3.调节扭摆底座底脚螺丝，使水准泡中气泡居中；

4.将金属载物盘卡紧在扭摆垂直轴上，调整挡光杆位置，测出其摆动周期，测3次，求平均。

4.将塑料圆柱体放在载物盘上测出摆动周期，测3次，求平均。

5.取下塑料圆柱体，在载物盘上放上金属圆筒测出振动周期，测3次，求平均。

6.取下载物盘，测定木球及支架的摆动周期，测3次，求平均。

7.取下木球，将金属细杆和支架中心固定，测定其摆动周期，测3次，求平均。

8.将滑块对称地放置在细杆两边的凹槽处，滑块质心离转轴的距离分别取5.0，10.0，15.0，20.0，25.0厘米时，测定细杆不同的摆动周期。计算转动惯量，验证平行轴定理。

实验结果与数据处理

1.由载物盘转动惯量、塑料圆柱体的转动惯量理论值及塑料圆柱体放在载物盘上总的转动惯量，计算：

  ；      

1.       计算各种物体的转动惯量，并与理论值进行比较，求出百分误差。

3.验证平行轴定理     

附: 当滑块质量为239.7克时：

    球支座转动惯量实验参考值：

    细杆夹具转动惯量实验参考值：

   

    二滑块绕过自身质心的转动惯量理论值：

       为滑块的高度

     单个滑块转动惯量实验测量值：

          

【注意事项】

1.弹簧扭转常数与摆动角度有关，使摆角固定在90º左右。

2.光电探头宜放在挡光杆平衡处，但切忌与杆发生摩擦。

3.机座应保持水平状态。

4.安装待测物时，应将止动螺丝旋进。

5.称金属细杆与木球质量时，必须取下支架。

【预习思考题】

写出计算金属载物盘、金属圆筒物体转动惯量实验值与理论值的详细求解过程，扭摆弹簧的扭摆常数的详细求解过程。

【思考题】

1．数字计时仪的仪器误差为，实验中周期数n取多少较为合适？

  2．如何用刚体实验装置测定任意形状物体绕特定轴的转动惯量？

第二篇：实验二 扭摆法测物体的转动惯量

实验二 扭摆法测物体的转动惯量转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特性的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂，且质量分布不均匀刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。本实验使物体作扭转摆动，由摆动周期及其它参数的测定算出物体的转动惯量。【实验目的】1.熟悉扭摆的构造、使用方法和转动惯量测量仪的使用；2.利用塑料圆柱体和扭摆测定不同形状物体的转动惯量 EMBED Equation.3 和扭摆弹簧的扭摆常数 EMBED Equation.3 。【实验原理】本实验使物体作扭转摆动，测定摆动周期和其它参数，从而计算出刚体的转动惯量。扭摆的构造如图2.1所示。垂直轴上装有金属细杆，水平仪通过调节仪器底座上的三螺钉使顶面水平，螺旋弹簧用以产生恢复力矩，使垂直轴上装的待测物体作简谐振动。扭摆的简谐振动：将待测物体装在垂直轴上，并转过一定角度 EMBED Equation.3 ，在弹簧的恢复力矩作用下，物体开始绕垂直轴作往返运动。根据胡克定律知： EMBED Equation.3 (2-1)EMBED Equation.3 为弹簧的扭转系数，根据转动定律得：EMBED Equation.3 (2-2)EMBED Equation.3 为转动惯量， EMBED Equation.3 为角加速度。令 EMBED Equation.3 ，忽略轴承的摩擦力和空气阻力，则有：EMBED Equation.3 (2-3)上式表明物体的扭摆运动具有角简谐运动的特性，此方程的解为： EMBED Equation.3 (2-4)此简谐振动的周期为：EMBED Equation.3 (2-5)所以，只要测得物体扭摆的摆动周期 EMBED Equation.3 ，并且转动惯量 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 中任何一个量可知，即可算出另一个量。本实验通过已知转动惯量 EMBED Equation.3 的塑料圆柱体(几何形状规则， EMBED Equation.3 可根据理论公式计算)，分别测出载物盘、塑料圆柱体放在载物盘、金属圆筒放在载物盘、木球、金属细杆的摆动周期，便可求出扭摆弹簧的扭摆常数 EMBED Equation.3 和转动惯量的实验值。【实验仪器】扭摆、转动惯量测试仪、金属载物盘、塑料圆

柱体、金属圆筒、木球、金属细杆、天平、砝码、游标卡尺、钢尺、高度尺。转动惯量测量仪由主机和光电传感器组成，可测出物体的多倍扭摆周期，并算出扭摆周期 EMBED Equation.3 。使用时，调节光电传感器在固定支架上的高度，使挡光杆自由往返通过光电门，操作时开启电源、复位、执行，光杆自由往返通过光电门，转动惯量测量仪自动计数并自动停止，结果显示后再“执行”，多次测量最后求平均值。SHAPE \* MERGEFORMAT 图2-2 转动惯量实验仪1.开机：显示上图，若异常，可按复位键，即可正常(默认状态为摆动)2.按功能键：可选择摆动和转动 (开机和复位默认状态为摆动)3.按置数键：显示 EMBED Equation.3 ，按上调键，周期数依次加1，按下调键，周期数依次减1，周期数可在1(20间任意设定，再按置数键确认。显示 EMBED Equation.3 或 EMBED Equation.3 ，预设后仅当再次置数或复位，其余操作均不改变预置周期数。4.按执行键：显示 EMBED Equation.3 当被测物体上挡光杆第一次通过光电门时开始计时，计时灯亮，直到周期数等于设定值时，停止计时，计时灯灭，显示第一次测量总时间。重复上述步骤，可进行最多5次测量(P1, P2, P3, P4, P5)。执行键还具有修改功能。如要修改第三组数据，按执行键直至显示 EMBED Equation.3 后，重新测量第三组数据5.按查询键可知每次测量周期(C1(C5)，以及多次测量的周期的平均值CA，及当前的周期数n，如显示“NO”表示无数据。EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ……EMBED Equation.3 6.按自检键：仪器自动依次显示：EMBED Equation.3 自动复位 EMBED Equation.3 ————7.按返回键，系统无条件回到最初状态，清除所有执行数据。【实验步骤】1.用游标卡尺、钢尺和高度尺分别测定物体外形尺寸，用天平测出相应质量，填入表格。2.根据扭摆上水泡调整扭摆的底座螺钉使顶面水平，水泡居中。3.将金属载物盘卡紧在扭摆垂直轴上，调整挡光杆位置，测出其摆动周期 EMBED Equation.3 (3次，求平均)。4.将塑料圆柱体放在载物盘上测出摆动周期 EMBED Equation.3 (3次，求平均)。5.取下塑料圆柱体，在载物盘上放上金属圆筒测出振动周期 EMBED Equation.3 (3次，求平均)。6.取下载物盘，测定木球及支架的摆动周期 EMBED Equation.3 (3次，求平均)。7.取下木球，将金属细杆和支架中心固定，测定其摆动周期 EMBED Equation.3 (3次，求平均)。8.做完实验后，整理实验仪器，处理数据，完成实验报告。【注意事项】1.弹簧扭转常数与摆动角度有关，使摆角固定在90o左右。2.光电探

头宜放在挡光杆平衡处，但切忌与杆发生摩擦。3.机座应保持水平状态。4.安装待测物时，应将止动螺丝旋进。5.称金属细杆与木球质量时，必须取下支架。【实验结果与数据处理】1.由载物盘转动惯量 EMBED Equation.3 、塑料圆柱体的转动惯量理论值 EMBED Equation.3 及塑料圆柱体放在载物盘上总的转动惯量 EMBED Equation.3 ，计算扭转常数EMBED Equation.3 。2.计算各种物体的转动惯量，并与理论值进行比较，求出百分误差。表1转动惯量测量实验数据记录参考表物体名称 质量(kg) 几何尺寸(10-2m) 周期(s) 转动惯量理论值(10-4kgm2) 转动惯量实验值(10-4kgm2) 百分误差 金属载物盘 / / EMBED Equation.3 / EMBED Equation.3 = / EMBED Equation.3 塑料圆柱 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = / EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 金属圆柱 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 木球 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 金属细杆 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 已知：球支座转动惯量实验值 EMBED Equation.3 细杆夹具转动惯量实验值 EMBED Equation.3 【思考题】写出计算金属载物盘、金属圆筒物体转动惯量实验值与理论值的详细求解过程，扭摆弹簧的扭摆常数的详细求解过程。 附：游标卡尺1．用途和构造游标卡尺是一种能准确到0.1mm以上的较精密量具，用它可以测量物体的长、宽、高、深及工件的内、外直径等。它主要由按米尺刻度的主尺和一个可沿主尺移动的游标（又称副尺）组成。常用的一种游标卡尺的结构如图2-3所示。D为主尺，E为副尺，主尺和副尺上有测量钳口AB和A’B’ ，钳口A’B’用来测量物体内径，尾尺C在背面与副尺相连，移动副尺时尾尺也随之移动，可用来测量孔径深度，F为锁紧螺钉，紧住它，副尺就与主尺固定了。图2-3 游标卡尺2.游标卡尺的分度原理通常设计游标上N个分度格的长度与主尺上（N一1）个分度格的长度相等。若游标上最小分度值为b ，主尺上最小分度值为α，则有Nb = （N一1）α其差值为 EMBED Equation.3 由此可

知，α一定时，N越大，其差值（α一b）越小，测量时读数的准确度越高。该差值 EMBED Equation.3 通常称为游标的分度值或称精度，这就是游标分度原理。不同型号和规格的游标卡尺，其游标的长度和分度数可以不同，但其游标的基本原理均相同。一般常用的有10分度（最小分度值为0.1mm）、20分度（最小分度值为0.05mm）和50分度（最小分度值为0.02mm）。本实验室所用的大都是50分度游标卡尺。N=50，a=1mm，分度值为 EMBED Equation.3 =0.02mm，此值正是测量时能读到的最小读数（也是仪器的示值误差）。如图2-4所示。游标卡尺的仪器误差：一般取游标卡尺的最小分度值为其仪器误差。3. 游标卡尺的读数方法读数时，待测物的长度L可分为两部分读出后再相加。先在主尺上与游标“0”线对齐的位置读出毫米以上的整数部分L1，再在游标上读出不足lmm的小数部分L2，则L=L1＋L2。L2=K EMBED Equation.3 mm，K为游标上与主尺某刻线对得最齐的那条刻线的序数。例如图2-5所示的游标尺读数为L1=0，L2＝K EMBED Equation.3 ＝12／50＝0.24mm。所以L＝L1＋L2＝0.24mm。许多游标卡尺的游标上常标有数值，L2可以直接由游标上读出。如图2-5，可以从游标上直接读出L2为0.24mm。4. 注意事项(1)测量之前应检查游标卡尺的零点读数，看主副尺的零刻度线是否对齐，若没有对齐，须记下零点读数，以便对测量值进行修正。(2)卡住被测物时，松紧要适当，不要用力过大，注意保护游标卡尺的刀口。(3)测量圆筒内径时，要调整刀口位置，以便测出的是直径而不是弦长。图2-1 扭摆构造简图返回自检查询执行下调上调置数功能复位智能转动惯量实验仪参量指示–– –– –– ––P1计时 转动 摆动图2-5 游标卡尺的读数方法EMBED Word.Picture.8 图2-4 游标示意图游标***[JimiSoft: Unregistered Software ONLY Convert Part Of File! Read Help To Know How To Register.]***