20##年考研数学 线性代数五大阶段复习重点

    线性代数是考研数学的重难点部分，因为其比较抽象，一些同学掌握起来可能比较困难。因此凯程教育数学辅导专家建议考生要从头抓起，下面分享五大阶段线代复习要点，帮助考生系统化的备考。

　　1.基础阶段

　　这个阶段的复习时间一般为3月到6月。任务：掌握基本概念，基本原理和基本方法。在这个阶段切忌多做题，特别是难题。大家需要做的就是认真复习教材。在研读教材的过程中，大家要对概念进行深度理解。比如说线性代数中比较难理解的是向量部分。大家要搞清楚什么是表出，什么是线性相关和线性无关。同时，大家还要搞清楚向量与矩阵及方程组的联系。配合这三个任务，大家需要看的参考书就是同济版的线性代数教材。同时可以辅助一些基础的练习题，总之，希望大家沉下心，不能浮躁，不能好高骛远，目光盯着基础，这样后续的加速度才能越来越快。

　　2.强化阶段

　　这个阶段的复习时间一般为7月到8月。任务：熟悉考研常考题型，掌握常用的方法和技巧。大家在前面经过基础阶段的复习后，对基本概念，基本方法，基本原理都有所掌握。那么强化阶段就是对每一章的考点进行总结归纳，形成题型，并且对方法进行扩充。所以，希望大家认真对方法进行总结同时对第一阶段的笔记进行完善。配合这个任务，大家可以参考《复习全书》。

　　3.真题阶段

　　这个阶段的复习时间一般为9月到10月。任务：熟悉真题的考法，完善技巧和方法。

　　在强化阶段复习后，大家知识点和方法都比较清楚了。那么在真题阶段，就是让大家知道真题是怎么考查大家的。同时检测一下大家强化的效果。通过真题，大家可以查缺补漏，进一步的完善知识点和方法总之，希望大家能够通过真题形成知识点和方法的完整体系。

　　4.模拟阶段

　　这个阶段的复习时间一般为11月到12月初。经过三个阶段的洗礼，大家知识点和解题能力都比较完善了。那么，在这个阶段，通过模拟题让大家保温。通过这些模拟题就能进一步的巩固知识点和技巧，从而达到熟能生巧的境界。

　　5.巩固阶段

这个阶段的复习时间一般为12初到考前。这个阶段，请大家把以前总结的笔记仔细再看一遍，把错题仔细的做一遍，把真题认真琢磨一遍。我相信大家此时一定有不同的收获。然后就可以调整好心态迎接考试了。

2016考研 线性代数：五大章节重点

    线性代数有两条学习的主线，一条是方程组理论，一条是特征值理论。第一条主线线性方程组理论由两个主要问题构成，一是线性方程组解是否存在，就是解的判定问题;二是如果线性方程组有无穷多解，那如何表示这无穷多解呢?就是解的构成问题。第二条主线主要是研究矩阵对角化问题。其中第一章行列式，第二章矩阵都是为后续章节做准备。下面凯程教育数学辅导专家就和大家具体分析一下各章之间的联系和复习方法。

　　第一章行列式。主要考察行列式的计算，而且单独考察的情况较少见，主要是结合方程组解的问题去考察，因此，在学习第一章是重点去学习如何计算特殊类型的行列式的计算方法，比如：爪型、对角线型;三阶行列式(主要为计算特征值做准备);行列式展开定理;行列式的性质等。

　　第二章矩阵。主要掌握矩阵运算性质、逆矩阵(包括逆矩阵的判定、求逆矩阵)、初等矩阵(左行右列原则、初等矩阵的逆矩阵)。其中最重要的方法——初等变换——必须很好很熟练地掌握，这决定了后续章节的学习是否能顺利算出正确的结果，是得分的关键。这一部分还有一个线性代数的核心概念：秩。矩阵的秩是一个“结”，是一个“扣”，打开这个“结”，解开这个“扣”，矩阵，甚至线代就学透彻一大半了。

　　第三章向量及线性方程组。向量及线性方程组是通过研究向量组之间的关系研究方程组解的问题，向量是手段是工具。这一部分内容普遍反映比较难掌握，难掌握的原因主要是比较抽象，而且定理又非常多。这一部分定理要求全部会证明，意义不在于证明这些定理本身，主要是通过这些定理的证明体会线性代数这门学科常用的证明思路和方法，和高等数学相比，线性代数这门学科的证明思路是相对固定的，变化很少，完全可以掌握。

　　第四章特征值特征向量。从该知识点开始，进入矩阵对角化的讨论，主要由以下几个问题构成：一是什么样的矩阵可以相似对角化?(相似对角化的充要条件)二是如果矩阵可以相似对角化，那么通过什么样的相似变换可以达到对角化的目的?对角化后的对角阵又是什么形式呢?于是涉及到可逆矩阵P的求法，对角阵 的构成。由此可以看出，这一部分的编写是一个倒叙的形式，先去求特征值特征向量，其实是为求P和 做准备而已。

　　第五章二次型理论。主要探讨实对称矩阵的对角化问题，实对称矩阵与普通方阵相比有自己特殊之处，在对实对称矩阵进行对角化的过程中，可以对可逆矩阵P提出更高的要求，可以要求矩阵是一个正交矩阵Q，正交矩阵具有良好的运算性质，列向量之间正交且均为单位向量，因此可保证，由此可进一步深入讨论如何将二次型化为标准型的问题。

总之，线性代数的学习是要求连成片，结成网的，不能是知识点的单独学习，各个点要相互渗透，理清楚结构才能学好这门课。

2016考研数学 高等数学结构图：极限和一元函数微分学

高数在考研数学中所占比例最少也是56%，可以说得高数者的数学。因此考生对这部分知识必须“吃懂”、“吃透”，以下是凯程教育数学辅导老师为大家整理的：2016考研高等数学各知识点结构图，希望对大家的复习有所帮助。

2016考研数学 高等数学结构图：多元函数微积分学

高数在考研数学中所占比例最少也是56%，可以说得高数者的数学。因此考生对这部分知识必须“吃懂”、“吃透”，以下是凯程教育数学辅导老师为大家整理的：2016考研高等数学各知识点结构图，希望对大家的复习有所帮助。

凯程教育：

凯程考研成立于20##年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。

凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；

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如何选择考研辅导班：

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

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建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（20##年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。

有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

第二篇：考研数学线性代数复习精要

Notes on Linear Algebra 线性代数 1 edition by Bonbon Nokini st

1、线性空间

① 一般而言，若 ，则 将是元素 的平方和（一个标量）：

；相当于 的内积。

② 由 个元素构成的向量所构成集合，张成1一个 维欧几里得空间，记作 。 ⑴ 中的两个向量相等，当且仅当向量中的实数序对元素相等；

⑵ 平行四边形法则，如果 表示平面上的点，则 是 所确定的平 行四边形的第四个顶点；

⑶ 对于方程 ，若 的列张成 ，则有以下四个等价命题：

⒈ 对于任意 ，方程 都有解；

⒉ 任意 ，都是 中列的一个线性组合；

⒊ 的列张成 ；

⒋ 中每一行都有一个主元位置；（必然包含了一个极大线性无关组）

③ 在欧几里得空间里，任意两点之间的距离函数为： ； ④ 三角形不等式： ；

⑤ 线性无关2的问题：

⑴ 方程 只有平凡解，则向量集 线性无关； ⑵ 若上述方程存在不全为零的权重 ，则向量集 线性相关； ⑶ 只含一个向量 的集合是线性无关的条件是当且仅当 是非零向量；

⑷ 向量集合 中如果有一个向量是另一个向量的实数倍，则该集合线性相关； ⒈ 该集合线性无关当且仅当两个向量之间没有倍数关系；

⒉ 几何意义是，线性相关的两向量是在同一条过原点直线上，向量倍数关系； ⒊ 而线性无关的两个向量则是两条过原点的直线，非数量倍数关系；

⑸ 一个含有两个或两个以上向量的集合 线性相关当且仅当 中 至少有一个向量是其余向量的线性组合；

⒈ 上述定理并不是说线性相关集中的每个向量都是它前面向量的线性组合； ⒉ 线性相关集中可能存在某个向量不是其余向量的线性组合；

⒊ 几何意义，在任意 中， 线性无关，则集合 线性相关的充要条 件是 属于 张成的平面；

⒋ 若一集合含有向量个数多于每个向量中所含元素个数，则该集合线性相关， 即若 矩阵，且 ，则任意 中的集合 线性相关； ⒌ 如果 中的一个集合 中包含零向量，则该集合线性相关；

2、线性变换3

① 定义： ，表示定义域为 ，上域为 ； ，称 中的向量 为 向量 的像；而全体像 的集合为变换 的值域4。

② 则称为剪切变换（shear transformation）；平面内的线段映射；

③ 一个变换映射 是线性的（linear），则有：

⑴ ；⑵ ；⑶ ；

⑷ 叠加原理： ； 1

2

3

4 张成（span），或者也叫生成（generate） 线性无关（Linearly independent），线性相关（Linearly dependent）； 变换（transformation），函数（function），映射（mapping）； 定义域（Domain），上域（Codomain），值域（Range），像（Image）；

1

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④ 若 ，当 时，称为压缩变换； 时，称为膨胀变换5；

几何意义为空间向量的数量倍增或倍减；

⑤ 设 为线性变换，则存在唯一一个矩阵 ，使得对任意 ，

有 ；事实上， 是第 列为向量 的 矩阵，其中 为 中单位 矩阵的第 列，即： ； 称为线性变换 的标准矩阵； ⑥ 如果 中的任意 都是 中的至少一个 的像，称映射 为

的映射，也叫满射；

⑴ 当 的值域是整个上域 时， 是到 上的映射；

⑵ 如果对上域 中的任意 ， 都至少存在一个解，则 ； ⑶ 是否是 的映射，是个存在性问题；

⑷ 如果 中存在 使得方程 无解，那么 就不是 的映射； ⑦ 如果 中的任意 都是 中的至多一个 的像，称映射 为 ， 即一对一的映射，或叫单射；

⑴ 如果对上域 中的任意 ，方程 有唯一解或者无解，则 为单射； ⑵ 是否是 的映射，是个唯一性问题；

⑶ 如果存在 中的 ， 是 中多于一个向量的像，则 不是一对一映射； ⑷ 为一对一映射当且仅当方程 仅有平凡解；

⑧ 设 为线性变换，且 为 的标准矩阵；则有：

⑴ 是 映射，当且仅当 中的列张成 ；

⑵ 是 映射，当且仅当 中的列线性无关；

⑨ 线性变换在经济学动态递归方程中应用： ；

3、矩阵概念

① 基本定义：

⑴ 幂等矩阵： ；零方阵也是幂等矩阵，但不为方阵的零矩阵则不是幂等； ⑵ 对称矩阵，即 ；

⑶ 奇异矩阵 ：

⒈ 非方阵 ⒉ 线性相关 不存在；

⑷ 非奇异矩阵 ：

⒈ 方阵，即 矩阵；

⒉ 可逆 ；即存在 ；

⒊ ；即有 个主元位置；即 ； ；

⒋ 只有平凡解6； 唯一解 ； ； ； ⒌ 的列向量构成一个线性无关集；即构成 的一组基； ； ⒍ 线性变换 是一对一的映射；

⒎ 的列向量张成 ；即线性变换 将 ；

⒏ 也是可逆矩阵；

⒐ 特征值不为零；

② 初等矩阵：

⑴ 如果 矩阵 上施加一个初等行变换，得到的矩阵为 ，其中 矩阵 是 在 上施加同一行变换而得到的矩阵； 5

6 压缩变换（contraction），膨胀变换（dilation）

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⑵ 每个初等矩阵 均可逆， 的逆是与 同类型的初等矩阵，它将 变回到 ； ⑶ 矩阵 可逆，当且仅当 行等价于 ，从而有 ；

⑷ 可以看作是 个方程组的公共解：

其中 表示 的第 列，根据 ，可以发现上述方程的解恰好是 的列向量； ③ 线性变换的逆 ：若 是可逆的，则存在 使得满足

④ 秩 表示一个矩阵中线性无关（ ）的最大阶数；

⑴ ；⑵ ；

⑤ 雅可比行列式 ：是用来研究 个变量 个函数的集合中是否存在函数相关性的问题；当所研究的所有函数均为线性函数时，等价于方程组系数矩阵 ；同理，当 时，说明函数组中存在相关性；函数组可以是线性的，也可以是非线性的。表达式为：

4、 的子空间

① 如果 ，则所有由 张成的 的子空间，即

⑴ 张成一个子空间；

⑵ 是一个向量空间， 是 的子集，若 满足以下两条性质，则称 是 的子空间； ⒈ 的零向量属于 ；从 空间角度看，必须有相同的坐标原点；

⒉ ；即子空间满足对加法和数乘的封闭运算； ⑶ 中仅含零向量的集合，称为零子空间 ；

③ 矩阵 的列空间 是集合 ，它由 中列的全体线性组合构成； ⑴ 矩阵 的主元列构成其列空间的一组基 ；

⑵ 矩阵 的零空间 是集合 ，即 ； ⑶ 的 是 的子空间，即 的解集是 的子空间；

⑷ 中子空间 的基是 中能够张成 的极大线性无关集；

⑸ 的列空间 是 的一个子空间； ；

⑹ ；

⑺ 如果两个矩阵 和 是行等价的，则它们的行空间相等；

⑻ 若 是阶梯形矩阵，则 的非零行构成 的行空间的一组基，也构成 的一组基； ⑼ 若 的前 行构成行空间一组基，此基也是 的，但 自身的前 行则未必是基； ④ 与 之间的区别：矩阵

⑴ 是 的子空间； 是 的子空间；

⑵ 是隐式定义，即满足 的解集； 是显式定义；

⑶ 中的向量 ，满足 ； 中的向量 ，满足 ；

⑷ 当且仅当线性变换 是 的；

当且仅当线性变换 是 的；

⑸ 的维数是方程 中的自由变量的个数， 的维数是主元列的个数；

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⑤ 对应 是 和 之间保持线性组合的一对一对应，称为 与 同构7；

⑥ 非零子空间 的维数 ，记作： ，是 的任意一组基所含向量的数目； ⑴ 秩定理：若矩阵含 列，则 ；

⑵ 基定理：设 是 的一个 维子空间， 中任何恰含 个元素的线性无关集都是 的基， 中任何包含 个元素且能张成 的集合都是 的基； ⑶ 张成集定理：设 是 中的一个集合， ； ⒈ 如果 中的一个向量，比如说 ，是 中其他向量的线性组合，则将 从 中 删除后得到的集合仍然可以张成 ；

⒉ 如果 ，则 的某个子集是 的基；

⒊ 任何 中包含多于 的基的 个向量的集合都是线性相关的；

⒋ 如果 是由 个向量构成的基，那么 中每组基都是由 个向量构成； ⒌ 是 的子空间，那么 中任何线性无关集都可以扩张成 的基； ⒍ ；

⑷ 矩阵初等行变换不会影响列向量的线性相关关系；但会影响行向量的线性关系； ⑸ 矩阵 中的主元列组成 的一组基；

⒈ 构造 的基时应当使用 本身的主元列，行变换会改变矩阵的列空间； ⒉ 是 的简化阶梯形，但 中的列向量通常不在 的列空间中；

⑹ 对基的两种理解：

⒈ 基是一个极小张成集； ⒉ 基也是一个极大线性无关集；

⑦ 基变换

⑴ 设集合 是子空间 的一组基，对于任何 ， 关于基 的坐标 是满足 的系数构成的一个在 中的向量

⑵ 设 和 是向量空间 的两组基，则存在唯一的 矩阵 使得 ，其中 的列是 中向量的 坐标向量，即

⑶ ；

⑷ ；可用来求 中任意两组基之间的坐标变换；

5、多项式空间问题

① 设 是多项式空间 的标准基，即 ， 中的任意元素形如

② 事实上，多项式空间 若为全体多项式构成的空间 则是无限维； ；

③ 证明多项式 在 中线性相关；

先把多项式坐标映射为 模式，然后组成新矩阵 ，做初等行变换检验线性相关性；

6、常用 代数性质 7 Isomorphism，iso源自希腊语中的“相等”，morph源自希腊语中的“形式”或者“结构”；

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① 矩阵公式：

⑴ ；⑵ ；⑶ ；

⑷ ；⑸ ；

⑺ 可逆矩阵 ；

⑻ ；⑼ ；

② 矩阵与向量之间的性质： 矩阵， 的向量， 为常数，则有：

⑴ ；⑵ ；

③ 如果 是 矩阵， 是列向量为 的 矩阵，则乘积 是 矩阵；

⑴ 复合映射是线性变换并且其标准矩阵为 ，矩阵的乘法对应线性变换的复合； ⑵ 的每一列都是 中各列的一个线性组合，其权重为 中对应列上的元素； ⑶ ； 决定行数； 决定列数；

⑷ 一般而言， ；

⑸ ；只有当 可逆时才成立；

⑹ ；

⑺ 矩阵乘积的转置等于它们转置的逆序乘积；

④ 分块矩阵 ：

⑴

⑶ ；⑵ ； ；⑷

；

7、行列式的计算8

① 拉普拉斯展开式：

； 是代数余子式；

② 行列式的性质：

⑴ 基本性质： ⒈ ；⒉ ；

⑵ 交换矩阵 的两行得到矩阵 ，则 ；

⑶ 以一个标量 乘到矩阵 中的某一个行，则 ；

⑷ 如果将 的某一行乘以某数，再加到另一行上，则 ；

⑸ 若矩阵 为奇异矩阵，即 ，则 ；

⑹ 按异行余子式展开的行列式，其值为零。即：

；

③ 行列式的几何意义：

⑴ 如果 矩阵，则由 的列向量确定的平行四边形的面积等于 ；9 ⑵ 如果 矩阵，则由 的列向量确定的平行六面体的体积等于 ； ⑶ 若坐标图形不是从原点射出的向量所构成，则需要平移图形到原点始发； ④ 线性变换：

⑴ 若 是由 矩阵确定，若 是 中的一个平行四边形，则 8

9 行列式可表示为 ，或者 ，且行列式矩阵一定为方阵； 这里指行列式的值的绝对值；

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Notes on Linear Algebra 线性代数 1st edition by Bonbon Nokini

的面积 的面积

⑵ 若 是由 矩阵确定，若 是 中的一个平行六面体，则

的体积 的体积

⑤ 行列式：

⑴ ；⑵ 可逆；⑶ 中各行向量集和列向量集均线性无关；

⑥ 副对角性行列式计算：

8、线性方程组

① 克莱姆法则：

设方程组为

；

； 代替第 列；

② 当 为零向量时称为齐次线性方程组，即 ；非齐次矩阵方程 ；

⑴

；

⑵ 解集的空间几何意义：

⒈ 若解集仅有一个自由变量，则解集为过原点的一条直线；

⒉ 若解集有两个或两个以上自由变量时，则显示为一个过原点的平面； ⑶ 有解，且令 为该方程得一个解， 为 的任意一个解；

的全体向量构成的集合；

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9、二次型

① 正定：即二次型 ；检验方法：顺序主子式 ；

② 负定：即二次型 ；

检验方法：

⑴ 当 ，即为奇数时， ；

⑵ 当 ，即为偶数时， ；

③ 半定：即存在 ；检验方法： ；半正定、半负定同理取并集即可； ④ 特征值10，若存在一个 ，使得 ，则称 为矩阵 的一个特征值； 为特征向量； ⑴ ； ； ；

⑵ 特征向量标准化的思想：即增加约束方程 ；

⑶ 标准正交化特征向量的性质： ；

⑷ 特征值检验有定型：

⒈ 正定； 负定；

⒉ 且至少存在一个 ，则为半正定；同理可得半负定； ⒊ 若特征值有些为正有些负，那么必为不定矩阵；

⑸ 的 称为 的特征空间11；

⑹ 三角矩阵的特征值为其主对角线上的元素，满足 特征方程； ⑺ 若 ，为 矩阵 的对应于不同特征值 的特征向量，则 集合 线性无关；

⑻ 当 和 为方阵时，若有 ，则 与 相似 ；

⒈ 与 有相同的特征值；⒉ ；⒊ ； ⒋ ；

⑼ 相似性与行等价不同，行变换会改变矩阵的特征值；

⑤ 对成矩阵谱定律：一个对称矩阵

⑴ 若计重数， 有 个实本征值；⑵ 每个本征值对应本征空间维数；

⑶ 本征空间两两正交，即不同本征值的向量相互正交；

⑷ 可正交对角化；

⑸ 谱分解： 为特征值， 为特征向量；则有：

⒈ 每一项均是秩为 的 矩阵；⒉ 且各列均为 的倍数；

⑥ 正交变换标准形：

⒈ ；

⒉ 将 代入 ；求出特征向量；

若是不同的特征值求出的特征向量之间是正交的，而重根求出的特征向量是不 正交的，需要进行 正交化：

⒊ 令

⒋

10

11 英文eigenvalue，国内教材也有翻译为“本征值”，或者“特征根”。 国外教程常用 ，其实都一样的；

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参考书籍：

[1] David C. Lay：《线性代数及其应用》，人民邮电出版社，20xx年；

[2]蒋中一：《数理经济学的基本方法》，商务印书馆，19xx年；

[3]贺才兴：《大学数学手册》，上海交通大学出版社，20xx年；

8