整式的加减法

一、整式的有关概念回顾

（1）单项式：表示数与字母的乘积的代数式，叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，如、 2πr 、 a ， 0 ……都是单项式。

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或—1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或—1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

（3）整式：单项式和多项式统称为整式，如：－，……是整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

（4）升幂排列与降幂排列：

例如：把多项式5x²＋3x－2x³－1按x的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x³＋5x²＋3x－1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。若按x的指数从小到大的顺序排列，则写成－1＋3x＋5x²－2x³，这叫做这个多项式按字母x的升幂排列。这两种排列有一个共同点，那就是x的指数是逐渐变小(或变大)的。我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。

例1：判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。

①x＋1；    ②；    ③πr²；    ④－a²b。

例2：下面各题的判断是否正确？

①－7xy²的系数是7；  ②－x²y³与x³没有系数； ③－ab³c²的次数是0＋3＋2；

④－a³的系数是－1；   ⑤－3²x²y³的次数是7；  ⑥πr²h的系数是。

通过其中的反例练习及例题，强调应注意以下几点：

①圆周率π是常数；

②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x²，－a²b等；

③单项式次数只与字母指数有关。

例3：判断：

①多项式a³－a²ｂ＋ab²－b³的项为a³、a²ｂ、ab²、b³，次数为12；

②多项式3n⁴－2n²＋1的次数为4，常数项为1。

例4：指出下列多项式的项和次数：

(1)3x－1＋3x²；             (2)4x³＋2x－2y²。

例5：指出下列多项式是几次几项式。

(1)x³－x＋1；                 (2)x³－2x²y²＋3y²。

例6：已知代数式3xⁿ－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。

例7：①填空：－a²b－ab＋1是    次    项式，其中三次项系数是      ，二次项为      ，常数项为     ，写出所有的项                            。

②已知代数式2x²－mnx²＋y²是关于字母x、y的三次三项式，求m、n的条件。

例8：把多项式2πr－1＋3πr³－π²r²按r升幂排列。

例9：把多项式a³－b³－3a²b＋3ab²重新排列。

(1)按a升幂排列；                 (2)按a降幂排列。

二、 同类项的定义

     所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项

另外，所有的常数项都是同类项。比如，前面提到的、0与也是同类项。

例1：判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。

 (1)3x与3mx是同类项。  (     )         (2)2ab与－5ab是同类项。     (     )

 (3)3x2y与－yx2是同类项。 (     )     (4)5ab2与－2ab2c是同类项。 (     )

 (5)23与32是同类项。       (     )

例2：指出下列多项式中的同类项：

(1)3x－2y＋1＋3y－2x－5；      (2)3x2y－2xy2＋xy2－yx2。

三、 合并同类项的定义

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母指数保持不变。

例1：找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5种的同类项，并合并同类项。

例2：下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正。

(1)2x2＋3x2=5x4；  (2)3x＋2y=5xy；  (3)7x2－3x2=4； (4)9a2b－9ba2=0。

例3：合并下列多项式中的同类项：

①2a2b－3a2b＋0.5a2b；         ②a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3；

③5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(y－x)4。

例4：求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值，其中x=－3。

四、 去括号

     去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项．

    法则顺口溜：去括号，看符号：是“+”号，不变号；是“—”号，全变号。

例1．化简下列各式：

（1）8a+2b+（5a－b）；      （2）（5a－3b）－3（a2－2b）．      (3)a—(2a+b)+2(a—2b)；         

(4)3(5x+4)—(3x—5)；       (5)(8x—3y)—(4x+3y—z)+2z；     (6)—5x2+(5x—8x2)—(—12x2+4x)+；

 

(7)2—(1+x)+(1+x+x2—x2)；       (8)3a2+a2—(2a2—2a)+(3a—a2)；  (9)2a—3b+［4a—(3a—b)］；      

例2．计算：5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]+2x2y－xy2．

五、添括号的法则：

①观察：分别把前面去括号的(1)、(2)两个等式中等号的两边对调，并观察对调后两个等式中括号和各项符号的变化，你能得出什么结论？

 

 ②通过观察与分析，可以得到添括号法则：

 所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。

六、整式的加减：

不难发现，去括号和合并同类项是整式加减的基础。因此，整式加减的一般步骤可以总结为：

（１）如果有括号，那么先去括号。（２）如果有同类项，再合并同类项。

例1：求整式x2—7x—2与—2x2+4x—1的差。

练习：一个多项式加上—5x2—4x—3与—x2—3x，求这个多项式。

例2：计算：—2y3+(3xy2—x2y)—2(xy2—y3)。

例3：化简求值：(2x3—xyz)—2(x3—y3+xyz)+(xyz—2y3)，其中x=1，y=2，z=—3。

求代数式的值时，应先考虑将代数式化简，在代入求值的过程，体会先化简在求值的优越性。

例4：化简、求值：5ab—2［3ab—(4ab2+ab)］—5ab2，其中a=，b=—。

例5：一个多项式加上—2x3+4x2y+5y3后，得x3—x2y+3y3，求这个多项式，并求当x=—，y=时，这个多项式的值。

                           

作业：

一、选择题

1．下列各式中是多项式的是 （    ）

    A.              B.           C.               D.

2．下列说法中正确的是（    ）

    A.的次数是0  B.是单项式     C.是单项式             D.的系数是5

3．(     )

    A.             B.          C.             D.  

4．只含有的三次多项式中，不可能含有的项是 （    ）

   A.             B.            C.             D.

5．化简 的结果是 （    ）

   A.       B.          C.          D.

6．一台电视机成本价为元，销售价比成本价增加了，因库存积压，所以就按销售价的出售，那么每台实际售价为 （    ）

A.元                B.元          

C.元                D.元       

二、解答题

7. 化简:

（1）； 

（2）； 

（3） ；        

8．化简求值

（1）  其中 .

（2）  其中 .

9．已知 ，，求.

第二篇：整式的加减--基础知识总结

第二章 《整式的加减》基础知识小结 ?

一、整式

①?单项式：由数与字母的乘积组成的式子；?

②?单独的一个数或字母也是单项式；?

③?单项式的系数：单项式前面的数字因数；?

1. 单项式 ④?单项式的次数：单项式中所有字母指数的和；?

⑤?单项式的判断：

1）数与字母是否是乘积关系；?

??2）分母中不能含有字母；?

??3）式子中不含加、减运算关系。

①?多项式：几个单项式的和;?

②?多项式的项：多项式中的每个单项式。其中不含字母的项叫常数项或零次单项式③ 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数；?

2. 多项式 ④?多项式的判断:?代数式中的每一项均为单项式；

⑤ 多项式的排列:

1）升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列；

2）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列。 ① 整式：单项式与多项式统称整式；?

②?注意问题：?

1）单项式或多项式的某项的系数包括前面的符号；?

3. 整式 ??2）多项式重新排列时，各项要连同它前面的符号一起移动；?

??3）多项式不含的项，表示此项的系数为0。?

??4）当字母的指数是1时，“1”通常省略不写；

5）系数是1或-1时，通常省略不写。?

二、整式的加减

①?同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；?

②?几个常数项也是同类项（零次单项式）；?

③ 同类项的判断：?

1）所含字母相同；?

1. 合并同类项 2）相同字母的次数相同；?

3）同类项与系数大小、字母的排列顺序无关。?

④?合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项.可以运用交换律，结合律和分配律⑤ 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变；?

①?去括号法则：去括号，看符号：是正号，不变号；是负号，全变号。?②整式加减的一般步骤：?

2. 整式的加减 1）“一去”：如果遇到括号按去括号法则先去括号；?

2）“二找”：结合同类项；?

3）“三合”：合并同类项。?

?

1??????????????????