第二章 整式的加减

知识点总结  ???

                      整式

           有理式

代数式                分式

           无理式

                                               

                         

                                   

                    

                       

                        

                           

知识点一：整式

※、单项式与多项式的判断

1、没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积 —— 包括单独的一个数或字母）

2、几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

说明：没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

※、书写含有字母的式子时应注意：
　　（1）当数字与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为“· ”，且数字在前，字母在后，若数字是带
　　 　　分数，要化为假分数，如×a写成·a或a；
　　（2）字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为“·”，如a×b写成a·b或ba；
　　（3）除法运算写成分数形式，如1÷a通常写作。

（一）单项式

1、都是数字与字母的乘积

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。如5的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。如－k，pq²等。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。如9×10³a²b³c的次数是6，与10³无关。
   13、圆周率π是常数。

（二）多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

要点诠释：
　　（1）多项式的每一项都包括它前面的符号。如多项式6x²－2x－7，它的项是6x²，－2x，－7；
　　（2）多项式3n⁴－2n²＋n＋1的项是3n⁴，－2n²，n，1，其中3n⁴是四次项，－2n²是二次项，n是一次
　　 　　项，1是常数项；
　　（3）多项式的次数不是所有的项的次数之和，而是次数最高项的次数；
　　（4）多项式中含有几项，就是几项式，最高项的次数是几，就是几次式；
　　（5）多项式没有系数的概念，但对多项式中的每一项来说都有系数。
    （6）多项式的降幂与升幂排列
　　     把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列。 

    例如，多项式2x³＋5x＋8－5x²，我们可以运用交换律，把多项式按其中字母x的指数从大到小的顺序写成2x³－5x²＋5x＋8的形式，这种书写形式就是把多项式按字母x降幂排列。
另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。例如，多项式 2x³＋5x＋8－5x²可以改写成8＋5x－5x²＋2x³的形式，这种书写形式就是把多项式按字母x升幂排列。
注意：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；
　　   （2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列。

（三）整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母不是整式

（四）整式的值
　　一般地，用数值代替整式里的字母，按照整式中的运算关系计算得出的结果，叫做整式的值。
    要点诠释：
　　1、一个整式的值是由整式中字母的取值而决定的．所以整式的值一般不是一个固定的数，它会随着整
　 　　式中字母取值的变化而变化．因此在求整式的值时，必须指明在什么条件下．如：对于整式 n－2；
　 　　当 n＝2时，代数式n－2的值是0；当n＝4时，代数式n－2的值是2；
　　2、整式中字母的取值必须确保做到以下两点：①使整式有意义，②使字母所表示的实际数量有意义，
　 　　例如：式子中字母表示长方形的长，那么它必须大于0；
　　3、求整式的值的一般步骤：
　 　　如果整式能化简，则先化简；如果不能化简，则由整式的值的概念，需要：一要代入，二要计算．
　 　　求整式的值时，一要弄清楚运算符号，二要注意运算顺序．在计算时，要注意按整式指明的运算进
　 　　行。
注：（1）整式中的运算符号和具体数字都不能改变；
　　（2）字母在整式中所处的位置必须搞清楚；
　　（3）如果字母取值是分数或负数时，作运算时一般加上小括号，这样不易出错。

知识点二：整式的加减

（一）同类项、合并同类项
　　1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。比如：

与只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是2，y的指数都是1；同样地，与也只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是1，y的指数都是2．再如－3与5也是同类项。

要点诠释：
　　同类项有两个特征，一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同。二者缺一不可。而与系数大小、字母的

先后顺序没有关系。简单地说，就是“两相同，两无关”。另外，常数项都是同类项。
　　2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
　　要点诠释：
　　（1）合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为合并后所得项的系数，字母和字母的
　　 　　指数不变。
　　 　　比如：在多项式中遇到同类项，可以运用交换律、分配律合并，如
　　 　　
　　 　　=
　　 　　=
　　 　　=
　　（2）合并同类项的一般步骤：
　　Ⅰ．先判断谁与谁是同类项；
　　注：所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则合并。
　　Ⅱ．利用法则合并同类项；
　　①合并同类项时，系数相加，字母部分不变，不能把字母的指数也相加，
　　　如 2a＋5a≠7a²。
　　②如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为 0。
　　③合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，不能合并的 项，在每步运算中
　　　不要漏掉。
　　④写出合并后的结果。
　　注：合并同类项时，只要多项式中不再有同类项，就是最后的结果，结果可能是单项式，也可能是多项式。

（二）去括号与添括号
　　1．去括号法则：
　　括号前是“﹢”号，把括号和它前面的“﹢”号去掉，括号里的各项都不变符号；
　　括号前是“﹣”号，把括号和它前面的“﹣”号去掉，括号里的各项都改变符号。
    要点诠释：
　　（1）括号前面有数字因数时，应利用乘法分配律，先将该数与括号内的各项分别相乘，再去掉括号，
　　 　　以避免发生符号错误；
　　（2）在去掉括号时,括号内的各项或者都要改变符号，或者都不改变符号，而不能只改变某些项的符
　　 　　号；
　　（3）一定要注意括号前面的符号，它是去掉括号后，括号内各项是否变号的依据。如括号前面是
　　 　　“－”号，去括号时常忘记改变括号内每一项的符号，出现错误，或括号前有数字因数，去括号
　　 　　时没把数字因数与括号内的每一项相乘，出现漏乘的现象，只有严格按照去括号法则，才能避免
　　 　　出错。

　　2．添括号法则：
　　所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；
　　所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．
　　要点诠释：
　　（1）添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“＋”号或“－”号也
　　 　　是新添的，不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；
　　（2）添括号时，首先要理解题目的要求，弄清楚括号前是“＋”号还是“－”号，然后再根据法则添
　　 　　括号，尤其要注意括号前面是“－”号时，括到括号内的各项都要改变符号；
　　（3）把一些项放在带有系数的括号里，每一项都要除以这个系数，
　　 　　如 6a－4b＝2(6a÷2－4b÷2)＝2(3a－2b)；
　　（4）去括号和添括号是两个相反的过程，因此可以相互检验正误。
　　 　　如 a＋b－ca＋(b－c)；    a－b＋ca－(b－c) 。

（三）整式的加减
　　一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
　　要点诠释：
　　1、整式的加减运算实质是正确地去括号、合并同类项，以及进行实际背景的加减运算；
　　2、几个多项式相加，可以省略括号，直接写成相加的形式，如3a＋2b与－2a＋b的和可直接写成
　 　　3a＋2b－2a＋b的形式；
　　3、两个多项式相减，被减数可不加括号，但减数一定要加上括号。如3a＋2b与－2a＋b的差可写成
　 　　3a＋2b－(－2a＋b)的形式，再去括号进行计算；
　　4、在进行整式加减运算时，有时可把着眼点放在问题的整体上，用整体思想考虑问题，可使计算简
　 　　化；
　　5、不要漏掉不能合并的项。
　　注：
　　(1)寻找同类项的过程就是把多项式的项按所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同进行分类；
　　(2)先化简再求值，就是把一个较复杂的多项式转化为一个较简单的多项式或单项式，再代入求值，体
　 　　现了转化思想的优越性；

第二篇：第二章 整式 及整式的加减 知识点

第二章 整式的加减

（多项式中）最高次项的系数：

单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。 5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

整式的加减

1、整式加减的理论根据是：去括号法则

以及乘法分配率

去括号法则：如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“十”号去掉，括号里各项都不变符号；

如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。

如： a＋(b－c)＝ a＋b－c ； a－(b－c) ＝ a－b＋c

添括号法则：所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；

所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。

2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项：

1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3）合并同类项步骤：

a．准确的找出同类项。

b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

c．写出合并后的结果。

4）在掌握合并同类项时注意：

a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

b.不要漏掉不能合并的项。

c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：

1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

2）按去括号法则去括号。

3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：

（1）代数式化简

（2）代入计算

（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

五、同底数幂的乘法

1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作a，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，a的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a

m+nmn mnn﹒an=am+n 。 4、此法则也可以逆用，即：a = a﹒a。

5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

六、幂的乘方

1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（a）表示n个a相乘。

2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a） =a。

3、此法则也可以逆用，即：a =（a）=（a）。

mnmnnmmnmnmnm

七、积的乘方

1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

=anbn 。

nnn 3、此法则也可以逆用，即：ab =（ab）。 即（ab）

n

八、同底数幂的除法

1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a

2、此法则也可以逆用，即：a

m-nm÷an=am-n（a≠0）。 = am÷an（a≠0）。

0九、零指数幂 1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a

=1（a≠0）。

注：在同底数幂的十、负指数幂 1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。

除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

十一、整式的乘法

（一）单项式与单项式相乘

1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、系数相乘时，注意符号。

3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。

4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。

5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

（二）单项式与多项式相乘

1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。

（三）多项式与多项式相乘

1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。

4、运算结果中有同类项的要合并同类项。 5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x

2+(a+b)x+ab。

十二、平方差公式

221、（a+b）(a-b)=a-b，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。

223、平方差公式可以逆用，即：a-b=（a+b）(a-b) 。

4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成（a+b）?(a-b)

的形式，然后看a与b是否容易计算。 22

十三、完全平方公式

1、 (a＋b) = a＋2ab＋b ； (a－b) = a－2ab＋b

即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。 222 222

十四、整式的除法

（一）单项式除以单项式的法则

1、单项式除以单项式的法则：

? 一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；

? 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母

三部分分别进行考虑。

（二）多项式除以单项式的法则

1、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。