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2016考研线性代数强化阶段学习建议

[摘要]下面是凯程考研特辅导名师为大家整理总结的考研线性代数强化阶段学习建议，分享给各位备考2016考研的考生们，供大家参考！祝愿各位考生都能在强化复习阶段顺利，考研成功！

在一张考研数学试卷中，线性代数这一学科所占的分值为34分，通常由两道选择题、一道填空题(每道题4分)、两道解答题(每道题11分左右)组成，通过强化阶段的学习，我们的目标是至少可以拿到30分。

整个线性代数的课程可以分为六个章节：行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。为了说明每个章节的学习重心，我们将近十年的考研数学试卷(包括数学一、数学二和数学三)做了一个统计，得到了每个章节的题量和分值分布。

(1)行列式。近十年的试卷中，直接考查行列式的有6道题，共24分。首先，从题量上看，直接考察行列式的题目出现的频率是比较低的，不是每年都考，但是，行列式与后续各个章节都有联系，所以，更多的是以间接方式考查。其次，从平均分上看，多以选择或填空题的形式考查。

(2)矩阵。近十年试卷中，考查矩阵的有19道题，共84分。从题量上看，矩阵这块是每年必考题，从平均分上看，也是多以选择或填空题的形式考查。行列式与矩阵对应教材上的前四个模块，这两部分的内容都是以小题为主，这类题目的特点是：计算量不大，重在理解思想方法，所以，在上课的时候，学生应该是以听课为主;但是，与行列式相比，矩阵这一块的考点更多一些。

(3)向量。近十年来，向量共考了17道题，占110分。从平均分上看，从向量开始出现解答题。而线性代数的解答题有两个特点，一个是比较综合，比如，向量这块的题目可能会综合了行列式、矩阵以及后面的线性方程组、秩的相关知识;另一个是计算量比较大。所以，在学这一部分的知识时，首先要把基础知识学好，另外，需要动手计算、多练习。

(4)线性方程组，共考了16道题，占135分。从平均分上看，这部分的题以解答题为主。而且，线性方程组是线性代数其半部分内容的理论核心，这部分的题目比较综合，而且计算量大。

(5)特征值与特征向量，考了22道题，占192分。这部分无论是题量还是分值，都是最多的，形式以解答题为主，计算量也是最大的。

(6)二次型，考了14道题，占88分。这部分考题也是以小题为主，但也会考解答题，特别是最近几年，二次型这块出解答题的可能性越来越大。

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通过以上的分析，我们会发现，线性代数的核心就集中在线性方程组、特征值与特征向量这两个章节。总的来说，我们的线性代数要考高分，关键是解答题，而能出解答题的地方就集中在线性方程组、特征值与特征向量这两个章节，所以，这两个章节应该成为考生学习的重中之重。

接下来，来介绍一下，我们在强化阶段的教学重心。本阶段的教学与基础阶段有两个不同。

第一，内容很综合。基础阶段的授课是零基础、零起点的，是按照考生的学习习惯设计的，但是，考研题目是很综合的，所以，强化阶段的授课会打破章节限制，变得很综合。比如，讲到行列式时，我们会总结出线性代数从第一章到最后一章，所有用到行列式的考点。

第二，授课形式，以题带点。基础阶段授课是以基础知识为纲，所有内容都是为做基础知识服务的，而强化阶段，我们的授课重心会放在题上，知识点是为做题服务的，在讲知识时，我们会讲清楚它是怎么用于解题的，目的是训练考生的解题能力。

在做题时，考生应该注意两点：第一，做什么?哪些题该做，哪些题不该做，我们会首先给大家讲清楚，当然我们的答案是基于对历年考研真题的深度解析基础之上的。作为我们的学员，就不用担心这个问题了，大家只需将我们的教材上的例题以及对应习题集上的题目掌握到位就足够了。第二，怎么做?考生在强化阶段的需要做的题量是非常大的，在有限的时间内，效率就显得非常重要。所以，我们会总结出每个模块的常考题型，并且系统总结出对应的基本思路和方法，考生课下再按照老师讲的思路和方法做题，训练即可。

[摘要]下面是凯程考研特辅导名师为大家整理总结的考研线性代数行列式的复习资料，分享给各位备考2016考研的考生们，供大家参考！祝愿各位考生都能在强化复习阶段顺利，考研成功！

在考试中，直接考查行列式的题目比较少，多是以间接方式考查。

一、 知识点回顾

1.行列式本身知识点

(1) 概念

对行列式的概念，考生应注意两点：行列式是一个数;这个数是“不同行、不同列、n项乘积的代数和”。

(2) 性质

对于行列式的性质，考生应明白，这些性质是用来对行列式变形的，利用行列式的性质，可以将行列式变形成理想的形式，比如三角行列式。

(3) 展开定理

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展开定理的作用是降阶，可以将原来的n阶行列式展开成若干个n-1阶行列式。

2.行列式的应用

行列式跟后续很多章节都有联系。比如：矩阵A可逆 。

二、 常见题型总结

1、数值型行列式的计算

(1)低阶列式(三阶或四阶)

计算思路：展开定理、拉普拉斯展开定理、利用范德蒙行列式。

其中，展开定理，适用于每行(列)最多有两个非零元的情形，当非零元多于两个时，可以先利用行列式的性质，对其变形。口诀：“找1、化0、展开”。

拉普拉斯展开定理适用于：0比较多，但是排布比较复杂，可以先利用行列式的性质将0集中，然后再利用拉普拉斯展开定理展开。

范德蒙行列式适用于：各行或各列成等比的情况。但是，在使用范德蒙行列式时，需要先将所给行列式化成标准形式：第一行或者第一列的元素全为1。

(2)高阶行列式的计算(n阶)

计算思路：三角化、展开定理。

其中，可以使用三角化的题型有两种：爪型行列式与对角线型行列式。

对于爪型行列式，直接进行三角化;对角线型行列式，可以先化成爪型，再进行三角化。

除此之外，我们还总结出，计算n阶行列式的一个基本思想：化0。对于n阶行列式，大的方向就是利用行列式的性质变形，使得行列式中出现很多0，当0比较多时，再进行计算，就容易多了。

展开定理，当n阶行列式，某一行(列)最多有两个非零元时，可以按照这一行(列)展开，展开定理有两个作用：一、通过展开定理可以将行列式简化;二、可以得到递推公式。特别是，对三线型行列式，可以通过展开定理展开，得到一个递推公式。

2、抽象型行列式的计算

抽象型行列式计算题型有三种：

1)矩阵按列分块

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计算思路有两个：一、利用行列式的性质;二、分解成两个矩阵相乘的形式。

当矩阵按列分块，且每一列有两个或两个以上的向量组成时，可以先用行列式的性质对其变形，将其变成每一列只含一个向量的形式;

或者，可以利用矩阵的乘法，将其分解成两个矩阵相乘的形式，再利用公式 。

注意：第二种方法在使用时必须保证分解后的矩阵均为方阵才可以，因为，只有方阵才可以求行列式。

2)矩阵方程

计算思路：提公因式，同取行列式。

比如，求矩阵A的行列式，就首先把A作为一个公因式，提取出来，再在方程两边同取行列式即可。

3)两矩阵和的行列式

有两种计算思路：a、合并;b、利用单位矩阵变形。

因为两矩阵和的行列式是没有公式的，当这两个矩阵有关联时，可以将其合并成一项，求行列式;当两个矩阵之间无关联时，可利用单位矩阵变形，令其中一个矩阵左乘或右乘一个单位矩阵 ，再将 写成某一个矩阵与其逆矩阵乘积。

4)利用特征值

矩阵的行列式等于矩阵所有的特征值之积。

凯程教育：

凯程考研成立于20xx年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。

凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；

凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里；

信念：让每个学员都有好最好的归宿；

使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；

激情：永不言弃，乐观向上；

敬业：以专业的态度做非凡的事业；

服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学员提

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员引路。

如何选择考研辅导班：

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（20xx年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。

有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

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第二篇：20xx考研线性代数线性方程组二

2016考研线性代数线性方程组二

根据以往考研在考试中会在本部分出一道大题，题型经常是和相似矩阵和二次型相结合的综合性大题。本章知识点很整合系统，所以复习的时候比较容易。但是，对于综合型题目，尤其是线性方程组的抽象题目，还是有一点难度的，下面文都教育数学老师总结的一些重要结论，希望对大家有所帮助。

重要结论：

1、若，则的列向量组为方程组的解，且

2、若与同解，则。

3、与的公共解即为的解。

4、当A列满秩时, A在矩阵乘法中有左消去律:

AB=0ÞB=0；AB=ACÞB=C.

5、推论2  如果A列满秩,则r(AB)=r(B).

6、设AX=?有n个未知数,则它的基础解系中包含解的个数(即解集的秩)=n-r(A).

7、如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)£n.

题型：有基础解系的证明

例：已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解.

（Ⅰ）证明方程组系数矩阵的秩；

（Ⅱ）求的值及方程组的通解.

【分析】 （I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II）利用初等变换求矩阵的秩确定参数，然后解方程组.

（I） 设是方程组的3个线性无关的解，其中

          .

则有　.

则　是对应齐次线性方程组的解，且线性无关.（否则，易推出线性相关，矛盾）.所以　，即.

又矩阵中有一个2阶子式，所以.因此.

（II）  因为

.

又，则

.

对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，

，故原方程组与下面的方程组同解.

　　　　　　　　　　.

选为自由变量，则

.

故所求通解为

　　　　　　　　　，为任意常数.

题型：综合题

设元线性方程组，其中

            ，，．

（I）证明行列式；

（II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求．

（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．

【详解】（I）【证法1】数学归纳法．记

以下用数学归纳法证明．

当时，，结论成立．

当时，，结论成立．

假设结论对小于的情况成立．将按第一行展开得：

故    ．

【注】本题（1）也可用递推法．由得，．于是

（I）【证法2】消元法．记

．

（II）【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将得第一列换成，得行列式为

所以，．

（III）【详解】 当时，方程组为

此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为，所以方程组有无穷多组解，其通解为

，其中为任意常数．

以上是本章的主要知识点的总结，重点是最后的主要的几个结论，考研经常考的是相形方程组的解法和解的结构，希望以上内容对2016考研同学有所帮助。