考试重点

第一章：行列式的定义、行列式的计算；

第二章：1、求矩阵的逆阵（伴随矩阵法、初等变换法）；

            2、求矩阵的秩（用初等变换法）；

             3、求矩阵方程：Ax=B, xA=B, AxB=C；

第三章：证明向量组的线性相关性；

第四章：方程组Ax=0, Ax=b求解；

第五章：1、会求特征值与特征向量；

        2、相似矩阵的性质；

        3、实对称矩阵的对角化；

第六章：1、用正交变换把二次型化为标准形；

        2、二次型的秩，二次型正定的定义；

        3、矩阵正定的判断方法：

           （1）各阶顺序主子式都大于零；（2）每个特征值都大于零

           

√ 行列式的计算：

     ① 若都是方阵（不必同阶）,则

     ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

     ③关于副对角线：

√ 逆矩阵的求法:

①

②

③         

④              

⑤  

√ 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.

√ 设的列向量为,的列向量为，的列向量为,

√ 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；

用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.

√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

与分块对角阵相乘类似,即：

√ 判断是的基础解系的条件：

              ① 线性无关；

              ② 是的解；

③ .

①  零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

②  单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③  向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.

向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.

④  维列向量组线性相关；

   维列向量组线性无关.

⑤  .

⑥  若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.

⑦  矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.

阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

⑧  矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列 、行向量间的线性关系.

  

向量组等价 和可以相互线性表示.  记作：

矩阵等价 经过有限次初等变换化为.  记作：

⑨  矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.

矩阵与作为向量组等价

矩阵与等价.

⑩  向量组可由向量组线性表示≤.

                             

?  向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.

向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.

?  向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；

?  任一向量组和它的极大无关组等价.

?  向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.

?  若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

?  若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；

                                    若，的列向量线性无关,即：

线性无关.

线性方程组的矩阵式                             向量式 

                          

线性方程组解的性质：

√ 设为矩阵,若,则,从而一定有解.

           当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.

           是的上限.

√ 矩阵的秩的性质：

              ①

              ② ≤

              ③ ≤

              ④

              ⑤

⑥≥

⑦ ≤

⑧

⑨

              ⑩ 且在矩阵乘法中有左消去律:

                              

标准正交基个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

 .

是单位向量.

√ 内积的性质：  ① 正定性：

                 ② 对称性：

③ 双线性：

                

                

施密特  线性无关,

                         

                          单位化：        

正交矩阵  .

√ 是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基.

√ 正交矩阵的性质：① ；

② ；

③ 是正交阵,则（或）也是正交阵；

④ 两个正交阵之积仍是正交阵；

⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.

的特征矩阵 .

的特征多项式  .

的特征方程 .         

√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.

√ 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.

√         

√ 若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：,    .

√ 若的全部特征值，是多项式,则:

① 的全部特征值为；

② 当可逆时,的全部特征值为,

              的全部特征值为.

√

√

与相似     （为可逆阵）    记为：

√ 相似于对角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.

√ 可对角化的充要条件：     为的重数.

√ 若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似.

与正交相似     （为正交矩阵）

√ 相似矩阵的性质：①    若均可逆

②

③     （为整数）

④ ,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是关于的特征向量,是关于的特征向量.

⑤      从而同时可逆或不可逆

⑥

⑦

√ 数量矩阵只与自己相似.

√ 对称矩阵的性质：

                ① 特征值全是实数,特征向量是实向量；

                ② 与对角矩阵合同；

③ 不同特征值的特征向量必定正交；

④ 重特征值必定有个线性无关的特征向量；

⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,重数=）.

二次型      为对称矩阵   

√ 用正交变换法化二次型为标准形:

①  求出的特征值、特征向量；

②  对个特征向量单位化、正交化；

③  构造（正交矩阵）,；

④  作变换,新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.

正定二次型  不全为零，.

正定矩阵  正定二次型对应的矩阵.

√ 合同变换不改变二次型的正定性.

√ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

①  正惯性指数为；

②  的特征值全大于；

③  的所有顺序主子式全大于；

④  大于）.

√ 成为正定矩阵的必要条件：  ； .

第二篇：20xx考研数学 线性代数超级总结-1

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 ?A可逆 ??r(A)?n

?A的列（行）向量线性无关 ??A的特征值全不为0

??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? A?0?? n????R,Ax??总有唯一解

?ATA是正定矩阵 ??A?E

?A?pp???p p是初等阵12si???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E

注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○n

?A不可逆 ?r(A)?n ??A?0??A的列（行）向量线性相关

?0是A的特征值 ???Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量

?r(aE?bA)?n ?注 aE?bA????(aE?bA)x??有非零解 ○

??=-a ?

向量组等价??矩阵等价(?)?具有?反身性、对称性、传递性 ????矩阵相似(?)?

矩阵合同(?)??

√ 关于e1,e2,???,en：

①称为?的标准基，?中的自然基，单位坐标向量p教材87；

②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1；

④trE=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示. nn

1

a11

Dn?

a12?a1na22?a2n?

?

an2?ann

?

j1j2?jn

a21?an1

?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

√ 行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

AO

②若A与B都是方阵（不必同阶）,则

OO

BA

==

A?

?A

OBBO

?

AO?

B

?AB

（拉普拉斯展开式）

BO

?(?1)mnAB

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

?

④关于副对角线：

a1n

a2n?1

?

?O

O

a2n?1

?an1

a1n

?(?1)O

n(n?1)a1na2n?an1 （即：所有取自不同行不

an1

同列的n个元素的乘积的代数和）

1x1

⑤范德蒙德行列式：x12

1x2

2x2?

???

1

2

???xi?xj?

xn

1?j?i?n

?

xn

?x1n?1

n?1n?1x2?xn

?a11

?a21?由m?n个数排成的m行n列的表A?????am1

?A11?A12??????A1n

A21?A22?A2n

a12a22?am2

?a1n?

?

?a2n?

称为m?n矩阵.记作：A??aij?或Am?n

m?n??

?

?amn?

A?Aij

*

??

T

An1??

?An2?

，Aij为A中各个元素的代数余子式. ???

?Ann?

√ 逆矩阵的求法:

主?换位?ab?1?d?b?A

注： ?① A?1? ○ ????

ad?bc??ca?A副?变号?cd?

?

?1

2

初等行变换

②(A?E)?????(E?A?1)

?a1

?③???

a2

?1

?a?1

??

???

?a3????

m

n

a2

????? ???a1??33?

(Am)n?(A)mn

a2

?1

?a1?

??

???

??1???1

1

a3

a2

??? ???

√ 方阵的幂的性质：AA?A

m?n

√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，

则AB?Cm?s

?b11b12?b1s???bb?b21222s???c,c,?,c??A??c ，(i?1,2,?,s)??为???1,?2,???,?n??12siii???????bb?bns??n1n2

Ax?ci的解?A??1,?2,???,?s???A?1,A?2,???,A?s???c1,c2,?,cs??c1,c2,?,cs可由?1,?2,???,?n线性表

示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.

T

?a11

?a21?即： ????an1

a12a22?an2

?a1n???1??c1??a11?1?a12?2???a1n?2?c1

??????a??a????a??c?a2n???2??c2??2112222n22

? ??

???????????????????amn???n??cm??am1?1?am2?2???amn?2?cm

√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

○○

○○

?AB??AT

√ 分块矩阵的转置矩阵：????T

CD???B

?A?1?A?

分块矩阵的逆矩阵：????

B???

?A?1?AC?????OB???O

?1?1

T

CT?

? DT?

?? ??B?1??B

A??

???1???A

?1?1

B?1?

? ?

?A?1A?1CB?1?O??AO?? ???1?1? ??

CBB?B?????BCA

?A11

分块对角阵相乘：A??

???B11,B???A22????A11B11

AB????

B22??n

?n?A11?,A??A22B22???

n?A22?

3

?A??BA*

分块对角阵的伴随矩阵：????B???*?? ??AB*??BA?????mn????(?1)BA*(?1)mnAB????

?

√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B

(I)的解法：构造(A?B)?????(E?X)

初等行变换(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT，

用(I)的方法求出X，再转置得XT

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动）

⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114.

⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.

⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示.

向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示.

⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n；

m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n.

⑨ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为

1，且这些非零元所在列的其他元素都是0? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；

矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

4

对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A；

对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.

如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)?r

向量组?1,?2,?,?n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(?1,?2,?,?n

) A经过有限次初等变换化为B. 记作：A??B

?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n?????1,?2,???,?n?

? 矩阵A与B等价?PAQ?B，P,Q可逆?r(A)?r(B),A,B为同型矩阵??A,B作为向量组等价,即：秩相

等的向量组不一定等价.

矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)?

矩阵A与B等价.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?AX?B有解○○○○

?r(?1,?2,???,?n)=r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n).

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.

向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向量组等价；

p教材94,例10

? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.

? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.

? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

? 设A是m?n矩阵,若r(A)?m，A的行向量线性无关；

若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：?1,?2,???,?n线性无关.

√ 矩阵的秩的性质：

①若A?O?r(A)≥1 若A?O?r(A)?0 0≤r(Am?n)≤min(m,n) 5

②r(A)?r(AT)?r(ATA) p教材101,例15

③r(kA)?r(A) 若k?0 ④若Am?n,Bn?s,若r(AB)?0?? ⑤r(AB)≤min?r(A),r(B)? ?r(A)?r(B)?n B的列向量全部是Ax?0的解?

⑥若A可逆?r(AB)?r(B)

若B可逆?r(AB)?r(A) 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

??Ax?? 只有零解???r(AB)?r(B) ⑦若r(Am?n)?n??； ???A在矩阵乘法中有左消去律?AB?O?B?O????AB?AC?B?C??

?r(AB)?r(B) 若r(Bn?s)?n?? B在矩阵乘法中有右消去律.?

⑧若r(A)?r?A与唯一的?

?Er?OO??Er等价，称??O??OO??为矩阵A的等价标准型. O?

6