《线性代数及其应用》

一、行列式

1、余子式，代数余子式

2、几个定理(定理2.2，2.3，2.4)

       按行展开：

按列展开：

定理2.4  ；

.

3、行列式的性质

       (1) .

       (2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即

.

(2) 若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零.

(3) 初等变换性质

4、行列式计算：三角化法(性质)；

降阶法(性质+展开定理)；

范德蒙德、三对角行列式的结论.

5、分块矩阵的行列式

二、矩阵

1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)

(1) 乘法的结合律

(2) 方阵的幂的求解 

(3) 转置的性质：

(4) 方阵的行列式： 

(5) 分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14)

2、初等变换及初等矩阵

(1) 左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示)

(2) 初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即

3、可逆矩阵

(1) 定义、性质

(2) 伴随矩阵

(3) 判定：可逆

(4) 逆矩阵的求法

(5) 分块矩阵的逆

 (6) 矩阵方程的求解：，其中可逆.

法1  .

法2  .

4、矩阵的秩与矩阵的相抵

(1) 矩阵的秩与性质(101页，105-107页)

① ；

② 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩；

③

④ ；

⑤ ；

⑥ ；

⑦ 或；

若，则，其中，.

⑧ 设，则

(2) 求矩阵的秩 (理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)

(行阶梯形矩阵)，

则的非零行的个数.

(3) 矩阵的相抵(等价)

①

② ，其中可逆.

③ 或.

三、线性空间

1、向量组的线性相关性的判断(命题4.2、4.3、4.4、4.5、定理4.1、4.2、4.4)

(1) 证明方法-- 

(2) 基本结论

    判断向量组线性相关（命题4.2，命题4.3(2),定理4.1及推论1，定理4.2）

充要：线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.

充分：线性相关

判断向量组线性无关（命题4.3(3)，命题4.4的推论）

2、等价向量组

(1) (Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ) (Ⅱ).

(2) (Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则(Ⅰ)(Ⅱ).

3、子空间的验证

(1) 非空、加法和数量乘法的封闭；

(2) 命题4.1(生成子空间)--例4.9，例4.35

4、向量组的秩及极大无关组(命题4.6，定理4.4及推论2)、(线性)子空间的基与维数

(1) 写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组.

(2) 对于，则， 即生成子空间的维数

与基就是向量组的秩与极大无关组.

5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式

坐标：在基下的坐标.

基变换公式：

坐标变换公式：

或

四、线性方程组(含参量、不含参量)

1、解的情况

(1)

若是方阵，则

(2) 齐次线性方程组有非零解.

若是方阵，则齐次线性方程组有非零解.

2、解的结构

齐次：

(1) 解空间、基础解系所含向量的个数

(2) 基础解系不唯一，的线性无关的解均可作为的一个基础解系.

(2) 结构式：通解=基础解系的任意线性组合

非齐次：

(1) 非-非=齐

(2) 结构式：通解=特解导出组的通解

五、线性变换

1、线性变换的验证 (定义5.4)

2、线性变换在一个基下的矩阵(定义5.7)、命题5.8

3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似) 定理5.9

六、内积空间

1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关)

2、施密特正交化

3、正交矩阵

(1) 定义、性质；

(2) 阶实矩阵是正交矩阵的充要条件是的列(行)向量组是的一个标准正交基. (命题6.2)

七、矩阵的相似对角形

1、特征值和特征向量的定义、性质

(1) ；

(2) 与具有相同的特征值(特征向量未必相同)；

(3)

；.

(4) 属于不同特征值的特征向量线性无关(定理5.3、定理5.4及推论).

2、相似矩阵的定义、性质(秩、行列式、迹、特征值相等，但特征向量未必相同)

相似的判定：若与可对角化(实对称矩阵)，且与具有相同的特征值，则与相似.

若与相似，则矩阵多项式与也相似.

3、矩阵的相似对角化

可对角化有个线性无关的特征向量

数域内有个特征值，每一个特征值的几何重数等于代数重数

(充分条件) 有个互不相同的特征值可对角化

4、实对称矩阵

   (1) 特征值：阶实对称矩阵有个实特征值.

 (2) 特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.

   (3) 实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵(几何重数等于代数重数).

   (4) 若与均为实对称矩阵，则与正交相似(相似)与具有相同的特征值.(正交相似既相似，又合同)

八、二次型

1、二次型的矩阵及秩((对称))

2、矩阵的合同：合同必相抵；

正交相似既相似，又合同

实对称矩阵合同的正惯性指数与秩相同

3、化二次型为标准形(不唯一)--正交替换法、配方法(满秩线性替换)

4、惯性定理：实二次型的规范形唯一(正、负惯性指数，符号差)

5、正定二次型

(1) 判定：①  定义；

② 的特征值都大于零(的正惯性指数等于)；

③ 与合同(与正定矩阵合同的实对称矩阵正定)； 

④  存在可逆矩阵，使得；

⑤ 的所有顺序主子式都大于零

(2) 必要条件：；

第二篇：线性代数学习总结

数学四 线 性 代 数 总 结

一、 行列式

1．n阶行列式的概念 a11 a12 …… a1n (1) n阶行列式的递归定义 a21 a22 …… a2n

有n ^ 2个数组成的n阶列式是一个算式，当 ……………… n=1时 an1 an2 …… ann

la11l=a11。当n≥2时

n

D=a11A11 + a12A12 + … + a1A1n=∑a1j A1j j=1

其中A1j=( -1 ) ^ 1+ j M1j ，为a1j的代数余子式。 a21… a2j-1 a2j+1… a2n a31… a3j-1 a3j+1… a3n

为a1j的余子式。 …………………… an1… anj-2 an j+1… ann

(2) n阶行列式的逆序定义

a11 a12 …… a1n

a21 a22 …… a2n

∑( -1 )^σ(i1,i2…in) a1i1 a2i2…anin ………………

an1 an2 …… ann （i1,i2…in）

2．行列式的性质

性质一 行列式的行和列互换后，行列式的值不变。

性质二 行列式的两行（或两列）互换，行列式改变符号。

推论 如果行列式中有两行（或列）的对应元素相同，则此行列式为零。 性质三 用数k乘以行列式的一行（列），等于以数k乘以此行列式。

推论 如果行列式某行（列）的所有元素的公因子，则公因子可以提到行 列式外面。

推论 如果行列式有两行（或两列）的对应元素成比列，则行列式等于零。 推论 如果行列式中以行（或一列）全为零，则行列式的值必为零。

性质四 如果行列式中的某行（或某列）均为两项之和，则行列式等于两个行列式之和。

推论 如果将行列式某一行（或某一列）的每一个元素都写成M（M≥2）个元素的和，则此行列式可以写成M个行列式的和。

性质五 将行列式的某一行（列）的每一个元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。

性质六 如果行列式中某行（或列）中各元素是其余各行（或各列）分别乘一常数后各对应元素之和，则行列式的值为零。

性质七 行列式的任何一行（或列）的元素于另一行（或列）的对应元素的代数余子式的乘积之和必为零。

ai1Aj1 + ai2Aj2 + … +a1nAjn = 0 ( i≠j )

3．拉普拉斯展开式

行列式按k行（或列）展开，则 c

D = ∑ MiAi ( Mi为k阶子式，Ai为k阶代数余子式)

i=1

4． 利用拉普拉斯展开式的两种特殊情况

a11 … a1n 0 … 0 ………………………… a11 … a1n an1 … ann 0 … 0 ………… c11 … c1n b11 … b1n an1 … ann …………………………

cm1 …cmn bm1 …bmn

0 … 0 a11 … a1n ………………………… … ann =（ -1 ）^(mn) 0 … 0 a n1

c11 … c1n b11 … b1n ………………………… cm1…cmn bm1 …bmn

5． 重要公式及结论

b11 … b1n …………… bm1 …bmn

a11 … a1n …………… an1 … ann b11 … b1n …………… bm1 …bmn

(1)如果A,B均为n阶矩阵，则lABl = lAllBl，但AB≠BA。 (2) 如果A,B均为n阶矩阵，则lA±Bl ≠ lAl±lBl。 (3) 如果A为n阶矩阵，则lkAl = k^n lAl。 (4) 如果A为n阶矩阵，则lAl = lA′l

(5) 如果A为n阶可逆矩阵，则lAˉ；ˉ l =k^n / lAl 。 (6) 如果A*为A的伴随矩阵，则lA*l = lAl^(n-1)

lAl （ i = j ）

(7) 如果A为n阶矩阵,则ai1Aj1 + ai2Aj2 + … +a

0 （ i≠j ）

A C A O O A

(8) O B = lAl lBl ；（ -1 ）^(mn) lAl C B B O

O A

B C

=（ -1 ）^(mn) lAl lBl。

(9) a11 X a11 O a22 a22

= = O ann X ann

=a11 a22 … ann 。

O a1n O a1n 2n-1 = a 2n-1 = a an1 O an1 X

a11 O a22

O ann

X a1n a2n-1

an1 O

=( -1 ) ^ [n (n+1) / 2] a1n a2n-1 … an1 。 (10) 范德蒙行列式

1 1 1 … 1

a1 a2 a3 … an

a1^2 a2^2 a3^2 … an^2 = ∏ ( aj – ai ) 其中 ( ai≠aj) (i≠j) …………………………… 1≤i≤j≤n

a1^n-1 a2^n-1 a3^n-1 … an^n-1

6． 行列式的求值方法

（1）一般行列式的求值方法

将行列式化为上、下三角行列式；

将行列式中一列的其余元素化为零，在按该列展开，不断降阶计算； （2）n阶行列式的求值方法

行列式中较多元素是零时，利用行列式的定义计算；

当各行（或列）诸元素之和相等时，可将各行（或列）加到同一行（或列）中去； 各行（或列）加减同一行（或列）的倍数，适用于可变为三角形式或提取公因子的； 观察一次因式法； 升阶法； 降阶法； 拆项法；

递归法（归纳法）；