线性代数中必考知识点归纳总结

时间:2024.7.5

20##年线性代数必考的知识点

1、行列式

1.         行列式共有个元素,展开后有,可分解为行列式;

2.         代数余子式的性质:

①、的大小无关;

②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;

③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为

3.         代数余子式和余子式的关系:

4.         设行列式

上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则

顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则

主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则

主副角线翻转后,所得行列式为,则

5.         行列式的重要公式:

①、主对角行列式:主对角元素的乘积;

②、副对角行列式:副对角元素的乘积

③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;

④、:副对角元素的乘积

⑤、拉普拉斯展开式:

⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;

⑦、特征值;

6.         对于阶行列式,恒有:,其中阶主子式;

7.         证明的方法:

①、

②、反证法;

③、构造齐次方程组,证明其有非零解;

④、利用秩,证明

⑤、证明0是其特征值;

2、矩阵

1.         阶可逆矩阵:

(是非奇异矩阵);

(是满秩矩阵)

的行(列)向量组线性无关;

齐次方程组有非零解;

总有唯一解;

等价;

可表示成若干个初等矩阵的乘积;

的特征值全不为0;

是正定矩阵;

的行(列)向量组是的一组基;

中某两组基的过渡矩阵;

2.         对于阶矩阵 无条件恒成立;

3.        

4.         矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;

5.         关于分块矩阵的重要结论,其中均可逆:

,则:

Ⅰ、

Ⅱ、

②、;(主对角分块)

③、;(副对角分块)

④、;(拉普拉斯)

⑤、;(拉普拉斯)

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.         一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:

等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;

对于同型矩阵,若

2.         行最简形矩阵:

①、只能通过初等行变换获得;

②、每行首个非0元素必须为1;

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;

3.         初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)

①、  若,则可逆,且

②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:

③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且

4.         初等矩阵和对角矩阵的概念:

①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;

②、,左乘矩阵的各行元素;右乘,的各列元素;

③、对调两行或两列,符号,且,例如:

④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:

⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:

5.         矩阵秩的基本性质:

①、

②、

③、若,则

④、若可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩

⑤、;(※)

⑥、;(※)

⑦、;(※)

⑧、如果矩阵,矩阵,且,则:(※)

       Ⅰ、向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);

       Ⅱ、

⑨、若均为阶方阵,则

6.         三种特殊矩阵的方幂:

①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;

②、型如的矩阵:利用二项展开式;

       二项展开式:

       注:Ⅰ、展开后有项;

Ⅱ、

Ⅲ、组合的性质:

③、利用特征值和相似对角化:

7.         伴随矩阵:

①、伴随矩阵的秩:

②、伴随矩阵的特征值:

③、

8.         关于矩阵秩的描述:

①、中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)

②、中有阶子式全部为0;

③、中有阶子式不为0;

9.   线性方程组:,其中矩阵,则:

①、与方程的个数相同,即方程组个方程;

②、与方程组得未知数个数相同,方程组元方程;

10.     线性方程组的求解:

①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);

②、齐次解为对应齐次方程组的解;

③、特解:自由变量赋初值后求得;

11.     由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:

①、

②、(向量方程,矩阵,个方程,个未知数)

③、(全部按列分块,其中);

④、(线性表出)

⑤、有解的充要条件:为未知数的个数或维数)

4、向量组的线性相关性

1.         维列向量所组成的向量组构成矩阵

维行向量所组成的向量组构成矩阵

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;

2.         ①、向量组的线性相关、无关    有、无非零解;(齐次线性方程组)

②、向量的线性表出          是否有解;(线性方程组)

③、向量组的相互线性表示    是否有解;(矩阵方程)

3.         矩阵行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组同解;(例14)

4.         ;(例15)

5.         维向量线性相关的几何意义:

①、线性相关         

②、线性相关       坐标成比例或共线(平行);

③、线性相关  共面;

6.         线性相关与无关的两套定理:

线性相关,则必线性相关;

线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)

维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组

线性无关,则也线性无关;反之若线性相关,则也线性相关;(向量组的维数加加减减)

简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;

7.         向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示,且线性无关,则

向量组能由向量组线性表示,则

向量组能由向量组线性表示

有解;

             

       向量组能由向量组等价

8.         方阵可逆存在有限个初等矩阵,使

①、矩阵行等价:(左乘,可逆)同解

②、矩阵列等价:(右乘,可逆);

③、矩阵等价:可逆);

9.         对于矩阵

①、若行等价,则的行秩相等;

②、若行等价,则同解,且的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;

④、矩阵的行秩等于列秩;

10.     若,则:

①、的列向量组能由的列向量组线性表示,为系数矩阵;

②、的行向量组能由的行向量组线性表示,为系数矩阵;(转置)

11.     齐次方程组的解一定是的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明

①、 只有零解只有零解;

②、   有非零解一定存在非零解;

12.     设向量组可由向量组线性表示为:

       其中,且线性无关,则组线性无关;(的列向量组具有相同线性相关性

(必要性:;充分性:反证法)

       注:当时,为方阵,可当作定理使用;

13.     ①、对矩阵,存在   的列向量线性无关;

②、对矩阵,存在     的行向量线性无关;

14.  线性相关

存在一组不全为0的数,使得成立;(定义)

有非零解,即有非零解;

,系数矩阵的秩小于未知数的个数;

15.     设的矩阵的秩为,则元齐次线性方程组的解集的秩为:

16.     若的一个解,的一个基础解系,则线性无关;

5、相似矩阵和二次型

1.         正交矩阵(定义),性质:

①、的列向量都是单位向量,且两两正交,即

②、若为正交矩阵,则也为正交阵,且

③、若正交阵,则也是正交阵;

       注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化单位化

2.         施密特正交化:

    ;

3.         对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;

对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;

4.         ①、等价   经过初等变换得到

可逆;

同型;

②、合同   ,其中可逆;

                            有相同的正、负惯性指数;

③、相似  

5.         相似一定合同、合同未必相似;

为正交矩阵,则,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);

6.         为对称阵,则为二次型矩阵;

7.         元二次型为正定:

的正惯性指数为

合同,即存在可逆矩阵,使

的所有特征值均为正数;

       的各阶顺序主子式均大于0;

       ;(必要条件)


第二篇:线性代数知识点总结


线性代数知识点总结

第一章  行列式

(一)要点

1、二阶、三阶行列式

2、全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n阶行列式的定义

3、行列式的性质

4、n阶行列式,元素的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理

5、克莱姆法则

(二)基本要求

   1、理解n阶行列式的定义

2、掌握n阶行列式的性质

   3、会用定义判定行列式中项的符号

4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即

5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法:

         归化为上三角或下三角行列式,

         各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式,

         利用展开式计算

6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论

   会用克莱姆法则解低阶的线性方程组

7、了解个方程个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件

第二章 矩阵

(一)要点

1、矩阵的概念

  矩阵是一个矩阵表。当时,称阶矩阵,此时由的元素按原来排列的形式构成的阶行列式,称为矩阵的行列式,记为.

注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。

2、几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵

3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法

  (1)矩阵的乘法不满足交换律和消去律,两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。

       如果两矩阵相乘,有,则称矩阵可换。

注:矩阵乘积不一定符合交换

  (2)方阵的幂:对于阶矩阵及自然数

           规定,其中为单位阵 .

       (3) 设多项式函数为方阵,矩阵的多项式,其中为单位阵。

       (4)阶矩阵,则.

       (5)阶矩阵,则

4、分块矩阵及其运算

5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵可逆,则其逆矩阵是唯一的);矩阵的伴随矩阵记为

矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。

6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价意义下的标准形;矩阵可逆的又一充分必要条件:可以表示成一些初等矩阵的乘积;用初等变换求逆矩阵。

7、矩阵的秩:矩阵的阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩

8、矩阵的等价

(二)要求

1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等

 2、了解几种特殊的矩阵及其性质

3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质

4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵

5、了解分块矩阵及其运算的方法

(1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。

(2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如,将矩阵分块为

,其中)是矩阵的第列,

又如将阶矩阵分块为,其中)是矩阵的第列.

  

   (3)设对角分块矩阵

,均为方阵,

可逆的充要条件是均可逆,,且

6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论;掌握矩阵的初等变换;化矩阵为行最简形;会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵

7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论

8、若矩阵经过有限次初等变换得到矩阵,则称矩阵和矩阵等价,记为.

  矩阵等价当且仅当,在等价意义下的标准型:若,则

          阶单位矩阵。

因此阶矩阵可逆的充要条件为

第三章 线性方程组

(一)要点

   1、n维向量;向量的线性运算及其有关运算律

      记所有维向量的集合为中定义了维向量的线性运算,则称维向量空间。

    2、向量间的线性关系

      (1)线性组合与线性表示;线性表示的判定

      (2)线性相关与线性无关;向量组的线性相关与无关的判定

3、向量组的等价,向量组的秩;向量组的极大无关组及其求法;向量组的秩及其求法

  (1)设有两个向量组

 

 

向量组可以相互表示,称向量组等价。向量组的等价具有传递性。

     (2)一个向量组的极大无关组不是惟一的,但其所含向量的个数相同,那么这个相同的个数定义为向量组的秩。

4、矩阵的秩与向量组的秩的关系

5、线性方程组的求解

(1)线性方程组的消元解法

(2)线性方程组解的存在性和唯一性的判定

(3)线性方程组解的结构

(4)齐次线性方程的基础解系与全部解的求法

(5)非齐次方程组解的求法

(二)要求

1理解n维向量的概念;掌握向量的线性运算及有关的运算律

2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念

3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理

4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念;及极大无关组、向量组秩的求法

5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法

6、会用消元法解线性方程组

7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法

8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法

9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系;掌握非齐次方程组的求解方法

第四章  矩阵的特征值与特征向量

(一)要点

   1、矩阵的特征值与特征向量的定义;特征方程、特征值与特征向量的求法与性质

    2、相似矩阵的定义、性质;矩阵可对角化的条件

    3、实对称矩阵的特征值和特征向量

    向量内积的定义及其性质;正交向量组;施密特正交化方法;正交矩阵;实对称矩阵的特征值与特征向量的性质;实对称矩阵的对角化

(二)要求

    1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质

    2、掌握特征值与特征向量的求法

    3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质

    4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法

    5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。

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