20##年线性代数必考的知识点

1、行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.         行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.         对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.         证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.         是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

是中某两组基的过渡矩阵；

2.         对于阶矩阵： 无条件恒成立；

3.        

4.         矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.         关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则：

Ⅰ、；

Ⅱ、；

②、；（主对角分块）

③、；（副对角分块）

④、；（拉普拉斯）

⑤、；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.         一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；

等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵、，若；

2.         行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.         初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、  若，则可逆，且；

②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；

③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；

4.         初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；

③、对调两行或两列，符号，且，例如：；

④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；

⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；

5.         矩阵秩的基本性质：

①、；

②、；

③、若，则；

④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、；（※）

⑥、；（※）

⑦、；（※）

⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）

       Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；

       Ⅱ、

⑨、若、均为阶方阵，则；

6.         三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如的矩阵：利用二项展开式；

       二项展开式：；

       注：Ⅰ、展开后有项；

Ⅱ、

Ⅲ、组合的性质：；

③、利用特征值和相似对角化：

7.         伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：；

②、伴随矩阵的特征值：；

③、、

8.         关于矩阵秩的描述：

①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）

②、，中有阶子式全部为0；

③、，中有阶子式不为0；

9.   线性方程组：，其中为矩阵，则：

①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；

②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；

10.     线性方程组的求解：

①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

11.     由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：

①、；

②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）

③、（全部按列分块，其中）；

④、（线性表出）

⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.         个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；

个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2.         ①、向量组的线性相关、无关    有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出          是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示    是否有解；（矩阵方程）

3.         矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)

4.         ；(例15)

5.         维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关          ；

②、线性相关       坐标成比例或共线（平行）；

③、线性相关  共面；

6.         线性相关与无关的两套定理：

若线性相关，则必线性相关；

若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：

若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.         向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则；

向量组能由向量组线性表示，则；

向量组能由向量组线性表示

有解；

             

       向量组能由向量组等价

8.         方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；

①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解

②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；

③、矩阵等价：（、可逆）；

9.         对于矩阵与：

①、若与行等价，则与的行秩相等；

②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵的行秩等于列秩；

10.     若，则：

①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；

②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）

11.     齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、 只有零解只有零解；

②、   有非零解一定存在非零解；

12.     设向量组可由向量组线性表示为：

（）

       其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：；充分性：反证法）

       注：当时，为方阵，可当作定理使用；

13.     ①、对矩阵，存在，   、的列向量线性无关；

②、对矩阵，存在，     、的行向量线性无关；

14.  线性相关

存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）

有非零解，即有非零解；

，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15.     设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；

16.     若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；

5、相似矩阵和二次型

1.         正交矩阵或（定义），性质：

①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；

②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；

③、若、正交阵，则也是正交阵；

       注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2.         施密特正交化：

；

    ;

3.         对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4.         ①、与等价   经过初等变换得到；

，、可逆；

，、同型；

②、与合同   ，其中可逆；

                            与有相同的正、负惯性指数；

③、与相似   ；

5.         相似一定合同、合同未必相似；

若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6.         为对称阵，则为二次型矩阵；

7.         元二次型为正定：

的正惯性指数为；

与合同，即存在可逆矩阵，使；

的所有特征值均为正数；

       的各阶顺序主子式均大于0；

       ；(必要条件)

第二篇：线性代数知识点总结

线性代数知识点总结

第一章  行列式

(一)要点

1、二阶、三阶行列式

2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n阶行列式的定义

3、行列式的性质

4、n阶行列式，元素的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理

5、克莱姆法则

（二）基本要求

   1、理解n阶行列式的定义

2、掌握n阶行列式的性质

   3、会用定义判定行列式中项的符号

4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即

5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：

         归化为上三角或下三角行列式，

         各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，

         利用展开式计算

6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论

   会用克莱姆法则解低阶的线性方程组

7、了解个方程个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件

第二章 矩阵

（一）要点

1、矩阵的概念

  矩阵是一个矩阵表。当时，称为阶矩阵，此时由的元素按原来排列的形式构成的阶行列式，称为矩阵的行列式，记为.

注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。

2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法

  （1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。

       如果两矩阵与相乘，有,则称矩阵与可换。

注：矩阵乘积不一定符合交换

  （2）方阵的幂：对于阶矩阵及自然数，

           规定,其中为单位阵 .

       (3) 设多项式函数，为方阵，矩阵的多项式,其中为单位阵。

       （4）阶矩阵和，则.

       （5）阶矩阵，则

4、分块矩阵及其运算

5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵的伴随矩阵记为，

矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。

6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵可逆的又一充分必要条件：可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。

7、矩阵的秩：矩阵的阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩

8、矩阵的等价

（二）要求

1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等

 2、了解几种特殊的矩阵及其性质

3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质

4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵

5、了解分块矩阵及其运算的方法

（1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。

（2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如，，将矩阵分块为

，其中（）是矩阵的第列，

则

又如将阶矩阵分块为，其中（）是矩阵的第列.

  

   （3）设对角分块矩阵

,均为方阵，

可逆的充要条件是均可逆，，且

6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵

7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论

8、若矩阵经过有限次初等变换得到矩阵,则称矩阵和矩阵等价，记为.

  矩阵和等价当且仅当,在等价意义下的标准型：若，则

          ，，为阶单位矩阵。

因此阶矩阵可逆的充要条件为。

第三章 线性方程组

(一)要点

   1、n维向量；向量的线性运算及其有关运算律

      记所有维向量的集合为，中定义了维向量的线性运算，则称为 维向量空间。

    2、向量间的线性关系

      （1）线性组合与线性表示；线性表示的判定

      （2）线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定

3、向量组的等价，向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法

  （1）设有两个向量组

 

 

向量组和可以相互表示，称向量组和等价。向量组的等价具有传递性。

     （2）一个向量组的极大无关组不是惟一的，但其所含向量的个数相同，那么这个相同的个数定义为向量组的秩。

4、矩阵的秩与向量组的秩的关系

5、线性方程组的求解

（1）线性方程组的消元解法

（2）线性方程组解的存在性和唯一性的判定

（3）线性方程组解的结构

（4）齐次线性方程的基础解系与全部解的求法

（5）非齐次方程组解的求法

（二）要求

1、理解n维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律

2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念

3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理

4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法

5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法

6、会用消元法解线性方程组

7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法

8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法

9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法

第四章  矩阵的特征值与特征向量

（一）要点

   1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质

    2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件

    3、实对称矩阵的特征值和特征向量

    向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化

（二）要求

    1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质

    2、掌握特征值与特征向量的求法

    3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质

    4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法

    5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。