线性代数知识点总结
第一章 行列式
(一)要点
1、二阶、三阶行列式
2、全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n阶行列式的定义
3、行列式的性质
4、n阶行列式,元素的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理
5、克莱姆法则
(二)基本要求
1、理解n阶行列式的定义
2、掌握n阶行列式的性质
3、会用定义判定行列式中项的符号
4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即
5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法:
归化为上三角或下三角行列式,
各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式,
利用展开式计算
6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论
会用克莱姆法则解低阶的线性方程组
7、了解个方程个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件
第二章 矩阵
(一)要点
1、矩阵的概念
矩阵是一个矩阵表。当时,称为阶矩阵,此时由的元素按原来排列的形式构成的阶行列式,称为矩阵的行列式,记为.
注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。
2、几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵
3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法
(1)矩阵的乘法不满足交换律和消去律,两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。
如果两矩阵与相乘,有,则称矩阵与可换。
注:矩阵乘积不一定符合交换
(2)方阵的幂:对于阶矩阵及自然数,
规定,其中为单位阵 .
(3) 设多项式函数,为方阵,矩阵的多项式,其中为单位阵。
(4)阶矩阵和,则.
(5)阶矩阵,则
4、分块矩阵及其运算
5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵可逆,则其逆矩阵是唯一的);矩阵的伴随矩阵记为,
矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。
6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价意义下的标准形;矩阵可逆的又一充分必要条件:可以表示成一些初等矩阵的乘积;用初等变换求逆矩阵。
7、矩阵的秩:矩阵的阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩
8、矩阵的等价
(二)要求
1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等
2、了解几种特殊的矩阵及其性质
3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质
4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵
5、了解分块矩阵及其运算的方法
(1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。
(2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如,,将矩阵分块为
,其中()是矩阵的第列,
则
又如将阶矩阵分块为,其中()是矩阵的第列.
(3)设对角分块矩阵
,均为方阵,
可逆的充要条件是均可逆,,且
6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论;掌握矩阵的初等变换;化矩阵为行最简形;会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵
7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论
8、若矩阵经过有限次初等变换得到矩阵,则称矩阵和矩阵等价,记为.
矩阵和等价当且仅当,在等价意义下的标准型:若,则
,,为阶单位矩阵。
因此阶矩阵可逆的充要条件为。
第三章 线性方程组
(一)要点
1、n维向量;向量的线性运算及其有关运算律
记所有维向量的集合为,中定义了维向量的线性运算,则称为 维向量空间。
2、向量间的线性关系
(1)线性组合与线性表示;线性表示的判定
(2)线性相关与线性无关;向量组的线性相关与无关的判定
3、向量组的等价,向量组的秩;向量组的极大无关组及其求法;向量组的秩及其求法
(1)设有两个向量组
向量组和可以相互表示,称向量组和等价。向量组的等价具有传递性。
(2)一个向量组的极大无关组不是惟一的,但其所含向量的个数相同,那么这个相同的个数定义为向量组的秩。
4、矩阵的秩与向量组的秩的关系
5、线性方程组的求解
(1)线性方程组的消元解法
(2)线性方程组解的存在性和唯一性的判定
(3)线性方程组解的结构
(4)齐次线性方程的基础解系与全部解的求法
(5)非齐次方程组解的求法
(二)要求
1、理解n维向量的概念;掌握向量的线性运算及有关的运算律
2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念
3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理
4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念;及极大无关组、向量组秩的求法
5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法
6、会用消元法解线性方程组
7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法
8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法
9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系;掌握非齐次方程组的求解方法
第四章 矩阵的特征值与特征向量
(一)要点
1、矩阵的特征值与特征向量的定义;特征方程、特征值与特征向量的求法与性质
2、相似矩阵的定义、性质;矩阵可对角化的条件
3、实对称矩阵的特征值和特征向量
向量内积的定义及其性质;正交向量组;施密特正交化方法;正交矩阵;实对称矩阵的特征值与特征向量的性质;实对称矩阵的对角化
(二)要求
1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质
2、掌握特征值与特征向量的求法
3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质
4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法
5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。
第二篇:线性代数知识点总结
线性代数知识点总结
第一章 行列式
(一)要点
1、二阶、三阶行列式
2、全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n阶行列式的定义
3、行列式的性质
4、n阶行列式,元素的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理
5、克莱姆法则
(二)基本要求
1、理解n阶行列式的定义
2、掌握n阶行列式的性质
3、会用定义判定行列式中项的符号
4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即
5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法:
归化为上三角或下三角行列式,
各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式,
利用展开式计算
6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论
会用克莱姆法则解低阶的线性方程组
7、了解个方程个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件
第二章 矩阵
(一)要点
1、矩阵的概念
矩阵是一个矩阵表。当时,称为阶矩阵,此时由的元素按原来排列的形式构成的阶行列式,称为矩阵的行列式,记为.
注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。
2、几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵
3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法
(1)矩阵的乘法不满足交换律和消去律,两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。
如果两矩阵与相乘,有,则称矩阵与可换。
注:矩阵乘积不一定符合交换
(2)方阵的幂:对于阶矩阵及自然数,
规定,其中为单位阵 .
(3) 设多项式函数,为方阵,矩阵的多项式,其中为单位阵。
(4)阶矩阵和,则.
(5)阶矩阵,则
4、分块矩阵及其运算
5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵可逆,则其逆矩阵是唯一的);矩阵的伴随矩阵记为,
矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。
6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价意义下的标准形;矩阵可逆的又一充分必要条件:可以表示成一些初等矩阵的乘积;用初等变换求逆矩阵。
7、矩阵的秩:矩阵的阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩
8、矩阵的等价
(二)要求
1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等
2、了解几种特殊的矩阵及其性质
3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质
4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵
5、了解分块矩阵及其运算的方法
(1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。
(2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如,,将矩阵分块为
,其中()是矩阵的第列,
则
又如将阶矩阵分块为,其中()是矩阵的第列.
(3)设对角分块矩阵
,均为方阵,
可逆的充要条件是均可逆,,且
6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论;掌握矩阵的初等变换;化矩阵为行最简形;会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵
7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论
8、若矩阵经过有限次初等变换得到矩阵,则称矩阵和矩阵等价,记为.
矩阵和等价当且仅当,在等价意义下的标准型:若,则
,,为阶单位矩阵。
因此阶矩阵可逆的充要条件为。
第三章 线性方程组
(一)要点
1、n维向量;向量的线性运算及其有关运算律
记所有维向量的集合为,中定义了维向量的线性运算,则称为 维向量空间。
2、向量间的线性关系
(1)线性组合与线性表示;线性表示的判定
(2)线性相关与线性无关;向量组的线性相关与无关的判定
3、向量组的等价,向量组的秩;向量组的极大无关组及其求法;向量组的秩及其求法
(1)设有两个向量组
向量组和可以相互表示,称向量组和等价。向量组的等价具有传递性。
(2)一个向量组的极大无关组不是惟一的,但其所含向量的个数相同,那么这个相同的个数定义为向量组的秩。
4、矩阵的秩与向量组的秩的关系
5、线性方程组的求解
(1)线性方程组的消元解法
(2)线性方程组解的存在性和唯一性的判定
(3)线性方程组解的结构
(4)齐次线性方程的基础解系与全部解的求法
(5)非齐次方程组解的求法
(二)要求
1、理解n维向量的概念;掌握向量的线性运算及有关的运算律
2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念
3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理
4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念;及极大无关组、向量组秩的求法
5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法
6、会用消元法解线性方程组
7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法
8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法
9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系;掌握非齐次方程组的求解方法
第四章 矩阵的特征值与特征向量
(一)要点
1、矩阵的特征值与特征向量的定义;特征方程、特征值与特征向量的求法与性质
2、相似矩阵的定义、性质;矩阵可对角化的条件
3、实对称矩阵的特征值和特征向量
向量内积的定义及其性质;正交向量组;施密特正交化方法;正交矩阵;实对称矩阵的特征值与特征向量的性质;实对称矩阵的对角化
(二)要求
1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质
2、掌握特征值与特征向量的求法
3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质
4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法
5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。
第五章 二次型
(一)要点
1、二次型与对称矩阵:
二次型的定义;二次型与对称矩阵的对应关系
2、二次型与对称矩阵的标准形
配方法;初等变换法;正交变换法;合同矩阵;二次型及对称矩阵的标准形与规范形
3、二次型与对称矩阵的有定性
二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定
(二)要求
1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法。
2、会用三种非退化线性替换:即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型
3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义,会判定二次型的正定性。