第一章 行列式
线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。
本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n阶行列式。理解和掌握克拉默（Cramer）法则。
本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。
§ 1 二阶、三阶行列式
一、内容提要
1．二阶行列式的定义
其中
称为行列式的元素，的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j列。
二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：
=
其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。
2．三阶行列式的定义
三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：
其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。
二、例题分析
例1 求解二元线性方程组
解： 由于系数行列式 
， 
所以方程组有唯一解为： 
， 
。
例2 计算行列式 
解 
例3 计算行列式
；
； 
； 
解： 由对角线法则有： 
；
；
；
特别地: 
； 
三、小结
对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。
由例3得结论：
（1）上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积。
（2）对角行列式等于主对角线上元素的乘积。
§ 2 全排列及其逆序数
一、内容提要
排列 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n个元素的全排列，简称排列.
n个不同元素的所有排列的种数，通常用
表示.
。
逆序 在一个排列
中，若
，则称这两个数组成一个逆序.
逆序数 排列
中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为
。
排列中，考虑元素
，如果比
大的且排在前面的元素有
个，则称元素的逆序数是。记为
。
奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列。
偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
特别地，标准排列1，2，···，n的逆序数
。
规定，标准排列是偶排列。
二、例题分析
排列中，考虑比大，且排在前面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即
（
前面比大的数的个数）+（
前面比大的数的个数）+ ···
··· + （
前面比大的数的个数）
；
同样，考虑比
小，且排在后面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即
（后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+ ···
··· + （
后面比小的数的个数）。
例4 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）5 3 2 1 4； （2）n (n–1) ···2 1； （3）(2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ··· ( k+1) k。
解：（1）5 3 2 1 4
，
，
，
，
。
因此，
。此排列为奇排列。
（2）n (n–1) ···2 1
，
，
，···，
，
，
。
因此，
。
当
时，排列为偶排列；
当
时，排列为奇排列。
（3）(2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ··· ( k+1) k
， 
， 
，
， 
，
······， ······，
， 
， 
。
因此，
。
当k为偶数时，排列为偶排列；
当k为奇数时，排列为奇排列。
例5 设的逆序数为k，问排列
的逆序数是多少？
解：若在排列中，后面比小的数共有
个
，则在排列中，前面的数共有
个，前面比大的数共有
个。由已知有
。
所以排列的逆序数为
。
三、小结
求排列
的逆序数的方法：
（1）（前面比大的数的个数）+（前面比大的数的个数）+ ···
··· + （前面比大的数的个数）
；
（2）（后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+ ···
··· + （后面比小的数的个数）。
§ 3 n阶行列式的定义
一、内容提要
由n2个元素
组成的记号
称为n阶行列式。其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中的n个元素的行标排成标准排列后，若对应的列标构成的排列为偶数，则取正号；若对应的列标构成的排列为奇数，则取负号，即
。
行列式简记为
。
一阶行列式为
。
n阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，
二、例题分析
例6 判别
和
是否为六阶行列式中的项。
分析：判别是否为n阶行列式中的项，要考虑：
（1）n个元素是否位于不同行，不同列；
（2）确定其符号。
解：不是六阶行列式中的项。
这是因为，
与
都位于第6列。
是六阶行列式中的项。
首先，中的6个元素位于不同行，不同列；再有，
。
确定其符号：
，因此，应带负号。
N阶行列式的展开式是n!项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积。因此，对于含零元素较多的行列式，可直接用定义计算。但对于一般性的行列式，常用后面将要学到的性质与定理进行简化计算。
对于含零元素较多的行列式，用定义计算时，只需求出所有非零项，并进行代数和即可。
例7 计算行列式 
。
解：这是一个4阶行列式。其展开式中项的一般形式为
。
若
，则
，从而
。所以，只有
才可能不为零。
同理，要使
，必须
，
，
。
即行列式的展开式中不为零的项仅为
。因此，
。
例8 计算行列式
。
解：这是一个1998阶行列式。
显然，在所有取自不同行不同列的1998个元素乘积
中，只有
因此，
。
例9 利用行列式定义，证明
。
证：由行列式定义知其值是n!项的代数和，每项是不同行不同列的n个元素的积。上述行列式中，除主对角元素乘积一项是奇数1外，其余各项（共n! -1项）的每项中至少有一个2，故均是偶数。n! –1个偶数之代数和仍是偶数。再和1相加，不可能是零。因此
。
三、小结
1．行列式的实质是一种特定的算式，计算结果是一个数；
2．n阶行列式的展开式是n!项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积；
3．
项前面的符号为
；
4．对角线法则不适用于四阶及四阶以上的行列式展开式；
5．几个常用行列式结果：
（1）
，
（2）
，
（3）
。
§ 4 对 换
一、内容提要
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
定理1 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
定理2 n 阶行列式也可定义为
。
二、小结
行列式的两种定义，
。
行列式更一般的定义为
。
其中 
。
§ 5 行列式的性质
一、内容提要
1．性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即
。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
以
表示行列式的第i行，以
表示第i列。
互换第i行与第j行，记作
；互换第i列与第j列，记作
。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式。
即 
，
或 
。
第i行乘以k，记作
；第i列乘以k，记作
。
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
第i行提出公因子k，记作
；第i列提出公因子k，记作
。
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质5 如果行列式的某一列（行）元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：
，
则D等于下列两个行列式之和
。
如果第i行的元素都是两数之和：
，
则D等于下列两个行列式之和
。
性质6 把行列式的某一列（行）各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
例如，以数k乘第i列加到第j列（记作
）有
以数k乘第i行加到第j行（记作
）有
。
2．常用结论：
如果 
， 
， 
。
则，
常记为 
。
二、例题分析
例10 计算上三角行列式（主对角线以下元素全为0）
解： 利用性质1，得
。
例11 计算 
。
解 
。
（第二、三行元素成比例）
例12 计算 
。
解：由性质5有 
右边第一个行列式中，第一列乘
加到第2、3列；在第二个行列式的第一列中提出
得
。
例13 计算 
。
分析：首先，利用性质将行列式化为
型，再利用
求出结果。
解：
。
三、小结
（1）行列式的六个性质、两个推论是计算行列式的理论保证，要尽快熟练掌握它们。
（2）。
§ 6行列式按行（列）展开
一、内容提要
在n阶行列式中，划去所在的第i行和第j列的元素，剩余的元素按原有次序构成的
阶行列式，称为元素的余子式，记为
。
称为
的代数余子式。
定理3 n 阶行列式
等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 
；
或 
。
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于
零。即 
，
或 
。
综合定理及推论，有展开式
或 
其中 
二、例题分析
在实际计算时，直接用定理展开行列式，通常并不能减少计算量，除非行列式中某一行（列）含有较多的0元素。因此，在具体计算时，我们总是先运用行列式的性质，将某一行（列）元素尽可能多地化为0，然后再利用定理，按该行（列）展开。
例14 计算行列式
。
解：
.
下面通过例题介绍利用性质、定理计算行列式的几种常用方法。
1．化为上三角行列式法
利用性质，把行列式化为上三角行列式，是计算行列式的基本方法。
例15 计算行列式
解： 
在化为上三角行列式时，要从第一列开始，一列一列进行。在化第i列时，利用性质2选择好
，以便化
（
）为0时，尽量避免出现分数，减少计算量。
例16 计算 
解： 
= 4
观察行列式，抓住其特点，是快速准确计算行列式的第一保证。
例17 计算 
分析： 这个行列式有一个特点，各列4个数之和都是6。因此，把第2、3、4行都加到第一行，提出公因子6，然后再化简：
解：
= 48。
例18 计算 
，其中
。
解：从第1行到第n行，依次提出公因子
，得
。
2．拆分法
根据行列式的特点，利用性质5将行列式进行拆分计算。
例19 证明：
。
证：左边
.
例20计算行列式 
。
解：按第1列拆分，
。
3．递推公式法
有时，根据行列式的特点，得到递推公式，计算出行列式。
例21 计算 
解： 按第一列展开，得
将右端第二项的行列式按第一行展开，得
即 
由此递推得
于是 
从而 
4．数学归纳法
数学归纳法也是计算行列式的常用方法。
例22 证明行列式
。
证：对阶数n使用数学归纳法。
当
时，
，故结论成立。
假设结论对
的自然数都成立，下面要证对n也成立。为此将
按第1列展开，得
上式右端的第1个行列式为
，而第2个行列式按第1行展开其值为
，所以有
。
计算行列式要充分利用已知结果。
例23 计算行列式
解：从第
行开始，第行经过
次相邻对换，换到第1行，第行经
次对换换到第2行…，经
次行交换，得
此行列式为范德蒙德行列式
计算行列式，还应多进行一题多解。
例24证明：
。
解法1：用数学归纳法证明
假设对于阶行列式命题成立.
即 
所以，对于阶行列式命题成立.
解法2：用递推法。
将按第1列展开，得
由此得递推公式： 
。于是，
。
解法3：
.
解法4：将行列式按第n行展开也可以，读者自己试一试。
三、小结
行列式的计算方法灵活多样，技巧性强，前面所举例子的解法只是众多方法中的几种。读者可以想象并总结出另一些方法和技巧进行计算，并比较各种作法的繁简，逐步提高计算能力。
*补充 拉普拉斯（Laplace）定理
§6中的按行（列）展开定理只是把行列式按某一行（列）展开，下面再把它推广到按k行（k列）展开。首先应把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义 在n阶行列式中，任取k行
与k列
，将这些行与列相交处的元素按原来相对位置构成的k阶行列式
,
称为该行列式的一个k阶子式，记为N。划去这些行和列后所剩下的元素依原次序构成的一个
阶子式，称为N的余子式，记为M。称
为N的代数余子式。
例如，对四阶行列式 
取第2、第3行与第2、第4列，得到一个二阶子式 
。
N的余子式为
。
N的代数余子式为
。
一般在n阶行列式中取定k行，就有
个k阶子式。
定理（Laplace定理）在n阶行列式D中，任取k行（列），则由这k行（列）元素所有的k阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于行列式D。
设取定的k行的所有子式为N1，N2，…，Nt，其所对应的代数余子式分别为A1，A2，…，At
，则
例1 用拉普拉斯定理计算
解： 选取第1、2行，只有3个非零二阶子式
， 
， 
，
其对应的代数余子式为
， 
，
。
故 
。
例2 计算2n阶行列式
解： 选取第n，n+1行应用拉普拉斯定理，只有一个非零二阶子式
，
其代数余子式为
故 
利用这个递推公式及 
，得
。
§ 7克拉默法则
一、内容提要
克拉默法则 如果n元线性方程组
（*)
的系数行列式不等于零，即
则方程组（*）有唯一解，且其解为
，
，…，
其中
是把
的第j列各元素依次换成方程组的常数项所得到的n阶行列式，即
， ( j=1, 2 , … , n )
定理4 如果n元线性方程组（*）的系数行列式
，则方程组（*）一定有解，且解是唯一的。
定理4ˊ如果n元线性方程组（*）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
定理5 如果齐次线性方程组
（**）
的系数行列式，则齐次方程组（**）只有零解。
定理5ˊ如果齐次线性方程组（**）有非零解，则它的系数行列式必为零。
二、例题分析
例25 求下列线性方程组的解
解：该方程组的系数行列式为范德蒙德行列式
。
方程组有唯一解。容易看出，
也是范德蒙德行列式：
；
；
；
。
故方程组的解为
，
，
，
。
例26 讨论
为何值时，齐次线性方程组有唯一零解。
解：方程组的系数行列式
由此可知，当
且
时，D≠0。此时，方程组有唯一零解。
例27 给定平面上三个点（1，1），（2，–1），（3，1），求过这三个点且对称轴与Y轴平行的抛物线方程。
解： 因为抛物线的对称轴与Y轴平行，因此可设所求抛物线方程为 
，
于是有
这是以
为未知量的三元线性方程组，其系数行列式
最右边的行列式是范德蒙德行列式，所以
所以方程组有唯一解。
易得 
，
，
。
故 
，
，
即所求抛物线方程为 
。
三、小结
克拉默法则是线性方程组理论的一个很重要结果，它不仅给出了方程组（*）有唯一解的条件，并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系，在后面的讨论中，还会看到它在更一般的线性方程组的研究中也起着重要的作用。
克拉默法则求解线性方程组必须满足如下两个条件：
（1）方程组中方程的个数与未知量的个数相同；
（2）方程组的系数行列式
。
习题一
(A组)
1．利用对角线法则计算下列行列式：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
2．用行列式解下列方程组：
（1）
， （2）
。
3．求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）2 1 7 9 8 6 3 5 4 ； （2）2 4 6 ··· 2 n (2n –1) (2n –3) ··· 3 1 。
4．在6阶行列式中，
，
这两项应带什么符号？
5．计算下列行列式
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
；
（5）
； （6）
。
6．用克莱姆法则解下列方程组：
（1）
； （2）
。
（B组）
7．填空题：
（1）如果n阶行列式中，负项的个数为偶数，则n
。
（2）如果n阶行列式中等于零的元素个数大于
，那么，此行列式的值为 。
（3）设
，则
。
（4）设
，则
。
（5）设
，则
。
（6）设
，则
。
8．计算下列行列式：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
；
（5）
。