第三章 向量
一． n维向量的定义：数域F中n个数构成的有序数组。
二． n维向量的运算：向量加法，数乘
三． 线性组合与线性表出
四． 线性相关与线性无关
重要结论与定理：
1) 单个向量线性无关。
2) 包含零向量的向量组一定线性相关。（证明）
3) 一个向量组线性相关,则加上任意多个(有限个)向量后，新向量组仍线性相关。(局部相关,整体相关)（证明）
4) 若一个向量组线性无关,取出其中任一部分也必定线性无关。(整体无关，局部无关)
5) 任意n+1个n维向量，必定线性相关。（齐次线性方程组方程个数小于未知量个数时，有非零解）
6) 一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量，得到的新向量组（称为原向量组的加长组）仍线性无关。（无关组加长组仍无关）
7) 一个向量组是线性相关，在相同位置去掉分量，得到新的向量组（称为原向量组的缩短组）仍线性相关。（相关组缩短组相关）
8) 若
线性无关，而
线性相关，则
必可由线性表出，且表示方法唯一。（证明）
9) 向量组Ⅰ
，向量组Ⅱ
，Ⅱ中每一个向量都可由Ⅰ表出，
则向量组Ⅱ一定线性相关。（个数多的可由少的线性表出，多的一定线性相关）
10) 若向量组
可由线性表出，且线性无关，则。（无关的向量组不能由比它个数少的向量组线性表出）
五．向量组的极大无关组与向量组的秩
1 极大无关组的定义
2 极大无关组的性质
1) 一个向量组与它的任一个极大无关组之间可以互相线性表出。
2）一个向量组S的任意两个极大无关组S1，S2之间也可互相线性一表出。（S1，S2等价）
3）一个向量组任意两个极大无关组所含向量个数必一样多。
相关例题
例3.1设是一组n维向量，则下列正确的是（ ）
A． 若不线性相关，就一定线性无关。
B． 如果存在
个全为零的数
，使
，则线性无关。
C． 若向量组线性相关，则
可由
线性表示。
D． 向量组线性无关的充要条件是不能由其余n-1个向量线性表出。
例3.2 n维向量组（
）线性无关的充分必要条件是: ( )
A．存在不全为零的数，使
B． 中任意两个向量都线性无关
C． 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
D．中任意一个向量都不能用其余向量线性表出
例3.3向量组线性相关的充要条件是: ( )
A. 中有一零向量
B. 中任意两个向量的分量成比例
C. 中有一个向量是其余向量的线性线合
D. 中任意一个向量都是其余向量的线性组合
例3.4 n维向量组线性无关的充分条件是: ( )
A. 均不是零向量
B. 中任意两个向量的分量不成比例
C. 向量的个数
D. 某向量可以由线性表示,且表示式唯一
例3.5 已知向量组
线性无关,则向量组: ( )
A. 
,
,
,
线性无关
B. 
,
,
,
线性无关
A. ,,,线性无关
B. ,,,线性无关
例3.6 设有任意两个n维向量组
和
,若存在两组不全为零的数
和
,使
,则( )
A. 和都线性相关
B. 和都线性无关
C. 
线性无关
D. 线性相关
例3.7 若向量组
线性无关, 
线性相关,则下列结论正确的是( )
A. 
必可由
线性表出 B. 必不能由
线性表出
C. 
必可由线性表出 D. 必不能由线性表出
例3.8 设向量可由向量组线性表出,但不能由向量组Ⅰ
线性表出,记向量组Ⅱ 
,则( )
A. 
不能由(Ⅰ)线性表出,也不能由(Ⅱ)线性表出
B. 不可由(Ⅰ)线性表出,但可由(Ⅱ)线性表出
C. 可由(Ⅰ)线性表出,也可由(Ⅱ)线性表出
D. 可由(Ⅰ)线性表出,但不能由(Ⅱ)不线性表出
例3.9 设n维向量组Ⅰ: (
)线性无关,则n维列向量组Ⅱ：线性无关的充分必要条件为( )
A.向量组可由向量组线性表出
B.向量组可由向量组线笥表
C.向量组与向量线等价
D.矩阵
与矩阵
等价
例3.10 设向量组
线性无关,向量
可由线性表出,而向量
不能由线性表出,则对于任意常数
,必有( )
A. 
线性无关
B. 线性相关
C. 
线性无关
D. 线性相关
例 3.11 设向量组线性相关, 
线性无关,问(1) 能否由
线性表出 (2) 
能否由线性表出?
例 3.12 设
, 
, 
,
问是否可表示成, , 
的线性组合.
例3.13 已知
,
,
,问(1)a, b取何值时，不能由线性表出
（2）a, b取何值时，能由线性表出
例3.14 设三阶矩阵
,三维向量
,且
与线性相关,求
例3.15 设
都是n维向量，可由
线性表示，但不能由
线性表示，证明：
可由
线性表示.
例3.16 设线性无关,则
是否线性相关?
例3.17 考虑向量组
, 
, 
, 
, 
(1)求向量组的秩 (2)求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.
例3.18 设
,
为两个n阶矩阵,证明
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