线性代数知识要点总结：（20xx0528完成）
第一章 行列式
1、二阶和三阶行列式的计算----对角线法则
2、逆序与逆序数的计算方法
3、排列的奇偶性的判断
4、对换改变排列的奇偶性
5、n阶行列式的定义----来自不同行不同列元素相乘积的代数和（P7 定义4）注意：某一项符号的决定在组成该项的各因子，行标为自然排列时，由各因子列标排列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。
6、上三角形行列式的计算----由主对角线各个元素相乘积所得（P8 例4）。
7、行列式的5个性质：
（1）转置，行列式的值不变
（2）换行（或列），行列式改变符号
（3）某行（或列）可以提取公因子
（4）某行（或列）若为两元素之和，可以拆为两个行列式之和
（5）某行（或列）的K倍，加到另一行（或列），值不变
8、行列式的元素，余子式，代数余子式的定义以及关系
9、行列式的展开定理：
（1）行列式的某一行（或列）的各个元素分别乘以自己对应的代数余子式，其和就是行列式的值
（2）行列式的某一行（或列）的各个元素分别乘以其他行（或列）对应元素的代数余子式，其和等于零
10、行列式计算的常用方法：
（1）利用行列式的定义
（2）利用行列式的性质（主要是性质5和性质2），化为上三角形行列式
（3）利用行列式的展开定理
（4）实际上，常是先利用行列式的性质5，将某行（或列）化为零元素较多，然后利用行列式的展开定理，对此行（或列）进行展开，达到降阶的目的，从而计算得到结果。可以重复反复使用上述步骤。
11、克莱姆法则：先求出系数行列式D的值，在分别计算出对应于各个未知量的行列式D1，D2，... ，在D不为零的情况下，进行除法运算，从而得到未知量的结果。x1=D1/D, x2=D2/D, ...
第二章 矩阵
1、矩阵的概念（m×n矩阵，行矩阵，列矩阵，单位阵，零矩阵等）
2、矩阵的运算（相等，加，减，数乘矩阵，矩阵相乘，矩阵的转置，方阵的行列式及其有关性质，等）
3、逆矩阵的定义（余子式矩阵，代数余子式矩阵，伴随矩阵等）和有关性质
4、矩阵的初等行变换【三种：换行（或列），某行（或列）提取公因子，某行（或列）的K倍加到另一行（或列）】，初等矩阵（行的三
种初等矩阵和列的三种初等矩阵），行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵等；利用矩阵的初等行变换求逆矩阵，求解矩阵方程（三种：AX?B, XA?B, AXB?C
5、矩阵的秩的定义（K阶子式），利用矩阵的初等行变换确定矩阵的秩
第三章 方程组
1、齐次线性方程组有非零解的判断准则：R(A)?n（方程组只有唯一零解）R(A)?n（方程组有无穷多非零解） 【n?未知量个数】
2、非齐次线性方程组解的判断准则：R(A)?R(B)（方程组有解），R(A)?R(B)（方程组无解）；R(A)?R(B)?n（方程组有唯一解），R(A)?R(B)?n（方程组有无穷多解） 【n?未知量个数】
3、向量间线性关系的判定：线性组合，线性相关与线性无关，线性表示，向量组中的极大线性无关组，向量组中的向量由极大无关组表示等
4、线性方程组的解空间，解向量，基础解系，解的一般表示式等
5、求解齐次线性方程组，求解非齐次线性方程组
（20xx0528）
第二篇：线性代数知识要点总结(36学时)
线性代数知识要点总结：
第一章 行列式
1、二阶和三阶行列式的计算-（P3 例2）。
2、逆序与逆序数的计算方法
3、上三角形行列式的计算----由主对角线各个元素相乘积所得（P16 例4）。
4、行列式的5个性质：（重点掌握）
（1）转置，行列式的值不变
（2）换行（或列），行列式改变符号
（3）某行（或列）可以提取公因子
（4）某行（或列）若为两元素之和，可以拆为两个行列式之和
（5）某行（或列）的K倍，加到另一行（或列），值不变
8、行列式的元素，余子式，代数余子式的定义以及关系
9、行列式的展开定理：
（1）行列式的某一行（或列）的各个元素分别乘以自己对应的代数余子式，其和就是行列式的值
（2）行列式的某一行（或列）的各个元素分别乘以其他行（或列）对应元素的代数余子式，其和等于零
10、行列式计算的常用方法：
（1）利用行列式的定义
（2）利用行列式的性质（主要是性质5和性质2），化为上三角形行列式
（3）利用行列式的展开定理
（4）实际上，常是先利用行列式的性质5，将某行（或列）化为零元素较多，然后利用行列式的展开定理，对此行（或列）进行展开，达到降阶的目的，从而计算得到结果。可以重复反复使用上述步骤。
第二章 矩阵
1、矩阵的概念（m×n矩阵，行矩阵，列矩阵，单位阵，零矩阵等）
2、矩阵的运算（相等，加，减，数乘矩阵，矩阵相乘，矩阵的转置，方阵的行列式及其有关性质，等）（P41 例3）。
3、逆矩阵的定义（P52定义一）。（余子式矩阵，代数余子式矩阵，伴随矩阵（P53 例2）。等）和有关性质（P55 三）。
4、矩阵的初等行变换【三种：换行（或列），某行（或列）提取公因子，某行（或列）的K倍加到另一行（或列）】，初等矩阵（行的三种初等矩阵和列的三种初等矩阵），行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵等；
5、利用矩阵的初等行变换求逆矩阵，（P70 例4）。
6、求解矩阵方程（AX?B）, （P71 例6）。
7、矩阵的秩的定义（K阶子式），利用矩阵的初等行变换确定矩阵的秩
第三章 方程组
1、齐次线性方程组有非零解的判断准则：R(A)?n（方程组只有唯
一零解）R(A)?n（方程组有无穷多非零解） 【n?未知量个数】
2、非齐次线性方程组解的判断准则：R(A)?R(B)（方程组有解），R(A)?R(B)（方程组无解）；R(A)?R(B)?n（方程组有唯一解），R(A)?R(B)?n（方程组有无穷多解） 【n?未知量个数】
3、向量间线性关系判定：线性组合，线性相关与线性无关，（会判断）
4、线性表示，向量组中的极大线性无关组，向量组中的向量由极大无关组表示等（P104 例2）。
5、线性方程组的解空间，解向量，基础解系，解的一般表示式等
6、求解齐次线性方程组，求解非齐次线性方程组. （P121 例5）。
第三篇：线性代数知识点总结
《线性代数》复习提纲
第二部分：基本知识
一、行列式
1．行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；
（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；
2．行列式的计算
一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；
N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法
定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；
（2）行列式值为0的几种情况：
Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；
Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；
Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例；
Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵
1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；
2．矩阵的运算
（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；
（2）关于乘法的几个结论：
①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；
②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；
③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；
④|kA|=kn |A|
3．矩阵的秩
（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；
（2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4．逆矩阵
（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝E，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；
（2）性质： (AB)-1 =(B-1)*(A-1)，(A') -1=(A-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
（3）可逆的条件：
① |A|≠0； ②r(A)=n; ③A->I;
（4）逆的求解
①伴随矩阵法 A-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)
②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A）
5．用逆矩阵求解矩阵方程：
AX=B，则X=（A-1）B；
XB=A，则X=B(A-1；
AXB=C，则X=(A-1)C(B-1) -1
三、线性方程组
1．线性方程组解的判定
定理：
(1) r(A,b)≠r(A) 无解；
(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；
(3)r(A,b)=r(A)<n 有无穷多组解；
特别地：对齐次线性方程组AX=0
(1) r(A)=n 只有零解；
(2) r(A)<n 有非零解；
再特别，若为方阵，
(1)|A|≠0 只有零解
(2)|A|=0 有非零解
（1）解的情况：
r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；
r(A)<n，（或系数行列式D＝0）有无穷多组非零解。
（2）解的结构：
X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
（3）求解的方法和步骤：
①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；
②写出对应同解方程组；
③移项，利用自由未知数表示所有未知数；
④表示出基础解系；
⑤写出通解。
3．非齐次线性方程组
（1）解的情况：
利用判定定理。
（2）解的结构：X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同r(A,b)=r(A)<n 有无穷多组解
（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。
四、向量组
1．N维向量的定义
注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。
2．向量的运算：
（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；
（2）向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；
（3）向量长度 :|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2) (√ 根号)
（4）向量单位化 (1/|α|)α；
（5）向量组的正交化（施密特方法）
设α1，α 2，…，αn线性无关，则
β1=α1，
β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，
β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。
3．线性组合
（1）定义 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，则称β是向量组α1，α 2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。
（2）判别方法 将向量组合成矩阵，记
A＝(α1，α 2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β)
若 r (A)=r (B)，则β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示；
若 r (A)≠r (B)，则β不可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。
（3）求线性表示表达式的方法：
将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。
4．向量组的线性相关性
（1）线性相关与线性无关的定义
设 k1α1+k2α2+…+knαn=0，
若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关；
若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。
（2）判别方法：
① r(α1，α 2，…，αn)<n，线性相关；
r(α1，α 2，…，αn)=n，线性无关。
②若有n个n维向量，可用行列式判别：
n阶行列式〡aij〡＝0，线性相关（≠0无关）
5．极大无关组与向量组的秩
（1）定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩
（2）求法 设A＝(α1，α 2，…，αn)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。
五、矩阵的特征值和特征向量
1．定义 对方阵A，若存在非零向量X和数λ使AX＝λX，则称λ是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
2．特征值和特征向量的求解：
求出特征方程|λE-A|=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λE-A)X＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。
3．重要结论：
（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；
（2）A与”A的转置”矩阵有相同的特征值；
（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。
六、矩阵的相似
1．定义 对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使PAP=B，则称A与B相似。
2．求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P和∧）：
求出所有特征值；
-1
求出所有特征向量；
若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。
3．求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：
方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。
关于秩的一些结论：
1.
2
3
4
5；
6若有、满足，则
7 若是可逆矩阵，则有；同样若可逆则有。 8 非齐次线性方程组
解，若有唯一解则对应齐次方程组仅有零有无穷多解则有非零解；若有两个不同的解则有非零解；
9若是
解，当
矩阵则一定有解，而且当则时是唯一时是无穷多解，而若没有解或有唯一解。