一、有理数的意义

　　1.有理数的分类

　　知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上﹣(读作负)号的数叫负数;如果一个正数表示一个事物的量，那么加上﹣号后这个量就有了完全相反的意义;3， ，5.2也可写作+3，+ ，+5.2;零既不是正数，也不是负数。

　　2.数轴

　　知识点：数轴是数与图形结合的工具;数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线;数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据;数轴的作用：1)形象地表示数(因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数)，2)通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，3)比较有理数的大小：a)右边的数总比左边的数大，b)正数都大于零，c)负数都小于零，d)正数大于一切负数

　　3. 相反数

　　知识点: 只有符号不同的两个数互为相反数;在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边;规定：0的相反数是0。

　　4. 绝对值

　　知识点： 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作∣a∣;绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若a0，则∣a∣=a. 若a=0，则∣a∣=0. 若a0，则∣a∣=﹣a ;绝对值越大的负数反而小;两个点a与b之间的距离为：∣a-b∣。

　　二、有理数的运算

　　1. 有理数的加法

　　知识点：有理数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;2)异号两数相加，①绝对值相等时，和为零(即互为相反数的两个数相加得0);②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;3)一个数和0相加仍得这个数。

　　加法交换律：a+b=b+a; 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)

　　多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们的和为0的特点。

　　2. 有理数的减法

　　知识点：有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a-b=a+(-b)。

　　注意：运算符号+加号、-减号与性质符号+正号、-负号统一与转化，如a-b中的减号也可看成负号，看作a与b的相反数的和：a+(-b);一个数减去0，仍得这个数;0减去一个数，应得这个数的相反数。

　　3. 有理数的加减混合运算

　　知识点：有理数的加减法混合运算可以运用减法法则统一成加法运算;加减法混合运算统一成加法运算以后，可以把+号省略，使算式变得更加简洁。

　　4. 有理数的乘法

　　知识点：乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;任何数和0相乘都得0。

　　几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定;当负因数有奇数个时，积为负;当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。

　　乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：abc=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+bc

　　5. 有理数的除法

　　知识点：除法法则1：除以一个数等于乘上这数的倒数，即ab= =a (b0即0不能做除数)。

　　除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数都得0。

　　倒数：乘积是1的两数互为倒数，即a =1(a0)，0没有倒数。

　　注意：倒数与相反数的区别

　　6. 有理数的乘方

　　知识点：乘方：求n个相同因数的积的运算。乘方的结果叫幂，an中，a叫做底数，n叫做指数。

　　乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数;0的任何次幂都为0。

　　7. 有理数的混合运算

　　知识点：运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，遇到有括号，先算小括号，再中括号，最后大括号，有多层括号时，从里向外依次进行。

　　技巧：先观察算式的结构，策划好运算顺序，灵活进行运算。

　　【巩固练习1】一.选择题

　　1. 关于数0，以下各种说法中，错误的是 ( )

　　A. 0是整数 B. 0是偶数 C. 0是自然数 D. 0既不是正数也不是负数

　　2. 3.782： ( )

　　A. 是负数，不是分数 B. 不是分数，是有理数 C. 是分数，不是有理数 D. 是分数，也是负数

　　二、将下列各数填入相应的集合中。 ，-1，12，0，-3.01，0.62，-15，- ，180，-42，-45%，，1。

　　整数：______________________ 自然数：___________________________

　　正数：______________________ 负数： ___________________________

　　偶数：______________________ 奇数： ___________________________

　　分数：______________________ 非负数：___________________________

　　非负整数： _________________ 非正分数：_________________________

　　非负有理数：________________ 有理数： __________________________

　　三、 填空题

　　1、一个数的绝对值是 6 ，这个数是 。 2、绝对值小于3的整数有 个。

　　3、 的相反数的倒数是 。 4、计算： 。

　　5、如果 ，那么 a= 。 6、如果规定上升8米记作8米，那么-7米表示 ______________。

　　7、最小的正整数是____，最大的负整数是_____，绝对值最小的有理数是_______

　　8、 河道中的水位比正常水位低0.2m记作-0.2m，那么比正常水位高0.1m记作________。

　　9、一潜艇所在深度是-80米,一条鲨鱼在艇上30m处,鲨鱼所在的深度是________。

　　【巩固练习2】一.填空题

　　1. 数轴上与表示﹣2点相距3个单位的点所表示的数是________。

　　2. 数轴表示+3和﹣3的点离开原点的距离是______个单位，这两个点的位置分别在_______点右边和左边。

　　3. 在有理数中最大的负整数是________, 最小的正整数是________, 最大的非正数是________, 最小的非负数是________.

　　4. 用或号填空：

　　1)3.5 ____ 0 ; 2) ﹣2.8 ____ 0 ; 3) ﹣1.95 ____ 1.59 ; 4) ____ ;

　　5) ____ ﹣0.3 ; 6) ﹣0.67 ____ ; 7) ____ ;

　　8) ﹣ ____ ﹣3.14 ; 9) ﹣1.6 ____ ﹣1.6 ; 10) ﹣( ) ____ ﹣(﹣∣ ∣) .

　　【巩固练习3】一.填空题

　　1. 如果一个数的相反数是它本身, 则这个数是________.

　　2. 如果一个数的相反数是最小的正整数, 则这个数是________.

　　3. 若 , 则a与b________; 若 , 则a与b________; 若a+b=0, 则a与b________.

　　4. 在数轴上与-3距离4个单位的点表示的数是

　　5.写出大于-4且小于3的所有整数为______________;

　　二、 求下列各数的相反数

　　0.26 ; ;﹣a ;﹣x+1 ; m+1 ;2xy ;a-b 。

　　三、 在数轴上表示出下列各数的相反数的点，并比较大小。

　　，4，﹣1.5， ，0，1，8，﹣2，﹣(﹣4.5)，∣ ∣

　　【巩固练习4】一.选择题

　　1. ﹣∣﹣3∣是 ( ) A. 正数 B. 负数 C. 正数或0 D. 负数或0

　　2. 绝对值最小的整数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 1和-1

　　二、填空题 1.若a= , 则∣a∣=________; 若∣a∣=3, 则a=________.

　　2.﹣∣﹣ ∣=______; ∣﹣ ∣-∣﹣ ∣=______; ∣﹣0.77∣∣+ ∣=_______;

　　3.绝对值小于4的负整数有 个，正整数有 个，整数有 个

　　三、解答题

　　1. 已知∣x+y+3∣=0，求∣x+y∣的值。

　　2. 已知 A，B是数轴上两点，A点表示﹣1，B点表示3.5，求A，B两点间的距离。

　　3. 已知：∣a+2∣+∣b-3∣=0，求2a2-b+1的值。

　　【巩固练习5】计算：1) ﹣ - + -( ); 2) 1-2+3-4+5-6++99-100;

　　3) ﹣(﹣8)-∣﹣6∣-∣+8∣-(+7); 4) 。

　　【巩固练习6】计算：1)( ) 2) 3)

　　4)( ) 5) ( ) ; 6) (-5);

　　【巩固练习7】1.计算：(-5)3; -53; ; ;(-1)2001; 3。

　　2. 若∣x+1∣+(2x-y+4)2= 0 ，求代数式x5y+xy5的值。

　　【巩固练习8】计算：(1)3 ; (2) (3) (4)

　　(5) (6) (7) (8)

　　(9) (10)32-∣(-5)3∣ -18∣-(-3)2∣;

　　(11) -3- -6∣ ∣3; (12)(-1)5[ (-4)+ (-0.4)]

　　(13)如果 ，求 的值.

　　一、 选择题(10小题，每小题3分，共30分，答案填入表格中)

　　1. 在下列各数中，-3.8，+5，0，- 1 2 ， 3 5 ，-4，中，属于负数的个数为( )

　　A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

　　2. 计算：-6+4的结果是( )

　　A.2 B.10 C.-2 D.-10

　　3. 一个数的倒数等于它本身的数是( )

　　A.1 B. C.1 D.0

　　4. 下列判断错误的是( )

　　A.任何数的绝对值一定是非负数; B.一个负数的绝对值一定是正数;

　　C.一个正数的绝对值一定是正数; D.一个数不是正数就是负数;

　　5. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示则下列结论正确的是( )

　　A.a0c B.bac

　　C.b

　　6.两个有理数的和是正数，积是负数，则这两个有理数( )

　　A.都是正数; B.都是负数;

　　C.一正一负，且正数的绝对值较大; D.一正一负，且负数的绝对值较大。

　　7.若│a│=8，│b│=5，且a + b0，那么a-b的值是( )

　　A.3或13 B.13或-13 C.3或-3 D.-3或-13

　　8. 大于-1999而小于2000的所有整数的和是( )

　　A.-1999 B.-1998 C.1999 D.2000

　　9. 当n为正整数时， 的值是( )

　　A.0 B.2 C. D.2或

　　10. 补充下列表格：

　　31 32 33 34 35 36 37

　　3 9 27 81 243

　　根据表格中个位数的规律可知，325的个位数是( )

　　A.1 B.3 C.7 D.9

　　二、填空题(8小题，每小题2分，共16分)

　　11. 的相反数是 .

　　12.若水位上升20cm记作+20cm，则-15cm表示__________________.

　　13.4个-3相乘写成乘方的形式是__________________.

　　14.比较大小： .

　　15. 在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是 .

　　16. 用偶数或奇数填：当 为_________时，

　　17. 一根2米长的小棒，小明第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，

　　第五次后剩下的长度为______米.

　　18. 观察下列图形：

　　它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有 个.

　　三、解答题(6小题，每小题5分，共30分)

　　19. (+4.3) -(-4) + (-2.3) -(+4) 20. (-48)6- (-4)

　　21. (- + - )(-12) 22. 16(-2)3-(- )(-4)2

　　23. (用简便方法) 24. - -[-5 + (0.2 -1)(-1 )]

　　25. 若│a│=2，b=-3，c是最大的负整数，求a + b-c的值.(6分)

　　26.某牛奶厂在一条南北走向的大街上设有O，A，B，C四家特约经销店. A店位于O店的南面3千米

　　处;B店位于O店的北面1千米处，C店在O店的北面2千米处.

　　(1)请以O为原点，向北的方向为正方向，1个单位长度表示1千米，画一条数轴.

　　在数轴上分别表示出O，A，B，C的位置吗?(4分)

　　(2)牛奶厂的送货车从O店出发，要把一车牛奶分别送到A，B，C三家经销店，最后回到O店，

　　那么走的最短路程是多少千米?(4分)

　　27.股民小杨上星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：

　　星期 一 二 三 四 五

　　每股涨跌 +2.20 +1.42 -0.80 -2.52 +1.30

　　(1)星期三收盘时，该股票涨或跌了多少元?(4分)

　　(2)本周内该股票的最高价是每股多少元?最底价是每股多少元?(2分)

　　(3)已知小杨买进股票时付了1.5的手续费,卖出时还需要付成交额的1.5的手续费和1的交易税，

　　如果小杨在星期五收盘前将全部股票卖出,则他的收益情况如何? (4分)

　　一、知识点回顾

　　1、掌握有理数的概念和分类。

　　2、知道有理数与数轴上的点的关系。掌握数轴的定义，会用数轴上的点表示有理数，理解有理数的有序性，会比较两个有理数的大小。

　　3、利用数轴理解数的绝对值和一对相反数的意义。

　　4、掌握有理数的运算法则。

　　5、有理数的乘方。了解底数、指数、幂等概念。

　　6、掌握有理数的运算律。

　　7、熟练进行有理数的混合运算。运算时可合理运用运算律，使运算简便。

　　8、掌握科学计数法。

　　二、典型例题分析

　　1、计算

　　（1）、 （2）、（- 2 ）+ 1 + 1 + (- 5 )

　　（3）、-150（- ）-250.125+50（- ） （4）、（+3 ）（3 -7 ） （5）、3 （- ）-（- ）2 - （- ）

　　（6）- ( + - )

　　（7）、{1+[ -（- ）](-2)}(- - -0.05)

　　（8）、

　　（9）、

　　（10）、

　　（11）、已知|x|= ,|y|= ,且xy0,求代数式5x+7y-9的值。

　　（12）、

　　（13）、

　　（14）、已知 的值。

　　2、实数 在数轴上的位置如图,化简:

　　3、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求 的值；

　　4、已知有理数a、b、c满足 + + = -1 求 的值。

　　5、用计算器计算下列各式，并将结果填写在横线上。

　　①1715873=

　　②2715873=

　　③3715873=

　　④4715873=

　　⑴你发现了什么规律？把你发现的规律用简练的语言写出来；

　　⑵不用计算器，请你直接写出9715873的结果。

　　6、任意写出一个数3的倍数，把它的各个数位上数字分别立方，再把这些立方数相加，得到一个新的数；接着，把这个新得到的数的各个数位上的数字分别立方，再把这些立方数相加，又得到一个新的数；，如此重复做下去，你发现了什么规律？请借助计算器进行探索。

　　7、欢欢在一家玩具厂里测量了20个底座是圆形玩具的底座直径，测得直径如下（单位 mm）：25、 25、 24、 24、 23、 24、 24、 25、 26、 25、 23、 23、 24、 25、 25、 24、 24、 26、 26、 25。 试计算这20个玩具的直径总和以及平均直径。你能找出比较简单的计算方法吗？如果请叙述你的方法。

　　9、一口水井，水面比井口低3m，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.42m ，却下滑了0.15m；第二次往上爬了0.5m后又往下滑了0.1m；第三次往上爬了0.7m又下滑了0.15m；第四次往上爬了0.75m又下滑0.1m，第五次往上爬了0.55m，没有下滑；第六次蜗牛又往上爬了0.48m没有下滑，问蜗牛有没有爬上井口？

　　有理数及其运算 测试与练习部分

　　一、选择题

　　1．下列说法中正确的是（ ）

　　（A）一个数的倒数必小于这个数 （B）一个数的相反数必小于这个数

　　（C）一个数的立方必大于这个数的平方（D）一个数的绝对值必不小于这个数

　　2. 6.07 是（ ）

　　（A）17位数 （B）18位数 （C）19位数 （D）20位数

　　3．下列各式中正确的是（ ）

　　（A） （B）- （C） （D）-

　　4．两个不为零的数互为相反数，则它们的商为（ ）

　　（A）-1 （B）1 （C）0 （D）不能确定

　　5．10 (n是正整数)表示的数是（ ）

　　（A）10个n相乘的积 （B）n个10相乘的积 （C）1后面有n-1个零

　　（D）1后面有n+1个零

　　6．下列判断错误的( )

　　（A）负数的偶次方是正数 （B）有理数的偶次方是正数

　　（C）-1的任何次方的绝对值都是1 （D）有理数的偶次方不是负数

　　7．有加法交换律可得，a-b+c=( )

　　(A)a-c-b (B)c+a-b (C)a-c+b (D)c-a-b

　　8.如果两个有理数的差是正数，那么这两个数（ ）

　　（A）都是正数 （B）都不是正数 （C）不都是正数 （D）以上都可能

　　9．计算（-2） +（-2） 所得结果是（ ）

　　（A）2 （B）-1 （C）-2 （D）-2

　　10、绝对值 小于7而大于3的所有整数的和是 （ ）

　　A、15 B、-15 C、0 D、30

　　11、若│a │=7 ,b的相反数是2，则a+b的值是 （ ）

　　A、-9 B、-9或+9 C、+5或-5 D、+5或-9

　　12、在（-5）-（ ）= -7中的括号里应填（ ）

　　A、-2 B、2 C、-12 D、12

　　13、下列说法中错误的有（ ）

　　①若两数的差是正数，则这两个数都是正数

　　②若两个数是互为相反数，则它们的差为零

　　③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数

　　A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

　　14、减去一个正数，差一定 （ ） 被减数。

　　A、大于 B、等于 C、小于 D、不能确定谁大

　　15、若M+|-20|=|M|+|20|,则M一定是（ ）

　　A、任意一个有理数 B、任意一个非负数

　　C、任意一个非正数 D、任意一个负数

　　16、两个负数的和为a,它们的差为b，则a与b的大小关系是（ ）

　　A、a＞b B、a=b C、a＜b D、ab

　　17 、数m和n，满足m为正数，n为负数，则m,m-n,m+n的大小关系是（ ）

　　A、m＞m-n＞m+n B、m+n＞m＞m-n

　　C、m-n＞m+n＞m D、m-n＞m＞m+n

　　18、若 =a+b-c-d, 则 的值是（ ）

　　A、4 B、-4 C、10 D、-10

　　19、计算：-1.9917的结果是( )

　　A、33.83 B、-33.83 C、-32.83 D、-31.83

　　20、如果两个有理数的积小于零，和大于零，则这两个有理数（ ）

　　A、符号相反 B、符号相反且负数的绝对值大

　　C、符号相反且绝对值相等 D、符号相反且正数的绝对值大

　　21、在计算（ - + ）（- 36）时，可以避免通分的运算律是（ ）

　　A、加法交换律 B、分配律 C、乘法交换律 D、加法结合律

　　22、定义运算：对于任意两个有理数a、b，有a*b=(a-1)(b+1) 则计算-3*4的值是（ ）

　　A、12 B、-12 C、20 D、-20

　　23、已知0＞a＞b,则 与 的大小是（ ）

　　A、 ＞ B、 = C、 ＜ D、无法判定

　　24、若 = -1，则a是（ ）

　　A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数

　　25、已知a与b互为倒数，m与n互为相反数，则 ab-3m-3n的值是（ ）

　　A、-1 B、1 C、- D、

　　二、填空题

　　1．减去一个数，等于加上 ，除以一个数，等于乘以_______________.

　　2．用科学记数法表示138000000得_____________

　　3．绝对值小于4的整数的积是__________

　　4．比较大小：-0.1 ___________ (-0.1)

　　5.一个数的平方等于它的绝对值，则这个数是____________________

　　6．列式计算：3的二次幂与- 的积的相反数______________________________

　　7．已知 =4， =3，当ab0时，a-b=______________

　　8、小丽沿着东西方向的道路行走，她先向正东方向走77米，再向正西方向走108 米，最后小丽停在出发点 方向 米处。

　　9、当x、y 满足 时，│x│+│y│=│x+y│成立。

　　10、（- 4 ）+（ ）= -2 （ ）-（-6 ）=2

　　11、已知有理数a.b在数轴上的对应点位置如图所示： ? ? ?

　　b o a

　　化简：①│a│-a= ③│a│+│b│=

　　②│a+b│= ④│b-a│=

　　12、3.141 +0.314 -31.40.2= 。

　　13、两个有理数相乘，若把其中一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来的积的 。

　　14、已知3a是一个负数，则a是 数

　　15、数b与它的倒数 相等，则b= 。

　　16、（1）绝对值不大于2005的所有整数的和是 ，积是 。

　　17、 的0.12倍等于-14.4

　　三、解答题

　　1、- 2、

　　3．-1.53 4、 -2

　　5、 6、(- )

　　7、（ - + ）（- 63） 8、-150（- ）-250.125+50（- ）

　　9、3 （- ）-（- ）2 - （- ）

　　10、{1+[ -（- ）](-2)}(- - -0.05)

　　11、（1）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求 的值；