一、问题导入,引发探究
师:我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具(如图),所谓生活处处皆学问嘛,我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象:
两个全等的椭圆形卵,相互依偎旋转(动画)。你能通过所学解析几何知识,构造出这种有趣的现象吗?
二、实验探究,交流发现
探究1:卵之由来——椭圆的形成
(1) 单个定椭圆的形成
椭圆的定义:平面内到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆。(即若平面内的动点 到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 ),则点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆。)
思考1:如何使 为定值?
(不妨将两条线段的长度和转化为一条线段,即在线段 的延长线上取点 ,使得 ,此时, 为定值则可转化为 为定值。)
思考2:若 为定值,则 点的轨迹是什么?定点 与 点轨迹的位置关系?
(以定点 为圆心, 为半径的圆。由于 > ,则点 在圆内。)
思考3:如何确定点 的位置,使得 ,且 ?
(线段 的中垂线与线段 的交点为点 。)
揭示思路:(高中数学选修2-1 P49 7) 如图,圆 的半径为定长 , 是圆 内一个定点, 是圆上任意一点,线段 的垂直平分线l和半径 相交于点 ,当点 在圆上运动时,点 的轨迹是什么?为什么?
(设圆 的半径为 ,由椭圆定义, (常数),且 ,所以当点 在圆周上运动时,点 的轨迹是以 为焦点的椭圆。)
图形计算器作图验证:以圆 与定点 所在直线为 轴, 中垂线为 轴建立直角坐标系,设圆半径 , ,即圆 ,点 ,则 点轨迹是以以 为焦点的椭圆,椭圆方程 为 。
(2) 单个动椭圆的形成
思考4:构造一种动椭圆的方式
(由于椭圆形状不变,即离心率不变,而长轴长 为定值,则 也要为定值,因此可将圆内点 取在圆 的同心圆 上,当点 在圆 上动时,即可得到动椭圆。)
图形计算器作图验证:当圆内动点 取在圆 的同心圆 上,运动点 ,即得到动椭圆。
(3) 两个椭圆的形成
观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面,分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴 对称,且直线 过两椭圆公共点,所以直线 为两椭圆的公切线。
因而找到公切线 ,作椭圆 关于切线 的对称椭圆 即可。
探究2:卵之所依——切线的判断与证明
线段 的垂直平分线 与椭圆的位置关系
(1) 利用图形计算器中的“图象分析”工具直观判断 与椭圆的位置关系.设圆 上动点 ,则线段 的中垂线 的方程为 ,将动点 的横坐标保存为变量 ,纵坐标保存为变量 ,随着 点的改变,在Graphs中画出相应的动直线 .用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线 与椭圆的交点,拖动点 ,动态观测交点个数的变化,发现无论点 在何处,动直线 与椭圆只有唯一一个交点 ,因此判断直线 与椭圆相切,并可求出该切点 的坐标.也可以将椭圆方程与直线方程联立,用“代数”工具中的slve()求出方程组的解,从而判断根的情况.
(2) 证明椭圆 与直线 相切.
不妨设直线 : ,其中 , ,与椭圆方程联立 ,得 ,因此
,
将 , , 代入上式,用“代数”工具中的expand()化简式子,得 ,所以椭圆与直线 相切,切点为 .
(3) 证明由任意圆 上的动点 和圆内一点 确定的椭圆 与线段 中垂线 均相切(反证法)
因为椭圆 是点 的轨迹,而点 是直线 与线段 中垂线 的交点,所以点 既在椭圆 上,也在直线 上。因此,直线 与椭圆至少有一个公共点,即直线 与椭圆相切或相交。
假设直线 与椭圆相交,设另一个交点为 ( 与 不重合).因为 ,所以 ;又因为 ,
所以 为定值,而 ,矛盾.因此直线 与椭圆相切。
探究3:两卵相依——对称旋转椭圆的形成与动画
当圆内动点 取在圆 的同心圆 上,作椭圆 关于切线 的对称椭圆 ,运动点 ,隐藏相关坐标系与辅助圆等图形,呈现两卵相互依偎旋转的有趣效果。
改变一些问题条件,进行深入探究与发现。
探究4:改变 点位置,探究点 轨迹
(1) 曲线判断:利用TI图形计算器作图分析,拖动点 ,当点 在定圆 内且不与圆心 重合时,交点 的轨迹是椭圆;当点 在定圆 外时,则 ,交点 的轨迹是双曲线;当点 与圆心 重合时,点 的轨迹是圆 的同心圆;当点 在圆周上时,点 的轨迹是是一点(圆心 ).
(2) 方程证明:圆 ,设点 ,可解得点 的轨迹方程为
,
当 或 时,点 的轨迹为圆心 ;
当 且 时,点 的轨迹方程为
,
当 时,点 的轨迹为圆: ;
当 且 时,点 的轨迹为椭圆;
当 或 时,点 的轨迹为双曲线。
探究5:改变切线位置,探究由切线得到的包络图形
查阅有关参考书籍,了解圆锥曲线的包络线,并利用图形计算器作出椭圆、双曲线的包络图形,自主探究抛物线的包络线(将定圆改为定直线)。
结论:所谓包络图,就是指有一条曲线按照一定运动规律运动,保留其所有瞬间位置的影像,会有一条曲线能够和该运动曲线所有位置相切,这条曲线就成为该运动曲线的包络线。
探究6:拓展延伸:椭圆切线的几个性质及其应用
性质1: 是椭圆的两个焦点,若点 是椭圆上异于长轴两端点的任一点,则 点的切线平分 的外角。
性质1′: 点处的法线(过 点且垂直于切线)平分 。(即为椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上。)
课后探究:阅读数学选修2-1 P75 阅读与思考——圆锥曲线的光学性质及其应用,了解双曲线、抛物线的光学性质。
练习1:已知 为椭圆 的左、右焦点,点 为椭圆上任一点,过焦点 向 作垂线,垂足为 ,则点 的轨迹是_____________,轨迹方程是_______________。
解:(1) 直观判断:作轨迹
(2) 严谨证明:圆的定义
由此得到:
性质2: 是椭圆的两个焦点, 是长轴的两个端点,过椭圆上异于 的任一点 的切线,过 做切线的垂线,垂足分别为 ,则 在以长轴为直径的圆上。
练习2:已知 为椭圆 的左、右焦点,点 为椭圆上任一点,直线 与椭圆相切与点 ,且 到 的垂线长分别为 ,求证: 为定值。
解:(1) 直观判断:作图
(2) 严谨证明:利用性质2及圆的相交弦性质,
由此得到:
性质3:已知椭圆为 ,则焦点 到椭圆任一切线的垂线长乘积等于 。
课后探究2:已知 为椭圆 的左、右焦点,点 为椭圆上任一点,直线 过点 ,且 到 的垂线长分别为 ,则
① 当 时,直线 与椭圆的位置关系;(相交)
② 当 时,直线 与椭圆的位置关系。(相离)
(类比直线与圆位置关系的几何法,此为直线与椭圆位置关系的几何法)
课后探究:双曲线、抛物线的切线是否有类似性质?
第二篇:高一数学数列教案
学习是一个潜移默化、厚积薄发的过程。下面是小编整理的高一数学数列教案,希望对你有所帮助!
教学目标
1。使学生理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。
(1)理解数列是按一定顺序排成的一列数,其每一项是由其项数唯一确定的。
(2)了解数列的各种表示方法,理解通项公式是数列第项与项数的关系式,能根据通项公式写出数列的前几项,并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通项公式。
(3)已知一个数列的递推公式及前若干项,便确定了数列,能用代入法写出数列的前几项。
2。通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力。
3。通过由求的过程,培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
教学建议
(1)为激发学生学习数列的兴趣,体会数列知识在实际生活中的作用,可由实际问题引入,从中抽象出数列要研究的问题,使学生对所要研究的内容心中有数,如书中所给的例子,还有物品堆放个数的计算等。
(2)数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想,应及早引导学生发现数列与函数的关系。在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的,“次序”便是函数的自变量,相同的数组成的数列,次序不同则就是不同的数列。函数表示法有列表法、图象法、解析式法,类似地,数列就有列举法、图示法、通项公式法。由于数列的自变量为正整数,于是就有可能相邻的两项(或几项)有关系,从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法。
(3)由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法,教师应精心设计例题,使这一例题为写通项公式作一些准备,尤其是对程度差的学生,应多举几个例子,让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系,尽量为写通项公式提供帮助。
(4)由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点,要帮助学生分析各项中的结构特征(整式,分式,递增,递减,摆动等),由学生归纳一些规律性的结论,如正负相间用来调整等。如果学生一时不能写出通项公式,可让学生依据前几项的规律,猜想该数列的下一项或下几项的值,以便寻求项与项数的关系。
(5)对每个数列都有求和问题,所以在本节课应补充数列前项和的概念,用表示的问题是重点问题,可先提出一个具体问题让学生分析与的关系,再由特殊到一般,研究其一般规律,并给出严格的推理证明(强调的表达式是分段的);之后再到特殊问题的解决,举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况。
(6)给出一些简单数列的通项公式,可以求其最大项或最小项,又是函数思想与方法的体现,对程度好的学生应提出这一问题,学生运用函数知识是可以解决的。