数列求和公式的应用
例1、把正整数以下列方法分组：（1），（2，3），（4，5，6），…，其中每组都比它的前一组多一个数，设
表示第
组中所有各数的和，那么
等于（ ）
A、113 B、4641 . C、5082 D、5336
变式1：将数列
按“第组有个数”的规则分组如下：(1)，(3，9)，(27，81，243)，…则第100组中的第一个数是( )
A、
. B、
C、
D、
变式2：数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4……中，第100项是（ ）。
A、10 B、13 C、14 . D、100
例1、等差数列
的前
项和为30，前
项和为100，则它的前
项和为( )
A、130 B、170 C、210 . D、260
变式：等比数列的前项和为20，前项和为100，则它的前项和为( )
A、130 B、170 C、320 D、420 .
练习：
1、
（ ）
A、
B、
C、 
D、
变式：已知
，
（1）求和
（2）求和
；
2、求数列
前项和；
变式：求数列
前项和；
变式：求和
；
变式：数列{
}的通项公式是
，求数列{}的前项和；
5、求数列
前项和；
变式：求和：
6、设函数
（1）求证：对任意的实数
，
恒为定值；
（2）设数列满足
，求
的值
第二篇：等差数列求和公式的变用
等差数列求和公式的变用
设{an}为等差数列，公差为d，首项为a1，则Sn= n a1+
。我们把此公式变形为
=
，所以{
}是以a1为首项，
为公差的等差数列。应用此性质能简捷地解决一类等差数列的问题。
例1 等差数列{an}前m项和为30，前2 m项之和为100，求前3m项之和。（96年高考题）
解 由公式知 
成等差数列，所以 
∴S3m=210
例2 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n 项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{}
的前n项和，求Tn.（20##年高考试题）
解 设t n=，则{t n}为等差数列，
∴数列{tn}的公差d/=
Tn=
例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn，证明：
证明 设{an}的公差为d,因为
,所以
第三篇：数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)
数 列
数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.
1.数列的有关概念：
（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
（2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集
（或它的有限子集）的函数。当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。
（3） 通项公式：如果数列
的第
项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即
.如: 
。
（4） 递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项
与它的前一项
（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即
或
，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，
，其中是数列的递推公式.再如: 
。
2．数列的表示方法：
（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, an）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：
按有界性
4．数列{an}及前n项和之间的关系:
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数
，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式
，
为首项，为公差.可变形为
⑵前项和公式
或
.
3.等差中项
如果
成等差数列，那么
叫做
与
的等差中项.
即：是与的等差中项
，，成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：
（
，是常数）是等差数列；
⑵中项法：
()是等差数列.
5.常用性质：
是等差数列
（1）若
，则
（2）数列
、
（
是常数）都是等差数列；在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即
为等差数列，公差为
。
（3）
仍为等差数列，公差为
；
是等差数列。
（4）若三个成等差数列，可设为
；四个数成等差数列，可设为
（5）为等差数列
（
为常数，是关于的常数项为0的二次函数）。（
(,是常数)）
的最值可求二次函数
的最值；或者求出中的正、负分界项，
即：当
，解不等式组
可得达到最大值时的值.
当
，由
可得达到最小值时的值.
(6) 项数为偶数
的等差数列，有
，
.
（7）项数为奇数
的等差数列，有
，
，
.
等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数
，这个数列叫做等比数列，常数
称为等比数列的公比.
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式：
，
为首项，为公比 . 可变形为
⑵前项和公式：①当
时，
②当
时，
.
3.等比中项
如果
成等比数列，那么
叫做与的等比中项.
即：是与的等比中项，，成等比数列
.
4.等比数列的判定方法
⑴定义法：
（，
是常数）是等比数列；
⑵中项法：
()且
是等比数列.
5.常用性质
⑴数列是等比数列，则数列是等比数列；等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为
；仍为等比数列,公比为
.
⑵若
，则
；
⑶如果三个数构成等比数列，则设其为
；若四个数成等比数列，则可设其为
。
⑷等比数列的通项公式可以改写成
。当
是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积。
通项公式，数列求和
一、求数列通项公式
1）给出递推公式求通项公式
1°递推关系形如"
，
是可求和的。可利用迭加法或迭代法：
例1：已知数列中，
，求数列的通项公式；
例2：已知数列
满足
，求数列的通项公式。
2°递推关系形如"
，是可求积的。可利用迭乘法：
例1：数列中，
，求
例2：已知数列满足：
，求数列的通项公式；
例3：已知数列满足
，
，求数列的通项公式。
3°递推关系形如“
”，可利用待定系数法：可把它变为
为待定系数。令
，先求数列
的通项公式，进而求的通项公式。
例1：已知数列中，
，求数列的通项公式.
例2： 已知数
的递推关系为
，且
求通项。
4°递推关系形如“
”，两边同除以
（
）并采用待定系数法求解或者直接采用待定系数法（
）。
例1. 已知数列满足
，求数列的通项公式。
例2. 已知数列满足
，求数列的通项公式。
5°递推已知数列中，关系形如“
”，利用待定系数法求解（
）
例1：已知数列中，
，求数列的通项公式.
例2：在数列中，
,
，
，求。
6°递推关系形如"
,两边同除以
（
）
例1：已知数列中，
，求数列的通项公式.
例2：数列
中，
，求数列的通项公式.
2）给出前n项和求通项公式
例1：⑴
； ⑵
.
3）、给出关于
和
的关系
例1：数列满足
，求
例2：设
是数列的前项和，
，
.求的通项
例3：已知数列中，
，前项和
与的关系是 
，试求通项公式。
例4：已知数列
的前项和为，且满足
．求数列的通项公式。
二. 求数列前n项和的常用方法
1）公式法:直接由等差，等比数列的求和公式求和，注意等比时q=1和
的讨论。
等差数列求和公式：
等比数列求和公式：
例1： 已知
，求
的前n项和.
例2： 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求
的最大值.
2）拆项求和法： 通过拆分、合并、分组，将所求和转化为等差、等比数列求和
例1：求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）
例2：求数列的前n项和：
，…
例3：求数列 
的前项和
例4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
3）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
相加
例1： 求
的值
例2：如已知函数f(x)对任意x∈R都有
，
+…
，（
），求
例3：设
，求
的值
例4：已知
，
那么
_____
4)裂项相消法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 数列的常见拆项有：
；
例1：在数列{an}中，
，又
，求数列{bn}的前n项的和.
例2：求和：S=1+
例3：求和：
.
5）错位相减法
若为等差数列，为等比数列，求数列
（差比数列）前项和，可由
，求，其中为的公比.
例1：求
例2：若数列的通项
，求此数列的前项和.
例3： 求数列
前n项的和.
常用的公式：
