数列求和

一、公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：            =              

（2）等比数列的求和公式          

例1.求和

（1）1+2+3+…+n

（2）

二、分组求和法：若一个数列由两个特殊数列相加减而得到，则分别对两个特殊数列求和之后相加减得到该数列的和。

例2.求和

（1）；

（2），求；

（3），求

三、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：（1）    (2)  

   (3)   （4）

例3. （1）已知数列，求前.

（2）已知数列，求前.

（3）求数列的前n项和.

四、错位相减法：如果一个数是由一个等差数列和一个等比数列相乘得到，则使用这种方法。

例4. （1），求。

（3）求数列的前.

五、课后练习

1、（2012惠州一模）已知数列的前项和满足，等差数列满足，。

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，问>的最小正整数是多少?

2、（2012广州一模）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求证：．

3、（2012惠州三模）已知函数，且数列是首项为，公差为2的等差数列.

(1)求证：数列是等比数列；

(2) 设，求数列的前项和的最小值..

4、（2013惠州二模）已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项的和为，且．

（1）求数列，的通项公式；（2）记,求证：；

（3）求数列的前项和．

求通项公式

一、定义法

（1）等差数列：；  （2）等比数列：。

例1：若，求通项公式。

（1）              （2）

练习：（1）            （2）

二、累加法：

例2：若，求通项公式。

（1）              （2）

练习：（1）              （2）

三、累乘法：

例3：若，求通项公式。

（1）                 （2）

练习：（1）                 （2）

四、固定结构

结构一：

例4：（1）数列满足，求。

（2）数列满足，则求。

结构二：

解法分析：

例5：若，求通项公式。

（1）       （2）

练习：（1）   （2）

结构三：

解法分析：

例6：若，求通项公式。

（1）             （2）

（3）（20##年广东高考改）

数列满足,，求通项公式。

结构四：

解法分析：

例7：（1）已知数列满足

（1）求的值；（2）求数列的通项公式。

（2）（20##年广东高考改）设数列满足，。

（1）求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前n项和。

数列练习题（近三年各地高考题选编）

一、填空题

1、在等差数列中,,则的前5项和=          。

2、等差数列中,,则数列的公差为          。

3、在等差数列中,已知=16,则             。

4、如果等差数列中，++=12，那么++???…+=        。

5、为等差数列,为其前项和.若,,则________.

6、．设为等差数列的前n项和，若，公差为，则k=        

7、为等差数列，为其前项和，若则的值为_______。

8、{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和，若，则=        。

9、Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．

10、在等差数列中，，＝    。

11、已知等比数列中，各项都是正数，且，成等差数列，则         

12、已知为等比数列,,,则        。

13、已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.

14、已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式_____.

15、等比数列{}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比=_______

16、等比数列的前项和为,公比不为1。若,且对任意的都有,则____。

17、在等比数列中，，，则公比q=_____；= __________.

18、已知是等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=­______

19、若等比数列满足anan+1=16ⁿ，则公比为         。

20、设数列的前n项和，则的值为    。

二、解答题

1、已知为等差数列,且(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记的前项和为,若成等比数列,求正整数的值.

2、已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3．

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）若数列{an}的前k项和，求k的值．

3、设是公比为正数的等比数列，，。

   （Ⅰ）求的通项公式；

   （Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。

4、已知等差数列满足：，.的前n项和为.

 （Ⅰ）求 及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.

5、已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.

（Ⅰ）求通项及；

（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.

6、{an}的前n项和为Sn,且Sn=,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.

(1)求an,bn;

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.

7、已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.

(I)求数列与的通项公式;

(II)记()证明:.

8、（2012广东高考）设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.

(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的通项公式.

第二篇：数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)

                                    数 列

数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.

1.数列的有关概念：

（1）   数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

（2）   从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数。当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。

（3）   通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.如: 。

（4）   递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.再如: 。

2．数列的表示方法：

（1）   列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a_n）孤立点表示。

（3）   解析法：用通项公式表示。     （4）递推法：用递推公式表示。

3．数列的分类：

按有界性

4．数列{a_n}及前n项和之间的关系:

          

等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.

   2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式，为首项，为公差.可变形为

⑵前项和公式或.

3.等差中项

如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.

即：是与的等差中项，，成等差数列.

4.等差数列的判定方法

⑴定义法：（，是常数）是等差数列；

⑵中项法：()是等差数列.

5.常用性质：是等差数列

（1）若，则

（2）数列、（是常数）都是等差数列；在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为。

（3）仍为等差数列，公差为；是等差数列。

（4）若三个成等差数列，可设为；四个数成等差数列，可设为

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）。（(,是常数)）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6) 项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有

，

    ，.

等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.

   2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式：，为首项，为公比 . 可变形为

⑵前项和公式：①当时，

②当时，.

3.等比中项

如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.

即：是与的等比中项，，成等比数列.

4.等比数列的判定方法

⑴定义法：（，是常数）是等比数列；

⑵中项法：()且是等比数列.

5.常用性质

⑴数列是等比数列，则数列是等比数列；等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为；仍为等比数列,公比为.

⑵若，则；

⑶如果三个数构成等比数列，则设其为；若四个数成等比数列，则可设其为。

⑷等比数列的通项公式可以改写成。当是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积。

通项公式，数列求和

一、求数列通项公式

1）给出递推公式求通项公式

1°递推关系形如"，是可求和的。可利用迭加法或迭代法：

例1：已知数列中，，求数列的通项公式；

例2：已知数列满足，求数列的通项公式。

2°递推关系形如"，是可求积的。可利用迭乘法：

例1：数列中，，求

例2：已知数列满足：，求数列的通项公式；

例3：已知数列满足，，求数列的通项公式。

3°递推关系形如“”，可利用待定系数法：可把它变为为待定系数。令，先求数列的通项公式，进而求的通项公式。

例1：已知数列中，，求数列的通项公式.

例2： 已知数的递推关系为，且求通项。

4°递推关系形如“”，两边同除以（）并采用待定系数法求解或者直接采用待定系数法（）。

例1. 已知数列满足，求数列的通项公式。

例2. 已知数列满足，求数列的通项公式。

5°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解（）

例1：已知数列中，，求数列的通项公式.

例2：在数列中，,，，求。

6°递推关系形如",两边同除以（）

例1：已知数列中，，求数列的通项公式.

例2：数列中，，求数列的通项公式.

2）给出前n项和求通项公式

例1：⑴；  ⑵.

3）、给出关于和的关系

例1：数列满足，求

例2：设是数列的前项和，，.求的通项

例3：已知数列中，，前项和与的关系是  ，试求通项公式。

例4：已知数列的前项和为，且满足．求数列的通项公式。

二. 求数列前n项和的常用方法

1）公式法:直接由等差，等比数列的求和公式求和，注意等比时q=1和的讨论。

等差数列求和公式：  

等比数列求和公式：

例1： 已知，求的前n项和.

例2： 设S_n＝1+2+3+…+n，n∈N^*,求的最大值.

2）拆项求和法： 通过拆分、合并、分组，将所求和转化为等差、等比数列求和

例1：求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）

例2：求数列的前n项和：，…

例3：求数列 的前项和

例4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

3）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

相加

例1： 求的值

例2：如已知函数f(x)对任意x∈R都有，

+… ，（），求

例3：设，求的值

例4：已知，

那么_____

4)裂项相消法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 数列的常见拆项有：；

例1：在数列{a_n}中，，又，求数列{b_n}的前n项的和.

例2：求和：S=1+

例3：求和：.

5）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

例1：求                              

例2：若数列的通项，求此数列的前项和.

例3： 求数列前n项的和.

常用的公式：