求数列通项公式方法

（1）．公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：1已知等差数列满足：， 求；

2.已知数列满足，求数列的通项公式；

      3.数列满足=8， （），求数列的通项公式；

4. 已知数列满足，求数列的通项公式；

5.设数列满足且，求的通项公式

6.已知数列满足，求数列的通项公式。

7.等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式

8. 已知数列满足，求数列的通项公式；

9.已知数列满足 （），求数列的通项公式；

10.已知数列满足且（），求数列的通项公式；

11. 已知数列满足且（），求数列的通项公式；

12.数列已知数列满足则数列的通项公式=             

（2）累加法

1、累加法  适用于： 

若，则 

    两边分别相加得

例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。

2. 已知数列满足，求数列的通项公式。

3.已知数列满足，求数列的通项公式。

4.设数列满足，，求数列的通项公式

（3）累乘法

适用于：

若，则

两边分别相乘得，

例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。

2.已知数列满足，，求。

3.已知， ，求。

（4）待定系数法    适用于

解题基本步骤：

1、确定

2、设等比数列，公比为

3、列出关系式

4、比较系数求，

5、解得数列的通项公式

6、解得数列的通项公式

例：1. 已知数列中，，求数列的通项公式。

2.（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________

3.（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足求数列的通项公式；

4.已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设

5.  已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设

6.已知数列中，,，求

7. 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设 

8. 已知数列满足，求数列的通项公式。

递推公式为（其中p，q均为常数）。

先把原递推公式转化为

其中s，t满足

9. 已知数列满足，求数列的通项公式。

10.已知数列满足

（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；

11.已知数列中，,,，求

（5）递推公式中既有

  分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。

1.（2005北京卷）数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式． 

2.（2005山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．

3．已知数列中，前和

①求证：数列是等差数列

②求数列的通项公式

4.  已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。

（6）根据条件找与项关系

例1.已知数列中，，若，求数列的通项公式

2.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，

（I）设，求数列的通项公式

（7）倒数变换法  适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。

（8）对无穷递推数列

消项得到第与项的关系

例：1. （20##年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。

2.设数列满足，．求数列的通项；

（8）、迭代法

例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以

又，所以数列的通项公式为。

（9）、变性转化法

1、对数变换法  适用于指数关系的递推公式

例： 已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：因为，所以。

两边取常用对数得          

2、换元法  适用于含根式的递推关系

例： 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：令，则

数列通项公式的求解类型及方法   

类型一【形如的一阶递归式】（累加法）

例1．已知数列中，，且满足，求数列的通项公式

练习1.已知数列中，，且满足，求数列的通项公式

练习2.已知数列满足，求数列的通项公式。

类型二【形如的一阶递归式】（累乘法）

例2．已知,,求数列通项公式.

练习3.已知数列中，，前项和与的关系是  ，试求通项公式.

练习4.已知数列中，且，求数列通项公式.

类型三【形如（为常量）的一阶递归式】【构造法】对于设为，通过待定系数法求出，构造等比数列进行求解.

例3．已知数列中，，且满足，求数列的通项公式.

练习5.已知数列中，，且满足，求数列的通项公式.

类型四【形如的一阶递归式】

例4.已知数列满足，求数列的通项公式.

例5.在数列中，，求数列的通项公式.

练习6.已知数列满足，，求数列的通项公式。

练习7.已知数列满足，求数列的通项公式.

练习8.已知数列满足，求数列的通项公式.

类型五【形如（为常量）的二阶递归式】

方法： 设，通过待定系数法求出，使为等比数列，

化为一阶递归式再进行求解

例6.已知数列满足，求数列的通项公式.

练习9.已知数列满足，求数列的通项公式

类型六【形如的一阶递归式】【取倒数法】两边取倒数，化为，利用类型三进行求解

例7.已知数列中，，，求通项公式.

练习10.已知数列中, ,,求数列的通项公式.

练习11.已知数列中，，求通项公式.

练习12.数列中，，求数列的通项公式.

类型七【形如的递推式】

【前项和法】利用和将关系式中的或消去，转化为递推关系.

例8.在数列{a_n}中，若a₁=1，且满足，求数列的通项公式.

例9. 数列的首项，前项与之间满足

练习13.已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，

且求{}的通项公式；

练习14.设数列满足

（1）求数列的通项公式.

（2）设，求数列的前项和.

第二篇：求数列通项公式方法总结

基本数列通项公式及其求法

等差数列

　　对于一个数列｛a n ｝，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为 d ；从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 S n 。

　　那么 ， 通项公式为 a n = a 1 + (n-1)* d ,其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：

　　a 2 = a 1 + d ,

　　a 3 = a 2 + d,

　　a 4 = a 3 + d,

　　````````

　　a n = a n-1 + d,

　　将以上 n-1 个式子相加， 便会接连消去很多相关的项 ，最终等式左边余下a n ,而右边则余下 a1和 n-1 个d,如此便得到上述通项公式。

　　此外， 数列前 n 项的和 S n = n*a 1 + n*(n-1)*d /2, 其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。

　　值得说明的是，（S n) /n = a 1 +(n-1)*d /2 ，也即，前n项的和Sn 除以 n 后，便得到一个以a 1 为首项，以 d /2 为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn 的数列问题迎刃而解。

等比数列

　　对于一个数列 ｛a n ｝，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 T n 。

　　那么， 通项公式为 a n = a1 * q (n-1) (即a1 乘以q 的 （n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：

　　a 2 = a 1 *q,

　　a 3 = a 2 *q,

　　a 4 = a 3 *q,

　　````````

　　a n = a n-1 *q,

　　将以上（n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下a n , 右边余下 a1 和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。

此外， 该数列前n 项的和 T n = a1 * ( 1- q(n)) / (1-q).

一阶数列通项公式求法

概念

　　不妨将数列递推公式中同时含有 a n 和a n+1 的情况称为一阶数列，显然，等差数列的递推式为 a n = a n-1 + d , 而等比数列的递推式为 a n = a n-1 *q ； 这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶递归数列形式为： a(n+1) = A *a n + B ········☉ , 其中A和B 为常系数。那么，等差数列就是A=1 的特例，而等比数列就是B=0 的特例。

若干求法思路

　　基本思路与方法： 复合变形为基本数列（等差与等比）模型 ； 叠加消元 ；连乘消元

　　思路一： 原式复合 （ 等比形式）

　　可令 a(n+1) - ζ = A * (a n - ζ )········① 是原式☉变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出 ζ 的值， 整理①式 后得 a(n+1) = A*an +ζ - A*ζ , 这个式子与原式对比可得，

　　ζ - A*ζ = B

　　即解出 ζ = B / (1-A)

　　回代后，令 bn= an - ζ ,那么①式就化为 b(n+1) =A* b n , 即化为了一个以（a1-ζ )为首项，以A为公比的等比数列，可求出bn的通项公式，进而求出 {an} 的通项公式。

　　思路二： 消元复合（消去B）

　　由 a(n+1) = A *a n + B ········☉ 有

　　a n = A* a(n-1) +B ··········◎

　　☉式减去◎式可得 a(n+1) - a n = A *（ a n - a(n-1））······③

令 bn = a(n+1) - an 后， ③式变为 bn = A* b(n-1) 等比数列，可求出 bn 的通项公式，接下来得到 a n - a(n-1) = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数）的式子， 进而使用叠加方法可求出 an

二阶数列通项公式求法

概念

　　类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有a(n+2) 、a(n+1)、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式：

　　a(n+2) = A * a(n+1) +B * a n , （ 同样，A，B常系数）

求法

　　基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项

　　原式复合： 令 原式变形后为这种形式 a(n+2) - ψ * a(n+1) = ω (a(n+1) - ψ*an)

　　将该式与原式对比 ，可得

　　ψ + ω = A 且 -（ψ*ω）= B

　　通过解这两式可得出 ψ与ω的值，

　　令bn=a(n+1) - ψ*an, 原式就变为 b(n+1) = ω * bn 等比数列，可求出bn 通项公式bn = f (n) ，

　　即得到 a(n+1) - ψ*an = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶数列的定义，即只含有a(n+1)和an 两个数列变项，从而实现了“降阶”，化“二阶”为“一阶”，进而求解。

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