§13. 极 限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当
取第一个
时结论正确；②假设当
（
）时，结论正确，证明当
时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设
是一个与正整数有关的命题，如果
① 当
（
）时,成立;②假设当
（）时，成立，推得时，也成立.
那么，根据①②对一切自然数
时，都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：①
②当
时，
.
⑵几个常用极限：①
（
为常数）②
③对于任意实常数，
当
时，
当
时，
不存在
当
时，若a = 1，则
；若
，则
不存在
⑶数列极限的四则运算法则：
如果
，那么①
②
③
特别地，如果C是常数，那么
.
⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当
时，无穷等比数列的各项和为
.
（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量
无限趋近于常数
（但不等于）时，如果函数
无限趋进于一个常数
，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作
或当
时，
.
注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求
.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.
函数在有定义是
存在的既不充分又不必要条件.）
如
在
处无定义，但
存在，因为在处左右极限均等于零.
⑵函数极限的四则运算法则：如果
，那么①
②
③
特别地，如果C是常数，那么
.
（
）
注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限：
①
②
（0＜＜1）；
（＞1）③
④
，
（
）
4. 函数的连续性：
⑴如果函数f（x），g（x）在某一点
连续，那么函数
在点处都连续.
⑵函数f（x）在点处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点处有定义；②
存在；③函数f（x）在点处的极限值等于该点的函数值，即
.
⑶函数f（x）在点处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f（x）的不连续点.
①f（x）在点处没有定义，即
不存在；②不存在；③存在，但
.
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数
在闭区间
上连续，且
.那么在开区间
内至少有函数的一个零点，即至少有一点
（＜＜
）使
.
⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，
，那么对于
之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得
（＜＜）.
⑶夹逼定理：设当
时，有
≤≤
，且
，则必有
注：
：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）
6. 几个常用极限：
①
②
③
为常数）④
⑤
为常数）
第二篇：高考数学知识点总结014导数p2
§14.导数 知识要点
1. 导数（导函数的简称）的定义：设
是函数
定义域的一点，如果自变量
在处有增量
，则函数值
也引起相应的增量
；比值
称为函数在点到
之间的平均变化率；如果极限
存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作
或
，即=.
注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.
②以知函数定义域为
，
的定义域为
，则与关系为
.
2. 函数在点处连续与点处可导的关系：
⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.事实上，令
，则
相当于
.
于是
⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.
例：
在点
处连续，但在点处不可导，因为
，当＞0时，
；当＜0时，
，故
不存在.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点
处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为
4. 求导数的四则运算法则：
（
为常数） 
注：①
必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设
，
，则
在
处均不可导，但它们和
在处均可导.
5. 复合函数的求导法则：
或
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果
＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.
⑵常数的判定方法；如果函数在区间
内恒有=0，则为常数.
注：①
是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如
在
上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样
是f（x）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有
＜
，则是函数的极大值，极小值同理）
当函数在点处连续时，
①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；
②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数
，使=0，但不是极值点.
②例如：函数
，在点处不可导，但点是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数：
I.
（
为常数） 
（
） 
II. 
III. 求导的常见方法：
①常用结论：
.
②形如
或
两边同取自然对数，可转化求代数和形式.
③无理函数或形如
这类函数，如取自然对数之后可变形为
，对两边求导可得
.