导数的定义及几何意义

1．叫函数在处的导数，记作 。

注：①函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。③是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（，）及点（+，

）的割线斜率。④导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（，）处的切线的斜率。⑤若极限不存在，则称函数在点处不可导。⑥如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导；此时对于每一个∈，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。

[举例1]若，则等于：

  (A) -1           (B) -2            (C) 1              (D) 1/2

解析：∵，即=2=-1。

[举例2] 已知为正整数设，证明

解析：本题可以对展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：

=

=

=

=。

[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S与时间t的关系为： ，试用导数的定义求t =3时的速度。

[巩固2]设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.　如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.　它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)＝8＋，则生产8个单位产品时，边际成本是：     （   ）                                                                      

A．2                               B．8                       C．10                           D．16

2．常用导数公式：,,，；

导数的运算法则：若函数与的导数存在，则,

，；

（这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比）；

复合函数的导数：由与=得到复合函数，则=.。

[举例1]已知，则=         。

解析：是常数，∴=3+2-1= -2

∴，故=3。

[举例2]，=     。

解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法（k= n）；这里，我们观察   ①，不难发现其通项求导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得：

，令=1得：

=

[巩固1] 已知．令，则=       。

[巩固2]已知函数，则的值为：

A．       B．       C．       D．

3．函数在处的导数的几何意义：曲线在其上点，处的切线的斜率。用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。

[举例1]曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． （07高考海南理10）

解析：，则]曲线在点处的切线斜率为：，

　∴切线方程为：，它与坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，-）；

∴切线与坐标轴所围三角形的面积为：，选D。

[举例2]函数的图象在点P处的切线方程是：，若点P的横坐标为5，

则=           。

解析：本题没有函数表达式，但有切线方程，注意到“切点在切线上”，

∴P（5，3）；又“切点在曲线上”，∴；而曲线在点P处的切线斜率为，

即=-1，故=2。

[举例3]已知直线与抛物线相切，则

解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式=0，

从而求出的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点P（，），，则有：

 （切点在切线上）①；  （切点在曲线上）②

=1  （切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：。

[巩固1]已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．（07高考湖北文13）

[巩固2]点P是曲线上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是A、  B、  C、   D、

[巩固3]若直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线，则a=___________

4、注意区分“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线”；

前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。

[举例]求函数y=x³-3x²+x的图象上过原点的切线方程

解析：易见O（0，0）在函数y=x³-3x²+x的图象上，y^’=3x²－6x+1,但O点未必是切点。

设切点A（x₀,y₀）∵y^’=3x²－6x+1, ∴切线斜率为3x₀²－6x₀+1,又切线过原点，∴=3x₀²－6x₀+1即：y₀=3x₀³－6x₀²+x₀        ①            

又∵切点A（x₀,y₀）y=x³-3x²+x的图象上∴y₀=x₀³－3x₀²+x₀     ②           

 由①②得：x₀  =0或x₀  =，∴切线方程为：y=x或5x+4y=0

点评：一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。以下给出简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为。若M（x₁，y₁）是三次曲线上的任一点，设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x₀，y₀），则切线方程为，因点M上此切线上，故，又，所以，整理得：，解得，或。 当点M是对称中心即=

-=0时，过点M作曲线的切线切点是惟一的，且为M，故只有一条切线；当点M不是对称中心即时，过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线。

[巩固] 曲线上过点的切线方程是        ．

答案

1．[巩固1] ，[巩固2]A，2、[巩固1] ；[巩固2]B；

3、[巩固1] 3，[巩固2]B，[巩固3]1或；4、[巩固]，或

第二篇：高中数学知识点总结_概率及其应用

概率及其应用

1. 解概率应用题要学会“说”：首先是记事件，其次是对事件做必要的分析，指出事件的概率类型，包括“等可能性事件”、“互斥事件”、“相互独立事件”、“独立重复试验”、“对立事件”等；然后是列式子、计算，最后别忘了作“答”。

2．“等可能性事件”的概率为“目标事件的方法数”与“基本事件的方法数”的商，注意区分“有放回”和“不放回”；“互斥事件”的概率为各事件概率的和；“相互独立事件”的概率为各事件概率的积；若事件在一次试验中发生的概率是，则它在次“独立重复试验”中恰好发生次的概率为；若事件发生的概率是，则的“对立事件”发生的概率是1-等。有的同学只会列式子，不会“说”事件，那就根据你列的式子“说”：用排列（组合）数相除的是“等可能性事件”，用概率相加的是“互斥事件”，用概率相乘的是“相互独立事件”，用的是“独立重复试验”，用“1减”的是“对立事件”。

[举例1] 已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；  （07高考天津文18）

解析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件；从甲盒内取出2个球（基本事件）有种方法，它们是等可能的，其中2个球均为红球（目标事件）的有种，∴

；设“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件，有；

而“取出的4个球均为红球”即事件A、B同时发生，又事件相互独立，

∴．

（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．=，；

而“取出的4个红球中恰有4个红球”即事件有一个发生，又事件互斥，∴

答：取出的4个球均为红球的概率是，取出的4个球中恰有1个红球的概率是。

[举例2] 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．（07高考湖南文17）

解析：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．

（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训即事件、同时发生，其概率是

所以该人参加过培训的概率是．

解法二：任选1名下岗人员，设该人只参加过一项培训为事件C，，与

互斥，∴P（C）=P（）=P（）+P（）=0.6×0.25+0.4×0.75=0.45;

该人参加过两项培训为事件D，P(D)=P(AB)=0.6×0.75=0.45

该人参加过培训即C、D有一个发生，且C、D互斥，∴其概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=0.9;

（II）解法一：设任选3名下岗人员，3人中恰有2人参加过培训为事件E，E是独立重复实验，其中n=3,k=2,p=0.9,∴P(E)==0.243,

设任选3名下岗人员，3人都参加过培训为事件F，P(F)==0.729．

“3人中至少有2人参加过培训”即E、F有一个发生，又E、F互斥，∴它的概率是：P(E+F)

=P(E)+P(F)=0.243+0.729=0.972；

解法二：设任选3名下岗人员，3人中恰有1人参加过培训为事件G，P(G)=

;设任选3名下岗人员，3人都没有参加过培训为事件H，P（H）=

；“3人中至少有2人参加过培训”即，

P()=;

答：任选1名下岗人员该人参加过培训的概率是0.9，任选3名下岗人员，这3人中至少有2人参加过培养的概率是0.972

[巩固1] 某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：

（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；

（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；（07高考北京文18）

[巩固2] 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立．

（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；

（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．（07高考重庆文17）

3．要准确理解题意，吃透其中的“关键词”，如： “至多”、“至少”、“恰有“、“不全是”、“全不是”等；要能读出题目的“言下之意”。

[举例1]在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．

（I）求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；

（II）求笼内至少剩下5只果蝇的概率．（07高考安徽文19）．

解析：设笼内恰好剩下只果蝇的事件为 ．

（I）笼内恰好剩下1只果蝇即第7只飞出的是苍蝇，而前6只飞出的蝇子中有1只苍蝇、5只果蝇；基本事件有种，它们是等可能的，其中目标事件有种，

故==；（II）笼内至少剩下5只果蝇为事件+，=

=，=，又事件、互斥，故P(+)=P()+P()=+

=；答：笼内恰好剩下1只果蝇的概率为，笼内至少剩下5只果蝇的概率。

．

[举例2]甲、乙两人个有4张卡片，现以掷硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上时，甲赢得乙一张卡片，否则乙赢得甲一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏立即终止，求掷币次数不大于6时游戏恰好终止的概率。

解析：显然，至少需掷币4次，游戏才可能终止；现要求掷币次数不大于6时游戏终止，看似有三种情况，即掷币次数分别为4、5、6，但事实上掷币5次游戏终止的情况是不可能出现的：因为，首先前4次不可能都为正面或反面（否则掷币4次后游戏已经终止），若前4次中有1次反面而其它4次都为正面，此时甲手中有7张卡片，乙手中有1张卡片，游戏尚未终止。设掷币4次游戏终止的事件为A，P（A）=2×=；掷币6次游戏终止的事件为B，则前4次中有1次反面而其它5次都为正面，或前4次中有1次正面而其它5次都为反面，∴P（B）=2×=，有又掷币次数不大于6时游戏恰好终止为A+B ，且

A、B互斥，∴P（A+B）=P（A）+P（B）=+=；

[巩固1] 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；

（Ⅱ）本场比赛乙队以3：2取胜的概率.（精确到0.001）

[巩固2] 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第次才取得次红球的概率为（       ）

A．，B． C．  D．

[巩固3] 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．（07高考全国卷Ⅱ理19）

4．关注概率与其它知识点的“交汇”，如数列、不等式、解析几何等。

[举例1]设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件

，若事件的概率最大，则的所有可能值为（   ）     （07高考山东文12）

A．3                    B．4                     C．2和5              D．3和4

解析：点落在直线上，即；集合和中随机取一个数和

有6种方法，它们是等可能的，其中使得有1种，使得有2种，使得有2种，使得有1种；故使得事件的概率最大的可能为3和4。

[举例2] 正四面体的各顶点为，进入某顶点的动点 X不停留在同一个顶点上，每隔1秒钟向其他三个顶点以相同的概率移动。秒后X在的概率用(n=0,1,2……) 表示。当，，时，

（1）求；             (2)求与的关系（）

（3）求关于n的表达式，   （4）求关于n的表达式

解析：即1秒后动点在的概率，它有三种情况；①开始时（0秒）在，1秒后移动到；由题意知，每隔1秒钟动点 X从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为；所以这种情况的概率为：×=；②开始时在，1秒后移动到；其概率为：

×=；③开始时在，1秒后移动到；其概率为：×=；

又这种情况互斥，∴=++=。我们设想一下，如果仍然按这个办法计算

，将不胜其烦，因为首先要算、、；事实上1秒后动点在，即开始时（0秒）动点不在，其概率为：1-=,而每隔1秒钟动点 X从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为；所以=×=。类似的，2秒后动点在，即1秒后动点不在，其概率为：1-=,∴=×=；秒后动点在，即秒后动点不在，其概率为：1-，∴=[1-]×。至此，问题化归为数列问题。即：已知数列{}满足：=-+，求通项公式。用待定系数法构造等比数列，设+=-[+]，得=，可见

数列{}是以-为公比的等比数列，其首项为=

∴=，=。

完全类似地，可得=-+，于是有=-[]

但=0，∴数列{}是常数列，即=。

点评：本题的关键是：第秒后动点在某一顶点即意味着第秒后动点不在该顶点，由此反映的它们的概率之间的关系正是数列的前后项之间的关系即递推关系，于是从概率问题自然地过渡到数列问题，再用数列的办法解决之。

[巩固1]已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是       （     ）          （07高考四川理12）

（A）                     （B）                     （C）                     （D）

[巩固2]位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位`于点的概率是   （    ）        （07高考山东理12）

A．             B．         C．        D．

[巩固3]有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站，第1站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从n到n+1），若掷出反面，棋子向前跳两站（从n到n+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营），或跳到第100站（失败集中营）时该游戏结束，设棋子跳到第n站的概率为P(n)；（1）求P(1), P(2),P(3);（2）求证：数列{P(n)-P(n-1)}是等比数列 (n∈N^﹡,n≤99)；（3）求P(99)及P(100)的值。

答案

2、[巩固1]0.1512,0.01458;[巩固2],0.4825；3、[巩固1]0.648,0.138；[巩固2]C

[巩固3]0.2,；4、[巩固1] B，[巩固2] B，[巩固3] P(1)= ，P(2)= ，P(n)-P(n-1)= -[ P(n-1) - P(n-2)] ( 2≤n≤99，n∈N)，P(99)=[2-（）⁹⁹]；P(100) = [1+（）⁹⁹]。