《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
1. 函数的平均变化率:函数在区间上的平均变化率为:。
2. 导数的定义:设函数在区间上有定义,,若无限趋近于0时,比值无限趋近于一个常数A,则称函数在处可导,并称该常数A为函数在处的导数,记作。函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤:(1)求函数的增量;(2)求平均变化率:;(3)取极限,当无限趋近与0时,无限趋近与一个常数A,则.
4. 导数的几何意义:
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。由此,可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步:
(1)求出在x0处的导数,即为曲线在点处的切线的斜率;
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为。
当点不在上时,求经过点P的的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得到切线方程,再将P点的坐标代入确定切点。特别地,如果曲线在点处的切线平行与y轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为。
5. 导数的物理意义:
质点做直线运动的位移S是时间t的函数,则表示瞬时速度,表示瞬时加速度。
二、导数的运算
1. 常见函数的导数:
(1)(k, b为常数); (2)(C为常数);
(3); (4);
(5); (6);
(7); (8)(α为常数);
(9); (10);
(11); (12);
(13); (14)。
2. 函数的和、差、积、商的导数:
(1);
(2)(C为常数);
(3);
(4)。
3. 简单复合函数的导数:
若,则,即。
三、导数的应用
1. 求函数的单调性:
利用导数求函数单调性的基本方法:设函数在区间内可导,
(1)如果恒,则函数在区间上为增函数;
(2)如果恒,则函数在区间上为减函数;
(3)如果恒,则函数在区间上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤:①求函数的定义域;②求导数;
③解不等式,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式,解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围):
设函数在区间内可导,
(1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成区间);
(2) 如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间);
(3) 如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。
2. 求函数的极值:
设函数在及其附近有定义,如果对附近的所有的点都有(或),则称是函数的极小值(或极大值)。
可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是:
(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)求方程的全部实根,,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:x变化时,和值的变化情况:
(4)检查的符号并由表格判断极值。
3. 求函数的最大值与最小值:
如果函数在定义域I内存在,使得对任意的,总有,则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。
求函数在区间上的最大值和最小值的步骤:
(1)求在区间上的极值;
(2)将第一步中求得的极值与比较,得到在区间上的最大值与最小值。
4. 解决不等式的有关问题:
(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。
的值域是时,
不等式恒成立的充要条件是,即;
不等式恒成立的充要条件是,即。
的值域是时,
不等式恒成立的充要条件是;
不等式恒成立的充要条件是。
(2)证明不等式可转化为证明,或利用函数的单调性,转化为证明。
5. 导数在实际生活中的应用:
实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时,一定要注意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。
第二篇:初一数学知识点总结
初一数学知识点总结.txt我很想知道,多少人分开了,还是深爱着。ゝ自己哭自己笑自己看着自己闹。你用隐身来躲避我丶我用隐身来成全你!待到一日权在手,杀尽天下负我狗。第一章 有理数
1.1 正数与负数
在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数(negative number)。
与负数具有相反意义,即以前学过的0以外的数叫做正数(positive number)(根据需要,有时在正数前面也加上“+”)。
1.2 有理数
正整数、0、负整数统称整数(integer),正分数和负分数统称分数(fraction)。
整数和分数统称有理数(rational number)。
通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫数轴(number axis)。
数轴三要素:原点、正方向、单位长度。
在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点(origin)。
只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)。(例:2的相反数是-2;0的相反数是0)
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value),记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。两个负数,绝对值大的反而小。
1.3 有理数的加减法
有理数加法法则:
1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
3.一个数同0相加,仍得这个数。
有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数。
1.4 有理数的乘除法
有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数同0相乘,都得0。
乘积是1的两个数互为倒数。
有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。 mì
求n个相同因数的积的运算,叫乘方,乘方的结果叫幂(power)。在a的n次方中,a叫做底数(base number),n叫做指数(exponent)。
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数,0的任何次幂都是0。 把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式,使用的就是科学计数法。
从一个数的左边第一个非0数字起,到末位数字止,所有数字都是这个数的有效数字(significant digit)。
第二章 一元一次方程
2.1 从算式到方程
方程是含有未知数的等式。
方程都只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解(solution)。 等式的性质:
1.等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
2.等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
2.2 从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论(1)
把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。
第三章 图形认识初步
3.1 多姿多彩的图形
几何体也简称体(solid)。包围着体的是面(surface)。
3.2 直线、射线、线段
线段公理:两点的所有连线中,线段做短(两点之间,线段最短)。
连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离。
3.3 角的度量
1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度
3.4 角的比较与运算
如果两个角的和等于90度(直角),就说这两个叫互为余角(compiementary angle),即其中每一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和等于180度(平角),就说这两个叫互为补角(supplementary angle),即其中每一个角是另一个角的补角。
等角(同角)的补角相等。
等角(同角)的余角相等。
第四章 数据的收集与整理
收集、整理、描述和分析数据是数据处理的基本过程
初中的数学主要是分代数和几何两大部分,两者在中考中所占的比例,代数略大于几何
代数主要有以下几点:1,有理数的运算,主要讲有理数的三级运算(加减乘除和乘方开方)在这里要注意数字和字母的符号意识,就是,不要受小学数字的影响,一看见字母就不会做题了。2,整式的三级运算,注意符号意识的培养,还有就是因式分解,这和整式的乘法是互换的,注意像平方差公式和完全平方公式的正用、逆用和变形用。3,方程,会一元一次、二元一次、三元一次、一元二次四种方程的解法和应用,记住,方程是一种方法,是一种解题的手段。4,函数,会识别一次函数、二次函数、反比例函数的图像,记住他们的特征,要会根据条件来应用。尤其要注意二次函数,这是中考的重点和难点。应用题里会拿它来出一道难题的
几何主要有以下几点:1,识别各种平面图形和立体图形,这你应该非常熟悉。2,图形的平移、旋转和轴对称,这个考察你的空间想象的能力,多做一些题。3,三角形的全等和相似,
要会证明,注意要有完整的过程和严密的步骤,背过证明三角形全等的五种方法和证明相似的四种方法;还有像等腰三角形、直角三角形和黄金三角形的性质,要会应用,这在证明题中会有很大的帮助。4,四边形,把握好平行四边形、长方形、正方形、菱形和梯形的概念,选择体里会拿着它们之间的微小差异而大做文章,注意它们的判定和性质,证明题里也会考到。5,圆,我这里没有细学,因为这里不是我们中考的重点,但是圆的难度会很大,它的知识点很多、很碎,圆的难题就是由许许多多细小的点构成的。