导数及其应用 知识点总结
1、函数从到的平均变化率:
2、导数定义:在点处的导数记作;.
3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率.
4、常见函数的导数公式:
①;②; ③;④;
⑤;⑥; ⑦;⑧
5、导数运算法则:
;
;
.
6、在某个区间内,若,则函数在这个区间内单调递增;
若,则函数在这个区间内单调递减.
7、求解函数单调区间的步骤:
(1)确定函数的定义域; (2)求导数;
(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式,解集在定义域内的部分为减区间.
8、求函数的极值的方法是:解方程.当时:
如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;
如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
9、求解函数极值的一般步骤:
(1)确定函数的定义域 (2)求函数的导数f’(x)
(3)求方程f’(x)=0的根
(4)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格
(5)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况
10、求函数在上的最大值与最小值的步骤是:
求函数在内的极值;
将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
第二篇:《导数及其应用》知识点总结
《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
1. 函数的平均变化率:函数在区间上的平均变化率为:。
2. 导数的定义:设函数在区间上有定义,,若无限趋近于0时,比值无限趋近于一个常数A,则称函数在处可导,并称该常数A为函数在处的导数,记作。函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤:(1)求函数的增量;(2)求平均变化率:;(3)取极限,当无限趋近与0时,无限趋近与一个常数A,则.
4. 导数的几何意义:
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。由此,可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步:
(1)求出在x0处的导数,即为曲线在点处的切线的斜率;
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为。
当点不在上时,求经过点P的的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得到切线方程,再将P点的坐标代入确定切点。特别地,如果曲线在点处的切线平行与y轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为。
5. 导数的物理意义:
质点做直线运动的位移S是时间t的函数,则表示瞬时速度,表示瞬时加速度。
二、导数的运算
1. 常见函数的导数:
(1)(k, b为常数); (2)(C为常数);
(3); (4);
(5); (6);
(7); (8)(α为常数);
(9); (10);
(11); (12);
(13); (14)。
2. 函数的和、差、积、商的导数:
(1);
(2)(C为常数);
(3);
(4)。
3. 简单复合函数的导数:
若,则,即。
三、导数的应用
1. 求函数的单调性:
利用导数求函数单调性的基本方法:设函数在区间内可导,
(1)如果恒,则函数在区间上为增函数;
(2)如果恒,则函数在区间上为减函数;
(3)如果恒,则函数在区间上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤:①求函数的定义域;②求导数;
③解不等式,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式,解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围):
设函数在区间内可导,
(1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成区间);
(2) 如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间);
(3) 如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。
2. 求函数的极值:
设函数在及其附近有定义,如果对附近的所有的点都有(或),则称是函数的极小值(或极大值)。
可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是:
(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)求方程的全部实根,,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:x变化时,和值的变化情况:
(4)检查的符号并由表格判断极值。
3. 求函数的最大值与最小值:
如果函数在定义域I内存在,使得对任意的,总有,则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。
求函数在区间上的最大值和最小值的步骤:
(1)求在区间上的极值;
(2)将第一步中求得的极值与比较,得到在区间上的最大值与最小值。
4. 解决不等式的有关问题:
(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。
的值域是时,
不等式恒成立的充要条件是,即;
不等式恒成立的充要条件是,即。
的值域是时,
不等式恒成立的充要条件是;
不等式恒成立的充要条件是。
(2)证明不等式可转化为证明,或利用函数的单调性,转化为证明。
5. 导数在实际生活中的应用:
实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时,一定要注意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。
第三篇:高考复习导数知识点总结(文科使用)
导数知识点
一.考纲要求
二.知识点
1.导数的几何意义:
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方程为
2.、几种常见函数的导数
①;②; ③;④;
⑤;⑥; ⑦;⑧
3.导数的运算法则
(1). (2). (3).
4. 极值的判别方法:(极值是在附近所有的点,都有<,则是函数的极大值,极小值同理)
当函数在点处连续时,
①如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极大值;
②如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号,而不是=0①. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).
注①: 若点是可导函数的极值点,则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零.
例如:函数,使=0,但不是极值点.
②例如:函数,在点处不可导,但点是函数的极小值点.
极值与最值区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.
5.导数与单调性
(1) 一般地,设函数 y = f ( x) 在某个区间可导,如果 f ′( x ) > 0 ,则 f ( x ) 为增函数;如果 f ′( x) < 0 ,则 f ( x) 为减函数;如果在某区间内恒有 f ′( x) = 0 ,则 f ( x) 为常数;
(2)对于可导函数 y = f ( x) 来说, f ′( x ) > 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要 条件, f ′( x ) < 0 是 f ( x ) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件;
(3)利用导数判断函数单调性的步骤:
①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ;②令 f ′( x ) > 0 解不等式,得 x 的范围,就是递增区间;③令 f ′( x) < 0 解不等式,得 x 的范围,就是递增区间。