导数  知识要点

 

1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.

②已知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.

2. 函数在点处连续与点处可导的关系：

⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.

事实上，令，则相当于.

于是

⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.

例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

4、几种常见的函数导数：

（为常数）              （）          

                          

                            

                            

5. 求导数的四则运算法则：

（为常数）

注：①必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

例如：设，，则在处均不可导，但它们和在处均可导.

6. 复合函数的求导法则：或

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

7. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数在区间内恒有=0，则为常数.

注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

8. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）

当函数在点处连续时，

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0^①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点^②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例如：函数，使=0，但不是极值点.

②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.

9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义.

导数练习

一、选择题

1．设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是

2．设a>0,b>0,e是自然对数的底数                              （　　）

A．若e^a+2a=e^b+3b,则a>b

B．若e^a+2a=e^b+3b,则a<b

C．若e^a-2a=e^b-3b,则a>b

D．若e^a-2a=e^b-3b,则a<b

3．设函数f(x)=+lnx 则                                      （　　）

A．x=为f(x)的极大值点        B． x=为f(x)的极小值点

C．x=2为 f(x)的极大值点        D．x=2为 f(x)的极小值点

4．设函数,.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是                         （　　）

A．             B． 

C．             D．

5．函数y=x²㏑x的单调递减区间为                           （　　）

A．(1,1]      B．(0,1]        C．[1,+∞)      D．(0,+∞)

6．已知,且.现给出如下结论:①;②;③;④.

其中正确结论的序号是                                      （　　）

A．①③         B．①④         C．②③         D．②④

7．已知函数;则的图像大致为

8．设a>0,b>0.                                                （　　）

A．若,则a>b        B．若,则a<b

C．若,则a>b        D．若,则a<b

9．设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是                                           （　　）

A．函数有极大值和极小值          

B．函数有极大值和极小值       

C．函数有极大值和极小值             

D．函数有极大值和极小值

10．设函数,则                                       （　　）

A．为的极大值点        B．为的极小值点

C．为的极大值点      D．为的极小值点

11．设且,则“函数在上是减函数 ”,是“函数在上是增函数”的                                                       （　　）

A．充分不必要条件               B．必要不充分条件   

C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件

12．已知函数的图像与轴恰有两个公共点,则      （　　）

A．或2       B．或3       C．或1       D．或1

二、填空题

13．曲线在点(1,1)处的切线方程为________

14．曲线在点处的切线方程为___________________.

三、解答题

15．已知函数在处取得极值为

(1)求a、b的值;(2)若有极大值28,求在上的最大值.

16．已知a∈R,函数

(1)求f(x)的单调区间

(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ >0.

17．已知函数

(I)求函数的单调区间;

 (II)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;

(III)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值.

18．设函数

(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;

(2)设n为偶数,,,求b+3c的最小值和最大值;

第二篇：导数复习知识点总结

20##高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。

即f（x）==。

说明：

（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：

（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；

（2）求平均变化率=；

（3）取极限，得导数f’(x)=。

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

3．几种常见函数的导数:

①  ②   ③;   ④;

⑤⑥;   ⑦;   ⑧.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。

形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|

2010高考数学复习详细资料——导数应用

知识清单

单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，

如果，则为增函数；

如果，则为减函数；

如果在某区间内恒有，则为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

3．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数?在(a，b)内的极值；

②求函数?在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．定积分

（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

基本的积分公式：

＝C；

＝＋C（m∈Q， m≠－1）；

dx＝ln＋C；

＝＋C；

＝＋C；

＝sinx＋C；

＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

（2）定积分的性质

①（k为常数）；

②；

③（其中a＜c＜b。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x＝a，x＝b（a<b），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。

如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a<b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。

课前预习

1．求下列函数导数

（1）   （2）  （3）

（4）y=            （5）y＝

2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（     ）

A．    B．   C．   D．

3．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（     ）

 （A）   （B）  （C）   （D）

4．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r  1，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于

1的式子：                             ；

2式可以用语言叙述为：                                   。

5．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是                      。

6．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（    ）

A．f（0）＋f（2）<2f（1）             B. f（0）＋f（2）£2f（1）

C．f（0）＋f（2）³2f（1）             D. f（0）＋f（2）>2f（1）

7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　   ）

A．1个        B．2个           C．3个            D． 4个

8．已知函数。（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

9．在区间上的最大值是（   ）

(A)－2        (B)0                 (C)2                (D)4

10．设函数f(x)=

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

11．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求

(I)求点的坐标；

(II)求动点的轨迹方程.

12．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

13．计算下列定积分的值

（1）

（2）；

（3）；

（4）；

14．（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。

（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

典型例题

一 导数的概念与运算

EG：如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（   ）

A. 6m/s            B. 18m/s                C. 54m/s          D. 81m/s

变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，

都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

【文】（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

【理】（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

EG：已知的值是（  ）

       A.             B. 2     C.        D. －2

变式1：（    ）

       A．－１ Ｂ．－2  C．－3   D．1

变式2：           （    ）

       A．  B．    C．  D．

根据所给的函数图像比较

变式：函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（  ） 

A.                 y          

B.                            

C.                            

D.                  O  1  2  3  4       x 

EG：求所给函数的导数：

。

变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是                 

A．(－3,0)∪(3,+∞)                     B．(－3,0)∪(0, 3)

C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)                 D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

EG：已知函数.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点处的切线的方程.

变式1：已知函数.

（1）求这个函数在点处的切线的方程；

（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.

变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(     )

A.     B.      C.       D. 1

EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

变式1：函数的一个单调递增区间是

A.    B.    C.     D.

变式2：已知函数

(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则的是                                    .

(2)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是                              .

变式3： 设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

（Ⅰ）用表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.

EG：求函数的极值.

求函数在上的最大值与最小值..

变式1： 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

变式2：已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.

变式3：若函数，当时，函数极值，

（1）求函数的解析式；

（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．

变式4：已知函数，对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。

EG：利用函数的单调性，证明：

变式1：证明：，

变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

EG： 函数若恒成立,求实数的取值范围

变式1:设函数若恒成立，求实数的取值范围.

变式2:如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q，

(1)若t已知,求切线PQ的方程   (2)求的面积的最大值

变式3:用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？

变式4:某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？

EG：计算下列定积分：（理科定积分、微积分）

变式1：计算：；

（1）；（2）

变式2： 求将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.

变式3：在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.

　

实战训练

1. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f ¢(x)的图象可能为(　)

2. 已知曲线S:y=3x－x3及点,则过点P可向S引切线的条数为(   )

(A)0                        (B)1                        (C)2                        (D)3

3. C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:.

4. 函数在下面哪个区间内是增函数（  ）.

                    

5. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于(    )

(A)6           (B)0          (C)5                   (D)1

6. 函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是(   )

(A)1，－1           　(B)3，-17                 (C)1，－17       (D)9，－19

7.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.

8. 设函数f (x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为          . 

9．（07湖北）已知函数的图象在点处的切线方程是，则              

10．（07湖南）函数在区间上的最小值是            

11．（07浙江）曲线在点处的切线方程是     9．. 已知函数

（Ⅰ）若函数图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：；

（Ⅱ）若，函数图像上任意一点处的切线的斜率为，试讨论的充要条件。

12．(07安徽)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

实战训练B

1．（07福建）已知对任意实数，有，且时，，则时（    ）

A．                 B．

C．                 D．

2．（07海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（    ）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．        Ｄ．

3．（07海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（   ）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．          Ｄ．

4．（07江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（     ）

A．                 B．               C．           D．

5．（07江西）5．若，则下列命题中正确的是（　　）

A．    B．    C． D．

6．（07江西）若，则下列命题正确的是（   ）

A．           B．           C．           D．

7．（07辽宁）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（    ）

A．0是的极大值，也是的极大值

B．0是的极小值，也是的极小值

C．0是的极大值，但不是的极值

D．0是的极小值，但不是的极值

8．（07全国一）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（   ）

A．           B．           C．            D．

9．（07全国二）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ）

A．1                    B．2                     C．3                     D．4

10．（07浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（    ）

11． (07北京)是的导函数，则的值是      

12．（07广东）函数的单调递增区间是        

13．（07江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则             

14．（07福建）设函数．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．

15．(07广东)已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．