导数知识点归纳及应用
●知识点归纳
一、相关概念
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量?y=f（x0+?x）－f（x0），比值
之间的平均变化率，即?y叫做函数y=f（x）在x0到x0+?x?x?yf(x0??x)?f(x0)?y=。如果当?x?0时，有?x?x?x极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|x?x。 0
lim即f（x0）=?x?0f(x0??x)?f(x0)?ylim=?。 ?xx?0?x
注意：
（1）函数f（x）在点x0处可导，是指?x?0?y?y有极限。如果?x?x不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。
（2）?x是自变量x在x0处的改变量，?x?0时，而?y是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤： ① 求函数的增量?y=f（x0+?x）－f（x0）； ② 求平均变化率?yf(x0??x)?f(x0)=； ?x?x
lim③ 取极限，得导数f’(x0)=?x?0?y。 ?x
例：设f(x)= x|x|, 则f′( 0)= .
lim[解析]：∵?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)|?x|?x?lim?lim?lim|?x|?0 ?x?0?x?0?x?0?x?x?x
∴f′( 0)=0
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。
相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。
例：在函数y?x3?8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标
为整数的点的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0 ( ) ?4
[解析]：切线的斜率为k?y/?3x2?8 又切线的倾斜角小于，即0?k?1
故0?3x2?8?1 解得：?3?x??88?x?3 33?4
故没有坐标为整数的点
3.导数的物理意义
?t）若物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s（。
若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。
例：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把
这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ）
A．
B． C． D． 答：A。
练习：已知质点M按规律s?2t2?3做直线运动（位移单位：单位：s）。
（1） 当t=2，?t?0.01时，求?s
?t；
（2） 当t=2，?t?0.001时，求?s
?t；
（3） 求质点M在t=2时的瞬时速度。 答案：（1）8.02（2）8.002；（3）8
二、导数的运算
1．基本函数的导数公式:
①C??0;（C为常数）
②?xn???nxn?1;
③(sinx)??cosx;
④(cosx)???sinx;
⑤(ex)??ex;
⑥(ax)??axlna;
⑦?lnx???1
x;
⑧?log1
ax???xlogae.
例1：下列求导运算正确cm，时间的是
( )
A．(x+)??1?1
x11 B．(logx)′= 22xln2x
C．(3x)′=3xlog3e D． (x2cosx)′=-2xsinx
[解析]：A错，∵(x+)??1?1
x1 x2
1 xln2 B正确，∵(log2x)′=
C错，∵(3x)′=3xln3
D错，∵(x2cosx)′=2xcosx+ x2(-sinx)
例2：设f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝ fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝
( )
A．sinx B．－sinx C
D．－cosx
[解析]：f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)=cosx，f2(x)＝f1′(x)= -sinx， ．cosx
f3(x)＝f2′(x)= -cosx， f4(x) ＝ f3′(x)=sinx，循环了
则f2005(x)＝f1(x)＝cosx
2．导数的运算法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (u?v)'?u'?v'.
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)'?u'v?uv'.
若C为常数,则(Cu)'?C'u?Cu'?0?Cu'?Cu'.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu)'?Cu'.
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分?u'v?uv'?u?母的导数与分子的积，再除以分母的平方：???（v?0）。 v2?v?
例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,f?(x)g(x)?f(x)g?(x)＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( )
A． (-3,0)∪(3,+∞) B． (-3,0)∪(0, 3)
C． (-∞,- 3)∪(3,+∞) D． (-∞,- 3)∪(0, 3)
[解析]：∵当x＜0时,f?(x)g(x)?f(x)g?(x)＞0 ，即[f(x)g(x)]/?0
∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，
又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0 故当x??3时，f(x)g(x)＜0，又f(x)g(x)是奇函数，
当x>0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0
故当0?x?3时，f(x)g(x)＜0
故选D
3.复合函数的导数
形如y=f??(x)?的函数称为复合函数。复合函数求导步骤： 分解——>求导——>回代。
法则：y＇|X= y＇|U ·u＇|X或者f?[?(x)]?f?(?)*??(x). 练习：求下列各函数的导数：
（1）y?x?x5?sinx
x2
2?; （2）y?(x?1)(x?2)(x?3); 11?x?1
1?x. x? （3）y??sinx??1?2cos2?; （4）y?4?
1
x2解：(1)∵y?
∴y′?(x??x5?sinxx2?x?32?x3?sinxx25, 3
2)??(x3)??(x?2sin3?x)???x2?3x2?2x?3sinx?x?2cosx. 2
（2） y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.
x?1（3）∵y=?sinx???cos??sinx, 2?2?2
?1?1?1y???sinx??(sinx)??cosx. 2?2?2
1
1?x?1
1?x?1?x?1?x
(1?x)(1?x)?2
1?x∴（4）y?
∴
， ?2?2??2(1?x)?y????. ??(1?x)2(1?x)2?1?x?
三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
（1）设函数y?f(x)在某个区间（a，b）可导，如果f'(x)?0，则f(x)在此区间上为增函数；如果f'(x)?0，则f(x)在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有f'(x)?0，则f(x)为常数。
例：函数f(x)?x3?3x2?1是减函数的区间为 ( )
A．(2,??) B．(??,2) C．(??,0) D．（0，2）
[解析]：由f/(x)?3x2?6x<0，得0<x<2
∴函数f(x)?x3?3x2?1是减函数的区间为（0，2）
2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
例：函数f(x)?x3?ax2?3x?9,已知f(x)在x??3时取得极值，则a=
( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析]：∵f/(x)?3x2?2ax?3，又f(x)在x??3时取得极值
∴f/(?3)?30?6a?0
则a=5
3．最值：
在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如f(x)?x3,x?(?1,1)。
（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为
最值，最值只要不在端点处必定是极值。 例：函数f(x)?x3?3x?1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是[解析]：由f'(x)?3x2?3=0，得x??1，
当x??1时，f/(x)>0，当?1?x?1时，f/(x)<0，当x?1时，f/(x)>0， 故f(x)的极小值、极大值分别为f(?1)?3、f(1)??1， 而f(?3)??17、f(0)?1
故函数f(x)?x3?3x?1在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。
●经典例题选讲
例1. 已知函数y?xf?(x)的图象如图所示（其中 f?(x)是函数f(x)的导函数），下面四个图象中y?f(x)的图象大致是
( )
[解析]：由函数y?xf?(x)的图象可知： 当x??1时， xf?(x)<0，f?(x)>0，此时f(x)增 当?1?x?0时，xf?(x)>0，f?(x)<0，此时f(x)减
当0?x?1时，xf?(x)<0，f?(x)<0，此时f(x)减 当x?1时，xf?(x)>0，f?(x)>0，此时f(x)增 故选C
例2.设f(x)?ax3?x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。
解：f?(x)?3ax2?1
若a?0，f?(x)?0对x?(??,??)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾
若a?0，f?(x)?1?0 ∴ x?(??,??)，f(x)也只有一个单调区间，矛盾
若a?0 ∵ f?(x)?3a(x?单调区间
∴ a?0且单调减区间为(??,?(?1
|a|,1
|a|) 1|a|)和(1|a|,??)，单调增区间为1|a|)?(x?1|a|)，此时f(x)恰有三个
例3. 已知函数f(x)?x3?bx2?ax?d的图象过点P（0,2）,且在点M(?1,f(?1))处的切线方程为6x?y?7?0. （Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y?f(x)的单调区间. 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2， 所以f(x)?x3?bx2?cx?2, f?(x)?3x2?2bx?c.
由在M(?1,f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0，知
?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f?(?1)?6.
?3?2b?c?6,?2b?c?3,??即?解得b?c??3. ?1?b?c?2?1.b?c?0,??
故所求的解析式是 f(x)?x3?3x2?3x?2.
（Ⅱ）f?(x)?3x2?6x?3.令3x2?6x?3?0,即x2?2x?1?0. 解得 x1?1?2,x2?1?2. 当x?1?2,或x?1?2时,f?(x)?0; 当1?2?x?1?2时,f?(x)?0. 故f(x)?x3?3x2?3x?2在(??,1?2)内是增函数， 在(1?2,1?2)内是减函数，在(1?2,??)内是增函数. 例4. 设函数f?x??x3?bx2?cx(x?R)，已知g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数。
（Ⅰ）求b、c的值。 （Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。 解：（Ⅰ）∵f?x??x3?bx2?cx，∴f??x??3x2?2bx?c。从而
g(x)?f(x)?f?(x)?x3?bx2?cx?(3x2?2bx?c)＝x3?(b?3)x2?(c?2b)x?c是
一个奇函数，所以g(0)?0得c?0，由奇函数定义得b?3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)?x3?6x，从而g?(x)?3x2?6，由此可知，
(??,
和??)是函数g(x
)是单调递增区间；(是函数
g(x)是单调递减区间；
g(x
)在x?
g(x
)在x?
?。
例5. 已知f（x）=x3?ax2?bx?c在x=1，x=?时，都取得极值。
（1）求a、b的值。
（2）若对x?[?1,2]，都有f(x)?恒成立，求c的取值范围。 解：（1）由题意f/（x）=3x2?2ax?b的两个根分别为1和? 由韦达定理，得：1?=? 则a??，b??2 1
2232ab2，?1?(?) 333231c23
（2）由（1），有f（x）=x3?x2?2x?c，f/（x）=3x2?x?2 当x?[?1,?)时，f/(x)?0，当x?(?,1)时，f/(x)?0，当x?(1,2]时，
f/(x)?0，
2
3
12
23
当x??时，f(x)有极大值
23221
?c，f(?1)??c,f(2)?2?c， 272
∴ 当x?[?1,2]，f(x)的最大值为f(2)?2?c 对x?[?1,2]，都有f(x)?恒成立，∴2?c?， 解得0?c?2?1,或c??2?1,
例6. 已知x?1是函数f(x)?mx3?3(m?1)x2?nx?1的一个极值点，其中
m,n?R,m?0，
1c1c
（I）求m与n的关系式； （II）求f(x)的单调区间；
（III）当x???1,1?时，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.
解：(I)f?(x)?3mx2?6(m?1)x?n因为x?1是函数f(x)的一个极值点,
所以f?(1)?0,即3m?6(m?1)?n?0，所以n?3m?6
?2??
（II）由（I）知，f?(x)?3mx2?6(m?1)x?3m?6=3m(x?1)?x??1????
?
?
m??
当m?0时，有1?1?
如下表：
x
f?(x) f(x)
2
，当x变化时，f(x)与f?(x)的变化m
2??
??,1??? m??
?0
1?
2
m
2??1?,1? ?
m???0
1 0 极大值
?1,???
?0
0 极小值
调调递减 单调递增 单调递减
2?故有上表知，当m?0时，f(x)在???,1???单调递减， ?m?
在(1?2,1)单调递增，在(1,??)上单调递减. m
（III）由已知得f?(x)?3m，即mx2?2(m?1)x?2?0
又m?0所以x2?(m?1)x?
① 设g(x)?x2?2(1?)x?
立， 22??g(?1)?0?1?2???0所以?解之得 ??mm?g(1)?0???1?0
4??m又m?0 3
4所以??m?0 31m2，其函数开口向上，由题意知①式恒成m2m222?0即x2?(m?1)x??0,x???1,1?mmm
?即m的取值范围为??,0?? 3??4
例7：（2009天津理20）已知函数f(x)?(x2?ax?2a2?3a)ex(x?R),其中a?R
（1） 当a?0时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率；
（2） 当a?时，求函数f(x)的单调区间与极值。
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
解：（I）当a?0时，f(x)?x2ex，f'(x)?(x2?2x)ex，故f'(1)?3e.
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e. 23
（II）f'(x)??x2?(a?2)x?2a2?4a?ex.
令f'(x)?0，解得x??2a，或x?a?2.由a?
2
知，?2a?a?2. 3
以下分两种情况讨论。
（1）若a＞，则?2a＜a?2.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
23
所以f(x)在(??，?2a)，(a?2，??)内是增函数，在(?2a，a?2)内是减函数.
函数f(x)在x??2a处取得极大值f(?2a)，且f(?2a)?3ae?2a. 函数f(x)在x?a?2处取得极小值f(a?2)，且f(a?2)?(4?3a)ea?2.
（2）若a＜，则?2a＞a?2，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
2
3
所以f(x)在(??，a?2)，(?2a，??)内是增函数，在(a?2，?2a)内是减函数。
函数f(x)在x?a?2处取得极大值f(a?2)，且f(a?2)?(4?3a)ea?2.