中学生数学反思能力的培养

中学生数学反思能力的培养

摘  要

中学生数学反思能力是中学生在数学学习反思活动过程中表现出来的一种稳定的个性心理特征。而长期以来，数学课堂教学偏重于对数学教学方法、数学模式的研究，在学生大量获取知识的同时，忽视了对学生数学反思能力的培养。

本文从中学生数学反思能力的内涵、培养中学生数学反思能力的意义以及如何培养中学生数学反思能力等几方面进行研究，运用数学学习中的具体实例进行分析，对如何培养中学生数学反思能力进行了探索。提高中学生数学反思能力有助于学生在反思中成长，在反思中真正的学会学习。

关键词：中学生数学；反思能力；培养

Discussing THE MATHEMATIC RECONSIDERING ABILITY OF MIDDLE SCHOOL STUDENT

ABSTRACT

 Middle school students’ mathematic reconsidering ability is one kind of stable individuality psychological characteristics which displays in mathematic reconsidering process. But since long ago, mathematic instruction has stressed the mathematic teaching method, the mathematical model research and neglected the students’ mathematic reconsidering ability while the students raising massive knowledge acquisition.

This paper researches the meaning of mathematic reconsidering ability of middle school students and its significance, how to train middle school students mathematic reconsidering ability and other faces. The paper applies concrete examples to analysis in mathematic studying and probes the ways of cultivating middle school students the mathematic reconsidering ability. Improving the middle school students’ mathematic reconsidering ability is helpful for a student to grow up in reconsideration and learn to study really.

Key words:Middle-school student mathematics; reconsidering ability; raise

目  录

1 前言-------------------------------------------------------------------------------------------------1

2 中学生数学反思能力的内涵-------------------------------------------------------------------2

2.1 中学生数学反思能力的定义--------------------------------------------------------------2

2.2 中学生数学反思能力发展的一般特点--------------------------------------------------2

2.3 影响中学生数学反思能力发展的因素分析--------------------------------------------3

2.3.1 教学方法-------------------------------------------------------------------------------3

2.3.2 教材呈现方式-------------------------------------------------------------------------3

3 培养中学生数学反思能力的意义-------------------------------------------------------------5

4 如何培养中学生数学反思能力----------------------------------------------------------------6

4.1 数学教学中反思能力的培养--------------------------------------------------------------6

 4.1.1 创设问题情境，在“思维失衡”中培养反思能力--------------------------------6

4.1.2 再现建构过程，在“知识整合”中培养反思能力----------------------------7

4.2 数学解题中反思能力的培养--------------------------------------------------------------9

4.2.1对题意理解的反思--------------------------------------------------------------------9

4.2.2 对解题思路形成的反思------------------------------------------------------------10

4.2.3 对解题途径方法的反思------------------------------------------------------------11

4.2.4 对解题过程的反思------------------------------------------------------------------13

4.2.5 对解题结果的反思------------------------------------------------------------------14

5 结论-----------------------------------------------------------------------------------------------17

参考文献--------------------------------------------------------------------------------------------18

1 前 言

长期以来，课堂教学偏重于对教学方法、教学模式的研究，在使学生大容量获取知识的同时，忽视了对学生反思意识和能力的培养。加之受功利性极强的“应试教育”的影响，“重结果，轻过程”的现象普遍存在，这样就更谈不上引导学生对知识产生的过程及知识本身进行反思，往往只是以知识传授为中心以知识再现为目的，于是“知其然而不知其所以然”，往往只是机械的记忆与简单的模仿，这种现状极不适应当前时代对人才培养的要求，严重地阻碍着学生创新精神的培养。而数学反思是认知者对自身数学思维活动过程和结果的自我觉察、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节。数学反思能力就是在数学反思活动过程中反映出来的一种稳定的个性心理特征，是元认知在数学思维中发挥作用的基本形式。因此，数学反思能力中的核心就是进行数学反思，在数学学习中要努力培养学生的数学反思能力。

2 中学生数学反思能力的内涵

                      

2.1 中学生数学反思能力的定义

中学生数学反思能力是中学生在数学反思活动过程中表现出来的一种稳定的个性心理特征。从理论的高度思考与研究数学反思能力的本质及其相关问题，对数学教学与学习有着十分重要的作用与价值。由于数学反思能力与反思有着天然的联系，所以，我们先讨论反思的含义。

关于反思的内涵。反思，西方哲学中通常指精神的自我活动与内省的方法。法国哲学家笛卡尔（Rene Descartes）说，“我思故我在”。否定“我思”，就是“反思”。“反思”发展到现在，已经成为一种普遍的思维方式。于是，当代学者周德义对“反思”概念作了如下界定：反思是对思维的思维。反思是一个内在否定的认识过程，反思是一种辩证的思维方式，反思是一种具有创新意义的理想境界，反思是过渡并到达真理的桥梁。

尽管在不同时期和不同场合人们理解和应用反思的含义不同，但对反思所思考问题的角度以及反思的对象和反思的目的的认识是共同的。反思的对象是思维本身，而反思的目的是为了指导未来的思维活动。因此，我们认为从元认知的角度来研究数学反思和数学反思能力，能比较全面地透视数学反思及数学反思能力的本质。因此数学反思能力就是认知者在数学思维活动中对自己数学认知过程的自我意识、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节的能力。它是以反思的体验、反思的知识和反思的技能为基础，并在对数学认知过程的评价、控制和调节中显示出来的高层次思维活动，它对数学认知活动起指导、支配、决定、监控的作用[1]。

2.2 中学生数学反思能力发展的一般特点

数学反思能力的发展与数学思维水平有关。尽管初中生开始能够有意识地调节、支配、检查和分析自己的思维过程，在学习上和生活上有更大的独立性和自觉性，但批判性还是不够的，容易产生片面性和表面性；在运算过程中虽能自觉地检查和发现错误并进行纠正，但是不善于寻找错误的原因，也不能及时地调整解题步骤和方法；运算的正确率较高，但不能正确地选取一些结论和有用条件；在推理过程中虽能占用数学材料，但推理的目的性不强。抽象逻辑思维本身就是一种反思的思维。学生只有在对抽象概括的数学材料学习过程中不断地反思自己的思维过程，调整思维方法，纠正思考错误，才能顺利实现这一过程，而在这一过程中反思的能力也就逐渐地成熟起来了。学生的反思能力的发展主要经历以下几个发展阶段。

(1) 日常反思阶段：是指认知主体对认知活动无意识地监控、调节，反思的目的性极弱的阶段。

(2) 被动反思阶段：是指认知主体对认知活动中出现的困惑问题被迫进行反思的阶段。

(3) 主动反思阶段：是指认知主体对认知活动主动地有意识地监控、调节的阶段

(4) 自觉反思阶段：是指认知主体对认知活动过程的监控达到了不假思索、油然而生的境界，即达到了“自我意识”的阶段。

一方面，由于反思能力的发展受到其他能力的限制，另一方面，反思能力是一种较高层次的认知活动，其发展本身也比较迟，还与学生的认知风格、学生的反思的知识和技巧的掌握情况，以及教师的有意识培养等分不开。

2.3 影响中学生数学反思能力发展的因素分析

影响数学反思能力发展的因素众多，有其内在与外在因素之分，内在因素主要指认知主体的认知结构、智能结构、心理特征等；外在因素主要指教学环境、学习环境、人际交往等。影响中学生数学反思能力发展的主要因素（主要指外在因素）有以下两方面。

2.3.1 教学方法

教师大都采用传统的方法上课，想做到点滴不漏，对概念、公式的讲解非常细致，但在解决问题时往往容易忘记有关的要求，教学效果并不理想。究其原因，传统教法是以传授正确的知识为主，对知识的理解力求一步到位，很少暴露自己对问题的思考过程，更少暴露通过反思错误想法从中调整思路，最终解决这个问题的思维过程；问题的解法选择最简单的方法传授，很少从几种不同的方法中去选择、比较、反思。这样的教学中，师生的交流很少，教师不示范反思的方法、技巧，学生没有反思的机会和时间，也无法模仿学习反思，造成学生反思性情景知识的缺失。

2.3.2 教材呈现方式

数学教材的编写者一般采用学生易于理解、便于接受的方式呈现，即所用材料都是经过教育心理学理论加工而成的：省去了知识的形成过程，问题的条件和结论都是经过抽象，理想化形成的，推理也是正确的。因此当学生阅读时只要顺着编写者的思路就基本上理解了，但是换个情景，则往往束手无策，究其原因，问题的解决方法是编写者强加给学生的，不是学生通过自己的探索思考得到的，因而不能顺利地纳入到自己的知识结构中去。

总之，从影响数学反思能力形成的因素分析来看，学生反思能力缺失主要是缺乏反

思的动力和反思的方法、反思的时间造成的。另外，缺乏毅力和对反思的误解也是不可忽视的因素。

3 培养中学生数学反思能力的意义

反思是个体，乃至整个群体成熟的一个重要标志。人类自古以来就具有反思意识，在我国古代有“反求诸己”、“扪心自问”、“吾日三省吾省”等至理名言。近年来，有关“反思”的研究日渐增多，但绝大部分是从哲学、心理学、教育学的视野中研究得出的一般性结果，或在普遍性结论中辅以学科例子的佐证。而以数学为直接研究对象，对中学生数学反思能力培养的研究则较少。数学学习中的反思、反思能力是近年来越来越受关注的一个课题。《普通高中数学新课程标准（实验）》则把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题，不断地经历直观感知，反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”，同时提出，评价应关注学生“能否不断反思数学学习过程，并改进学习方法”，“教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程” [1]。

所谓反思，就是从一个新的角度，多层次、多角度地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考。反思性学习就是学习者对自身学习活动反思的过程，以及活动过程中所涉及的有关的事物、材料、信息、思维、结果等学习性的反向思考，通过反思性学习可以帮助学生学会学习，可以使学生的学习成为探究性、研究性的活动，增强学生的能力，提高学生的创造力，促进他们的全面发展。因此在数学教学中要帮助学生明确反思的目的和意义，使学生体验到学习策略或方法不同，学习效果就不一样，逐步使他们认识到数学学习同时存在认知和元认知过程，数学反思的目的是最大限度地提高前一段的学习效果，这样可使他们自觉、积极去开展反思活动，不断提高水平。

小至个人，大至国家，都是在不断的反思与总结经验中逐渐成长、壮大，一个人如果在成长过程善于反思、总结经验、扬长避短，那么他一定比有同样经历的人有更加丰硕的收获。在数学教学中注重学生反思能力的培养，有利于学生提高主体意识，自主地进行学习，有效地进行自我教育，在人生的成长过程中不断提高各方面素质，不断完善自己。

4 如何培养中学生数学反思能力

4.1 数学教学中反思能力的培养[2]

4.1.1 创设问题情境，在“思维失衡”中培养反思能力

4.1.1.1 场境引发法 

教师可以通过实验,多媒体,编制故事等手段来展示数学知识的产生过程,让学生亲临问题的焦点,面对思维的挑战,寻求解决的方法。教育心理学家指出：“在愉悦的情境中动手实践，可以训练学生快速反应能力，易于促发学生的学习源动力，而且可以更有效的促发学生对知识的认知要求并迸发出强烈的欲望、浓厚的热情。”数学学科的学习中，始终会存在一些难以理解的概念、命题或定理公式等。以往较传统的方法是通过反复的操练，利用熟能生巧的方法，形成机械式的技能，结果教师教得累，学生学得累，效果较差。不仅不能激发出学生对数学学科学习的愉悦情感，而且促发了学生数学学习的反感向情节。如果能通过创设合适的实践情境，学生就会兴趣盎然，达到事半功倍的效果。

例如：八年级（下）相似多边形这一节，学生对相似多边形所必备的两个条件往往理解的不是十分深入，常常会凭借直观感觉做出判断。为了促进学生对相似多边形的定义有更深层次的理解，可以设计了这样的一个课堂活动情境：首先提出问题，请同学们观察黑板的外周矩形和内周矩形，请问这两个矩形相似么？学生们兴奋异常，但观点各异，互不相让。这时适时推进情境的深入，请同学们动手要在纸上画一画、量一量然后依据相似多边形的定义比较一下，再做判断，看看到底谁的观点正确。学生们纷纷动手实践，并在实践过程中不断的进行交流，这一活动过程充分激发出学生对数学学习的源动力，并在此过程中进一步加深了对知识的掌握深度。认识到相似多边形相似的两个必不可少的条件（对应边成比例，对应角相等）的重要性。同时让学生感受到，在数学王国内单靠直观感受是不行的，必须通过动手实践和理论证明，才能获取最有价值、最真实、最准确的信息和知识。

4.1.1.2 矛盾揭示法

良好的问题情境在于它能有效地引起学生认识的不平衡，使其产生矛盾心理。通过精心设计，巧妙揭露学生已有认知结构与数学知识结构之间的矛盾，进而去寻找解决问题的途径。通过制造矛盾打开学生的心扉，激发学生去思考，逐步引入佳境。

例如：在讲授"有理数乘法"时，先复习小学学过的正有理数的乘法：，就是个相加，接着提出问题：是什么意思呢？总不能说是负个相加吧？那又该如何理解呢？于是产生疑问，教师利用矛盾冲突，激发学生思考，逐步诱导。前面已学过可用正负数表示两个相反意义的量，在学有理数加法时是在数轴上进行的，如向东走米再向西走米，两次一共向东走米，即，那么，有理数的乘法是否也能在数轴上进行呢？充分激发了学生的求知动机与欲望之后，教师开始讲援有理数的乘法。

4.1.1.3 出其不意法 

创设与学生的认知结构不和谐的新问题或将学生原有认知运用于陌生情景中,使学生在惊异之中进入思维状态,从而产生对新知识的期待和渴求。

例如：在教“按比分配”时，一上课，把学生带入了帮体育老师分球的情境中。“体育老师想请你们帮帮他的忙，给三年级的学生分篮球，王老师有个球，要分给男、女两组同学进行练习，你们看怎么分？”学生听到题，纷纷议论起来，交流后，基本上都同意男、女各分个。这时，我说：“你们这种分法王老师试过，可三年级的男同学非常不满，说这样不合理。他们说，我们个人，怎么和她们个人分的一样多呢？老师太偏向了。那你们觉得怎样分才算公平呢？”学生们又陷入了沉思，经过讨论，有学生提出建议：按男、女学生人数的多少来分，多的多分点，少的少分点。有的学生起来争议：那到底多分多少呢？我及时抓住时机：“对，多的要多分，少的要少分，那么有没有一定的依据呢？”又经过一番思考后，学生们自己总结出“应按人数的比来分配，就比较合理了”。  

4.1.2 再现建构过程，在“知识整合”中培养反思能力

4.1.2.1 反思知识点的形成过程

在知识点的形成过程中包括对概念的反思[3]和对定理法则的反思

概念是思维的基本单位,它反映了一类事物的本质特征。数学概念是整个数学知识机构的基础,理解与掌握数学概念是学好数学的关键。而在平时的教学中,我们经常只注意培养学生思维的逻辑性和严谨性,而忽视了学生原有知识结构的差异性和接受新知识的层次性,强制性地把新概念注入学生头脑,置学生于被动地位,使思维呈依赖性,因而学生只能消极被动地接受概念而未能内化,知其然而不知起所以然,无法达到有意义,有成效的理解和应用。学习概念是为了运用概念,通过不断反思,理解概念的内涵和外延,才能在解题中正确运用概念,而通过正确运用概念去解决问题,可使学生更深刻地认识概念,掌握概念。不要把概念仅仅看作一个名词,其本质上是一种数学的观念,是一种处理问题的数学方法。荷兰数学家弗赖登塔尔说：“学习数学唯一正确方法就是实行‘再创造’，学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。”数学中很多的概念、定理、公式需要学生实验、操作去发现，引导学生对操作过程进行反思，可以促进学生的“再创造”。

例如：在教学“直线、射线和角”一课时，探究角的概念：猜测过一点可以画多少条射线？验证——画一画验证猜测；结论——可以画无数条射线。此时教师并没有就此罢手：我们过一点画两条射线试试看是个什么图形？学生操作后发现：是一个角。反思：角是我们已经认识过的图形，请大家回忆，刚才这个角是怎么画出来的？生回想了一下：过一点画两条射线。学生反思后得出的结论已经和书上的结论几乎一致了。在角的概念的形成过程中“反思”起了重要的作用，没有对操作过程的反思，学生就难以用自己的语言说出角的形成过程、表述角的概念。

波利亚说过,对于书上的定理我们不要急于一开始就去记住它,运用它,而是要怀疑它,从反面去否定它,这样做虽然常常徒劳但并非是无益的,因为这样做的结果能使我们真正理解它,并由此得到许多意想不到的收获,远比直接运用它有益得多[3]。

例如：教学"三角形的内角和"时，可以让学生用下列每组的三个角（1）,,;（2）,,;（3）,,;（4）,,;（5）,,分别画成一个三个形。（1）、（2）、（3）组，学生很快就画成了三角形，而（4）组和（5）组，学生无论如何也画不成三角形。这就促使学生反思：什么样的三个角才能组成一个三角形呢？三角形的三个内角究竟有什么规律呢？学生在求知欲的驱使下，自学地进行反思，得出了三角形三个内角的和等于这一规律。

4.1.2.2 反思知识点的内在联系

数学学习的过程是知识的同化和迁移的过程,而反思是知识同化和迁移的核心步骤。我们可以通过反思来挖掘知识间的内在联系,促进知识的同化和迁移,帮助学生整合知识结构,建构知识体系。如把一个复杂问题分解成若干个相互联系的简单问题或步骤，使学生易于接受。也就是说，教师应当依次提出一些适合学生已有知识结构和心理发展水平的小问题，引导学生发挥自己的认识能力去发现和探求有关解快问题的依据，在解决所提出的一个个小问题的过程中一步步地克服困难，直至找到解决问题的方法。

例如：学过"简易方程"和"绝对值"后，对解方程这道题有较大的难度，若将它分解为几个有关联小问题，把问题简单化。①,,与的绝对值都是。②,或，即绝对值是的数是或。③,把看作问题②中的,于是或。同理，对于方程，同样有：或，由得。由得，不妨将或代入原方程检验，可知或是原方程的解。

4.2 数学解题中反思能力的培养[4]

4.2.1 对题意理解的反思

题意理解就是从题目中获取达到解题目标的信息,即明确条件是什么,结论是什么,分析条件与条件,条件与结论之间有什么联系,并从中获得从何处入手,向何方前进的信息[5]。对题意的理解过程进行反思,就是在解题活动完成以后,对自己最初理解题意过程中是怎样"获取信息"进行再思考,比如获得过哪些信息?遗漏过哪些信息?为什么会遗漏这些信息?题中哪些信息自己比较清楚?哪些信息自己还不清楚?为什么不清楚?对条件与结论之间的某些关系为什么不能发现?关系的转化是否有错误?为什么会发生这样的错误?以后在理解题意时应该怎样去做?等等,不要小看对理解题意的反思,通过反思能使学生学会在理解题意方面寻求规律,从而积累更多的解题经验。

例如：“水是生命之源”，我市自来水公司为了鼓励企业节约用水，给以以下规定收取水费：如果用户每月用水不超过吨，那么每吨水价按元收费；如果用户每月超过吨，那么超过部分按每吨元收费，另外，每吨用水加收元的城市污水处理费。市自来水公司收费处规定用户每两个月交一次用水费用（用水费用=水费+城市污水处理）某企业每月用水超过吨，以知三、四两个月一共缴交用水费用元，问：该企业三、四两个月共用水多少吨？这两个月平均水费每吨多少元？

解：设该企业三、四两个月共用水吨，依题意得：

解得： 

答：该企业三、四两个月共用水吨，这两个月平均水费每吨元。

但相当部分考生却把方程列为：导致答案错误。还有一些考生根本不理解题意，糊乱列方程或干脆没作题。学生失分的原因之一并不是缺乏相关的数学知识，而是缺乏解答数学应用题的方法与能力。和纯数学问题相比，数学应用题的文字叙述更加语言化，更贴近现实生活，题目也比较长，数量较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常常感到很茫然，不知从何下手，产生了惧怕数学应用题的心理，甚至导致怯场，题目都读不下去，最终只好放弃或乱写一通。针对这一问题，笔者在学生中展开了调查了解，据调查结果分析：绝大多数的学生数学阅读能力低下，未能正确理解题意，是造成解题障碍的主要原因。

4.2.2 对解题思路形成的反思

解题思路的形成就是把从题目中捕捉的有关信息与从储存机构中提取的有关信息结合起来,进行加工重组与再生的,具体地说,就是回忆自己从解题开始到解题结束的每一步思维活动,自己在探求思路的形成过程中有哪些成功与失败的地方等等,长期坚持这样的反思,就可以总结出带有规律性的经验,其中有的是解题策略,有的是解题的元认知知识,还有是非认知方面的东西,它们都是今后解题的行为指南,另外,这样的反思有利于自己思维监控能力的提高,更是一种学会学习能力的培养。

例如：等比数列中,,,求。

解：，而，

所以，所以。

反思：开始是这样想的，要求，可用等比数列的求和公式但要求，那就要对公式进行讨论，而又有三个量在式中，思维上感觉可能求解有困难，尝试着写出来，当时，检验不合题意；当时，不知如何求解了，思维受阻，用整体解法，两式相除得，因为，所以。

反思：为什么不能迅速找到简捷的解题途径？后来导致解题简单的原因是什么？后来没有用上等比数列的求和公式，避开了讨论，这道题当然还有其他的解题途径。

在解完一道题后，引导学生对解题思路进行反思，看能否根据该题的特点进行多角度的思考、联想，寻找各种思路，这还有助于培养思维的广阔性。

4.2.3 对解题途径方法的反思

4.2.3.1 反思解题方法本身的优劣,

反思解题方法本身的优劣，不仅能对知识的形成发展过程、解题思维过程有一个更清楚的认识，还有利于知识的进一步巩固和深化。

例如：二次方程两实根的平方和为，两根和为，试求的值。

对于此题，很多学生在练习时，没有清晰的思路，有些学生考虑了根与函数的关系，虽然能解出此题，但过程较为繁琐。于是在点评时，鼓励大家反思题目已知及所求目标的特征，比较所求目标与方程,就会发现它们中、、出现的顺序完全一致，只是目标中的系数为，方程中的系数为，而从到的最简单的方法就是加法。经过如此反思、探索，基础较好的学生马上顿悟过来，为什么不利用方程根的定义来解决这一问题呢？于是得到如下简捷的求法。

解：设方程的两根分别为,则有  ①， ②，

式①+式②得：,而由已知得,

4.2.3.2 反思解题方法的多样性

“欲穷千里目，更上一层楼”。解题过程是这样一个“三位一体”的工作：有用捕捉、有关提取、有效组合。很多数学问题有多种解法,解题后要从多角度思考是否还有其它解法,如能认真分析解题过程有没有思维回路，哪些过程可以合并或转换，有没有更好的解法，可以开拓思路，养成“从优”、“从快”的解题思维方式.通过一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。适当的一题多解，可以激发去发现和去创造的强烈欲望，防止思维定式,克服思维的负迁移,通过加深对所学知识的深刻理解，训练对和的娴熟运用，锻炼思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，达到沟通新旧知识，各个知识体系之间联系的目的，使所学知识融会贯通，解题思路更加开阔，解题过程更加合理。从而培养的思维品质，发展的创造性思维。如在复习解方程组时一题有相同解的二元一次方程组。

例如：若关于、的方程组和有相同的解，试求、的值。

大部分学生在解题时都想到了先解两个关于、二元一次方程组，解法如下：

解一：分别解两个方程组，得它们的解为: 和

由于两个方程组的解相同，所以有解之得： 

此解法是根据解方程组的步骤先求出原方程组的解，再由相同的解的意义构造出、的方程组，求出、的值。其思路自然，但运算较繁，而且很多学生不习惯解字母系数方程。

于是趋势打铁，让学生反思方程组解的意义，于是通过学生的反思、探索，得到了如下解法：

解二：由两个方程组的解相同，所以根据方程组的解的意义有：

由解得 再分别代入

求得：        

此解法巧用了方程组的意义，得到一个四元一次方程组，求出、的值，其思路巧妙、运算简捷，既使方程组解的概念得到了巩固，又优化了解题，使学生思维的发散性、灵活性得到了培养，解题能力得到了发展。

4.2.4 对解题过程的反思

4.2.4.1 在相似处求反思

学生的解题过程实质上是一个心智活动过程。学生除了自身知识所限外，还不同程度地受一定的心理因素制约。如心理定势的反作用使解题时学生经常机械地照搬过去的经验去解决类似的问题[6]。缺乏思维的灵活性、机敏性、创造性从而导致解题迷茫或失误。如在学习了一元二次方程和分式方程后补充了一例。

例如：已知关于的方程只有一个实数根，求的值和这个实数根。

错解：把原方程化为①，因为方程只有一个实数根，所以，由，得：，把代入方程①得：，解得：，经检验：，为所求。

通过学生对原方程只有一个实数根的理解的反思，发现上解中去分母后的一元二次方程有一个实数根，只考虑了有两个实数根的情况而忽略了另一种情况：化简后的一元二次方程有两个不同的实数根时，只要其中一个根是原方程的增根，那么对原方程来说，仍只有一个实数根所满足它。因此，正确的解法应进一步补充：当有一增根时，由方程①得：，此时由可解得另一根；当有一增根时，由方程①得：，此时由可解得另一根。

通过此例的反思训练，使学生在纠正错误的过程中巩固了基础知识，理解基本概念的本质，从而明确心理定势会阻碍思维的发展，知道解题时要多层面、多角度地去观察、尝试数学问题，有时可以反客为主，有时可以以退求进，真正克服思维定“死”。

4.2.4.2 在多解处求反思

在多解处求反思，提高思维的灵活性、广阔性。

例如：底面半径为的圆柱形油桶横放在水平地面上（如图），向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为多少？

解得后的结果为或。

因为桶中的油面可以在半桶油的上面也可以

在半桶油的下面。                                  

而在实际计算当中经常有些同学会丢解这就应该反思在解题过程中的细心程度。

4.2.5 对解题结果的反思[7]

失败不是成功之母，检讨失败才是成功之母。”而检讨失败就是反思。 学生在解题中出现的各种错误，主要缘于知识的缺陷和能力上的不足。解题之后，要不断地探究问题的知识结构和系统性。能否对问题蕴涵的知识进行纵向深入地探究？能否加强知识的横向联系？把问题所蕴涵孤立的知识“点”，扩展到系统的知识“面”。通过不断地拓展、联系、加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性。

4.2.5.1 反思结果的正确性

著名数学教育家波利亚说：“聪明的人从结果开始”。通过对结果的反思，能发现和纠正运算中的失误之处，或对解题合理性进行检验，找到症结所在，然后做出适当的补充和调整。

由于在解题的过程中，可能会出现这样或那样的错误，因此在解完一道题后就很有必要进行审查自己的解题是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否特殊代替一般，是否忽视特例，逻辑上是否有问题，运算是否正确，题目本身是否有误等。这样做是为了保证解题无误，这是解题后最基本的要求。教学中应有意识地选用一些错解或错题，进行解题后反思，使学生真正认实到解题后思考的重要性[8]。

例如：用一块长厘米，宽厘米的长方形薄铁片在四周截去四个大小相同的小正方形，做成一个底面积为平方厘米的没有盖的长方体的盒子，求截去的小正方形的边长为多少？

解：设截去的小正方形的边长为，根据题意得：

整理得：

解得: ,

(有些同学做到这里就会以为做完了，但是他们没有注意到当时   这不符合客观实际，因此要求学生在做完题之后应反思结果的正确性。)

当时   ,

当时   ,（舍去）

答：截去的小正方形的边长为厘米。

4.2.5.2 反思结果的完备性

解题结果的完备性包含两个方面：一是指结论的正确性；二是指命题结论的进一步推广。在结论完备性的反思过程中，学生应向自己提问，得到的结论正确吗？是否遗漏？有没有多余的解？结论还可以加强吗？命题可以推广吗？这些问题的逐一解决，十分有利于学生探究能力的培养[9]。

例如：在学习三角形三线（高线、角平分线、中线）这个知识点时，很多学生都认为这个知识点太简单，“三角形的三条高所在直线、三条角平分线以及三条中线分别相交于同一点，”“等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线合一”，早已烂熟于心，但一解题还是要出错。

例如：已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角等于多少？

错解：，， 

分析：错误的原因就是学生没有认真理解“三线”这个知识点，他们认为“三线”都在三角形内部。通过学生反思、讨论，最终对“三线” 这个知识点有了进一步理解，发现三角形的内心（即角平分线的交点）肯定在三角形内部，三角形三条中线的交点也肯定在三角形内部，但三条高线所在直线的交点可能在三角形内部，也可能在外部或其中一个顶点上，于是得出了正解。    

解：（1）当是锐角三角形时（如图）

，， 

（2）当为钝角三角形时（如图）

，，,

通过此题的进一步反思，学生们又可以发现了三角形的外心（即三边垂直平分线的交点）也有三种可能的位置。

4.2.5.3 反思结果的合理性

解数学题，有时由于审题不确，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，即学生解数学题，不能保证一次性正确和完善。所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成是赶任务，解完题目万事大吉，头也不回，扬长而去。由此产生大量谬误，应该引起重视，加以克制，引以为戒。如、结论荒唐，引为笑柄。、以特殊代替一般。、臆造“定理”，判断无据，以日常概念代替科学概念。以上常见的错误，不胜枚举。由此可见，解题反思的积极意义及其重要性必须引起师生在教学中的足够重视。

例如：为何值时，二次方程有两个实数根？

错误的解法： 由判别式，可得，

即得（ 注意在中，应排除，因为它是二次方程。）

所以正确的解是。

5 结 论

一个人如果在成长过程中善于反思、总结经验，那么他一定比有同样经历的人有更加丰硕的收获。数学教学在这方面大有可为，在数学教学中如果重视学生反思能力的培养，通过反思，如方法对、效率高，则学习劲头更足；而当学习活动出现偏差且到一定的程度，通过反思则能予以纠正，甚至暂时中止学习，避免做无用功。反思有利于学生提高主体意识，自主地进行学习，有效地进行自我教育，在成长过程中能不断提高各方面的素质，不断地完善自己。

学习数学的方法因人而异，数学反思性学习是学习数学的一种重要方法，但由于时间原因，中学生学习数学过程中反思也是有限的，不能只顾学习的反思而停滞不前，应当在反思中不断学习新知识，在学习新知识中不断反思。同样培养学生的反思意识和能力是摆在每一位教师面前的新课题，它需要教师在不断教学反思过程中探索反思教育的最佳途径和方法。“我思故我在。”反思能力的养成激发了学生不断再学习的强烈动机，反思过程拓展了学生的视野，提升了学生学习的能力。相信我们的学生会在反思中成长，在反思中真正的学会学习。

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