用扭摆法测定物体的转动惯量

刚体的转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特性的一个物理量。它与刚体的形状、总质量、质量分布以及转轴的位置有关。如果刚体是由几部分组成的，那么刚体总的转动惯量J就等于各个部分对同一转轴的转动惯量之和，即

             J= J₁+ J₂+ ······

对于形状简单的匀质物体，可以直接计算出它绕定轴转动时的转动惯量。对于形状比较复杂或非匀质的物体，则多采用实验的方法来测定，如电机转子、机械部件、钟表齿轮、枪炮弹丸等。

转动惯量的测量，一般都是使物体以一定的形式运动，再通过表征这种运动的物理量与转动惯量的关系，来进行转换测量的。 本实验使物体扭摆转动，由对摆动周期及其它参数的测量而计算出物体的转动惯量。这种方法不仅仪器简单、操作容易，而且结果也比较准确。

[实验目的]

1. 熟练掌握直尺、游标卡尺、数字式电子天平的使用；
2. 熟悉扭摆的构造及使用方法，测定扭摆的仪器常数（弹簧的扭转系数）K；
3. 测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比较；
4. 验证转动惯量的平行轴定理。

[仪器与用具]

扭摆装置及其附件（塑料圆柱体，金属空心圆筒，实心球体，金属细长杆等），转动惯量测试仪，数字式电子天平，直尺，游标卡尺。

转动惯量测试仪说明：

1. 开机后摆动指示灯亮，功能显示窗显示“P1”,数据显示窗显示“0000”，因本仪器的内部单片机设置了自动复位功能，所以不会出现死机现象。方式设定键“转动”和“摆动”键，功能选择键（左边的一组↑、↓键），数据设置键（右面一组箭头键）以及“清零”、“执行”键分别有效，“记时”指示灯工作时亮。开机默认状态为“摆动”，默认周期数为10，测量次数为3，执行数据皆空为0。

图1  QS-R型转动惯量测试仪面板图

1. 功能选择

按“转动”“摆动”键，可以选择摆动、转动两种功能（开机默认值为摆动）。

1. 置数

按左面一排的箭头键，对“重复次数”（周期数）和“测量次数”进行选择，选“重复次数”（其左面的指示灯亮）时显示“n＝１０”，按右面“↑”键，周期数依次加1，按“↓”键，周期数依次减1，周期数只能在1—20范围内任意设定。选“测量次数”时，显示“n=3”，按“↑”，测量次数依次加1，按“↓”，测量次数依次减1。各参数一旦予置完毕，除再次置数外，其它操作均不改变予置的参数。

1. 执行

将测量次数和重复次数选定后，按左面的“↓”，选定“测量”，然后将刚体水平旋转约90度后让其自由摆动，按“执行”键，仪器的两表头分别显示“P1”“000.0”，当被测物体上的挡光杆第一次通过光电门时开始计时，同时状态指示的“计时”灯点亮。随着刚体的摆动，仪器开始连续计时，直到周期数（重复次数）等于设定值时，停止计时，计时指示灯随之熄灭，此时仪器显示第一次测量的总时间。重复上述步骤，可进行多次测量。本机设定重复测量的最多次数为5次，即（P1、P2、P3、P4、P5）。执行键还具有修改功能，按执行键可重新测量数据。

1. 查询

按“查询”键，可知每次测量的周期（C1-C5）以及多次测量的周期平均值CA，如没有数据，则每次的总时间数显示为“0000”，周期数不显示。

[实验原理]

                  图2  扭摆的构造及光电探头

扭摆的构造如图2所示，在其垂直轴1上装有一个薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴1上可以安装各种待测物体。垂直轴与支架间装有轴承，以减小摩擦力矩。将待测物体装在轴1上，在水平面内转过角度后，在弹簧的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。根据胡克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度 成正比，即

                    M=-K　　　　　　　　　　　（1）

式中K为弹簧的扭转系数。根据转动定律

M=Jß

式中J为物体绕转轴的转动惯量 ，ß为角加速度，有

ß=                       （2）

令  ，且忽略轴承的摩擦阻力矩，由式（1）、（2）可得

              

此方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性；角加速度 与角位移 成正比，且方向相反。

此微分方程的解为

           =t+Φ)

式中，A为谐振动的角振幅， 为角速度，Φ为初相位。此间谐振动的摆功周期为

                    　　　　　　　　　　（３）

  由式（3）可知，在测得了扭摆的摆动周期T后，在K和J中任何一个量已知时，即可计算出另外一个量的值。

  在本实验中，是将待测物体放在载物盘上测量其转动惯量的，则由式（3）可知，

                 或  

式中 为金属载物盘绕转轴的转动惯量， 为其摆动周期，待测物体的转动惯量为 ，它与载物盘一起转动的转动周期为 ，其单独绕转轴转动的转动周期为               （为什么？）。

因此，弹簧的扭转系数

对于实验中所用的质量为m₁、直径为D₁的匀质圆柱体，其转动惯量为

由此可以求出扭摆弹簧装置的仪器常数K。

  若要测定其它形状物体的转动惯量，只需将待测物体固定在扭摆装置的垂直轴上，测定其摆动周期，利用已知的K值，带入式（3）即可计算出该物体绕转轴的转动惯量J，即

　　　　　　　　　　　　　（４）

根据刚体力学理论，若质量为m的物体绕通过质心轴的转动惯量为 ，则绕距其质心轴平移距离为x的轴旋转时的转动惯量为

      　　　　　　　　　　　　  （5）

这个定理称为转动惯量的平行轴定理。

[实验内容与步骤]

1.       用数字式电子天平测量塑料圆柱、金属圆筒、实心球以及金属细杆的质量。

2.  用游标卡尺分别测量塑料圆柱的外径，金属圆筒的内、外径各三次，用直尺测量细杆的长度三次。

3.  调整扭摆基座螺钉，使水准泡的气泡居中。

4.  装上金属载物盘，调整光电探头的位置使载物盘挡光杆处于其缺口（见图2）中央，且能遮住红外线的小孔，测量其10次往返摆动所用的时间３次。

5.  将塑料圆柱、金属圆筒分别垂直放于载物盘上，测量其10次往返摆动所用时间。

6.  取下载物盘，分别装上实心球及金属细杆，测量其10次往返摆动所用时间。

7.  将滑块对称的放在细杆两边的凹槽内（滑块质心距转轴距离分别为5.00cm，10.00cm，15.00cm，20.00cm，25.00cm）分别测量细杆5次往返摆动所用时间。

[数据表格及数据处理]

1.       弹簧扭转系数及物体转动惯量的测定

               N?m

2.验证转动惯量的平行轴定理

其中：细杆夹具转动惯量

球支座转动惯量J=0.178

两个滑块绕绕通过质心轴的转动惯量                                           

单个滑块质量m=239.7g。

[注意事项]

1. 弹簧的扭转系数K不是固定常数，与摆动的角度有关，但在40度-90度间基本相同。因此为了减少摆角变化带来得系统误差，在测量过程中，摆角不宜过小，且各次测量时的摆角应基本相当，整个实验中摆角应基本保持在这一范围内。

2.       光电探头应放置在挡光杆的平衡位置处，且不能相互接触，以免增加摩擦力矩。

3.       在使用过程中，基座应保持水平状态。

4.       载物盘必须插入转轴，并将螺丝旋紧，使它与弹簧组成固定的系统。如果发现摆动数次之后摆角明显减小或停下，应将止动螺丝旋紧。

[思考题]

1.       刚体的转动惯量与哪些因素有关？说“一个确定的刚体有确定的转动惯量”，这句话对吗？为什么？

2.       在测定摆动周期时，光电探头应放置在挡光杆平衡位置处，为什么？

3.       在实验中，对于结构相当复杂的、由三部分组成的刚体，若已知各部分相对转轴的摆动周期为T1、T2、T3，则其组成的刚体相对转轴的摆动周期T是多少？

4.       在实验中，为什么称量球和细杆的质量时，必须将安装夹具取下？为什么它们的转动惯量在计算中可以不考虑？

5.       数字式记时仪的仪器误差为0.01s，实验中为什么要测量10T的时间。

第二篇：用扭摆法测定物体的转动惯量

用扭摆法测定物体的转动惯量

【实验目的】

1．   用扭摆法测定弹簧的扭转常数K

2．   用扭摆法测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比         较

3．   验证平行轴定理

【实验原理】

1．扭摆的简谐运动原理

   将套在轴上的物体在水平面内转过一角度θ后，根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度成正比，即

                  

根据转动定律

                     

          

其中，忽略轴承的摩擦力矩，则有

            

此方程的解为：  

             

此简谐振动的周期为

                                              测得扭摆的周期，在和中任何一个量已知时即可计算出另一个量。 

2．平行轴定理：

3．多功能计时计数器

1） 开启主机电源。“摆动”指示灯亮（按“功能”键，可选择“扭摆”、“转动”两种计时功能，开机或复位默认值为“扭摆”），参量指示为“P₁”，数据显示为“- - - -”。若情况异常（如死机），可按复位键，即可恢复正常，或关机重新启动。

2） 本机默认累计计时的周期数为10，也可根据需要重新设定计时的周期数，周期数只能在1—20范围内作任意设定。更改后的周期数不具有记忆功能，一旦关机或按“复位”键，便恢复原来的默认周期数。

3）

按“执行”键，数据显示为“000.0”，表示仪器处在等待测量状态，当被测物体上的挡光杆第一次通过光电门时开始计时，直至仪器所设置的周期数时，便自动停止计时，由“数据显示”给出累计的时间，同时仪器自行计算摆动周期T₁予以存贮，以供查询和作多次测量求平均值，至此P₁（第一次测量）测量完毕。

4） 按“执行”键，“P₁”变为“P₂”，数据显示又回到“000.0”，仪器处于第二次待测状态。本机设定的重复测量次数为5次，即（P₁，P₂，P₃，P₄， P₅）。通过“查询”键可得知各次测量的周期值和它们的平均值以及当前的周期数n,若显示“NO”表示没有数据。

5） 按“自检”键，仪器应显示“N-1”，“N-1”，“SC GOOD”，并自动复位到“P₁----”，单片机工作正常。

6） 按“返回”键，系统将无条件地回到初始状态，清除当前状态的所有执行数据，但予置的周期数不改变。

7） 按“复位”键，实验所得数据全部清除，所有参数恢复初始默认值。

【实验内容】

1．    熟悉扭摆的构造、使用方法，掌握TH-2型转动惯量测试仪的正确操作要领。

2．    测定扭摆的仪器常数（弹簧的扭转常数）。

（1）调整扭摆基座底脚螺丝，使水准仪中气泡居中。

（2）用游标卡尺和天平分别测出待测物体的质量和必要的几何尺寸。如圆柱体的直径，金属圆筒的内外径，木球的直径以及金属细杆的长度等。

（3）装上金属载物盘，调节光电探头的位置。要求光电探头放置在挡光杆的平衡位置处，使载物盘上的挡光杆处于光电探头的中央，且能遮住发射和接收红外线的小孔，测定其摆动周期T₀。

（4）用金属载物圆盘和在载物圆盘上放置塑料圆柱时的摆动周期和的实验值以及塑料圆盘转动惯量的理论值来确定K值，设金属载物圆盘的转动惯量为，则有

                     

  或             

则扭转常数为：  

已知：球支座转动惯量的实验值

 细杆夹具转动惯量的实验值

3．    测定几种不同形状物体的转动惯量：

（1）将塑料圆柱垂直放在载物盘上，测出摆动周期T₁。

（2）用金属圆筒代替塑料圆住，测出摆动周期T₂。

（3）取下载物金属盘，装上木球，测出摆动周期T₃。

计算塑料圆柱、金属圆筒、木球与金属细杆的转动惯量，并与理论值进行比较，求百分误差。

4．    改变滑块在细杆上的位置，验证转动惯量的平行轴定理。

（1）取下木球，装上金属细杆（细杆中心必须与转轴中心重合），测出摆动周期T₄。

（2）将滑块对称地放置在金属细杆两边的凹槽内，此时滑块质心离转轴的距离分别为5.00，10.00，15.00，20.00，25.00厘米，分别测定细杆加滑块的摆动周期T₅。

已知：两滑块绕质心轴的转动惯量理论值为：

     kg·m²

【注意事项】

1．    扭转用力不要过猛。

弹簧的扭转常数K不是固定的常数，它与摆角大小略有关系，摆角在90°～40°间基本相同。为了减少实验的系统误差，在测定各种物体的摆动周期时，摆角应基本保持在同一个范围内。

2．    过平衡位置开始计时。光电探头宜放置在挡光杆的平衡位置处，挡光杆不能与它接触，以免增加摩擦力矩。

3．    在安待测物体时，其支架必须全部套入扭摆的主轴，并且将止动螺丝旋紧，否则扭摆不能正常工作。

4．    机座应保持在水平状态。