初中数学教学案例
——学会“搭台”
一、 写作背景
新课程标准指出，教师是学生学习的组织者、指导者、引领者，是平等对话的首席。在课堂上，我们应该做一个优秀的“导演”，我们教师的理想是“一切为了学生的未来发展着想”，我们需要在课堂上多一些“……”，给学生创造更多的机会，搭建更多展示的舞台，真正让学生成为学习的主人，放手让他们去探究，让他们产生更多的“？”，让他们自己想办法来分析和解决问题。同时不忘在学生需要帮助的时候扶他们一把，给以正确的指导和点拨。另外，教师还要善于发现学生学习过程中的细波微澜，进而推波助澜。这样学生才会有更多的收获，更多的“！”。
二、案例回放
前几天，在一堂《数据的整理与初步处理》复习课上，学生作业本上有下面这样一个题目：
某校八年级（1）班、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下：
（1）请你对下面一段话给予简要评价：
八年级（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班的平均分是79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算是上游了！”
（2）请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议。
在请几位学生初步分析了这张表格所传达的一些基本信息之后，我请一位学生阐述对第一题这段话的评价，这位平时数学成绩不错，语言表达能力挺强的女同学回答很干脆：
“因为八年级（1）班学生成绩的中位数是87分，也就是说有一半学生的成绩达到或者超过了87分，所以小刚考了85分在班里算不上上游！”
她在表述的时候，很多学生边听边点头，表示了赞同。但就在这时候，教室里突然冒出一句：
“老师，你以前不是说85分以上的算优秀吗？”
我一瞧，又是那个“捣蛋鬼”，他看到我在看他了，索性站起来了，
“老师，这样的话，难道一个班的学生一半考了100分，我考个99分就算下游了吗？”
我点头，对他表示了一丝赞许：
“那么你认为应该怎么评价呢？”
“我认为，从班级排名次看，小刚的确算不上上游，但从考试分数看，他可以算上游了，你以前也说我们不应该太注重名次，分数才是主要的嘛！”
许多同学已经拿敬佩的目光去注视他了，而我也微笑地对他说了一句：
“你现在好好学习，将来如果做老师的话，相信一定会很出色！”
我习惯性用手势示意他坐下，没想到他一脸得意地“逼问”我：
“老师，那是不是我的答案更好？”
“相比之下，是你的较为全面，我们是应该从两方面来考虑这个问题，大家认为呢？”
“是！”
“咦，你怎么还不坐下啊？”
“老师，我还想讲第（2）小题呢。”他竟然舍不得坐下了！
“好，那么，请你继续！”
他清了清嗓子，似乎宣告他的表演时刻开始，“因为（1）班学生成绩的中位数是87分，（2）班是79分，但两个班平均分都是79分，标准差（2）班是5.2分，可（1）班却有19.8分，所以说（1）班学生成绩差的和好的一样都很多，导致了平均分下降，而（2）班则比较均衡。因此对（1）班要重点把差生的成绩拉上去，对（2）班则要重点培养尖子生。”
听到这里，平平无奇，我知道坐着的很多学生能够说出类似的答案来，但他接下来的话却让我心头为之一亮！
“我感觉（1）班很像我们班，成绩好的同学很多，但成绩不好的学生也很多，所以我们的平均分每次都提不高，希望老师能够多辅导像我这样要拉分的同学，我函数和几何证明还是搞不太懂，我希望自己能变成“小刚”，“小刚”多了，那么老师你也就可以多拿奖金了是不是？呵呵！”
他没等我开口，自动坐下了（我的课堂回答问题起立坐下很自由），同学们都笑了，我心头也一阵激动，虽然补差工作我平时一直在做，但显然，学生对效果感觉不满意，难得他能借题发挥，并且又发挥得如此之好！
三、案例反思
事后，当我反复去回味这堂课，越想却越加担心，虽然老师与学生同在一个教室中教学与学习，但讲台之上与讲台之下的距离可能会因为我们的不经意而相差很远。在从事教育教学的过程中，可能有些平时成绩不突出的同学，他掌握了某个知识，想表达，想获得老师的肯定来激励自己，但我们忽视了给这些同学创造发挥的舞台和空间，久而久之，这些同学的思维就被我们的课堂、我们的教育给压制了，封死了；还有，我们在采取一些教学措施的时候，比如很多老师在课后进行的补差培优工作，很多时候学生面上点头了，甚至能做得挺不错了，但回头他们可能又忘了，这些往往我们又忽视了，于是，补差培优工作的实效就大打折扣了。因此，要做一名合格的教师，应该人站在讲台之上，把心放到讲台之下，用心去聆听学生的心声，用心去满足学生的渴求，用心去完善自我的工作
数学教学案例
一、设计方案
（一）学习方式
同底数幂的乘法是在学习了有理数的乘方和整式的加减之后，为了学习整式的乘法而学习的关于幂的一个基本性质（法则），又是幂的三个性质中最基本的一个性质，学好了同底数幂的乘法，其他两个性质和整式乘法的学习便容易了。因此，同底数幂的乘法法则既是有理数幂的乘法的推广又是整式乘法的重要基础，在本章的学习中具有举足轻重的地位和作用。在教学方式上采用教师的讲授与学生的尝试相结合；在学生学习的方式上采用接受式学习与活动式学习相结合。对于法则的推导过程，我以问题的形式，引导学生先独立地进行思考、探索，再通过交流、讨论，发现法则，使学生的学习过程成为再发现、再创造的过程，使学生在学习的过程中掌握学习与研究的方法，养成良好的学习习惯，从而学会学习，学会思考，学会合作，学会创新；而对于推导出的法则及其语言叙述，我则以一种较轻松而又富有挑战性的方式指导他们接受式记忆。在整个教学中，分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，以培养学生养成良好的思维习惯。
（二）学习任务分析
“同底数幂的乘法”法则的教学目的应是“熟练掌握”。为了使“熟练掌握”，一方面要正确理解法则。让学生自己得出法则，是正确理解法则的措施之一；同时还要扫除正确理解的障碍，即消除一些容易混淆之处。另一方面，通过把法则运用到各种情况中去来达到熟练运用。对于易混淆之处，应提高新旧知识的可分辨性。通过变式对一些以前学过的，对现在法则容易产生混淆的内容（如合并同类项）；以及以前容易发生错误的概念（如指数1认为没有指数）进行分辨，从比较中加深对正面法则的理解。
（三）学习起点能力
从学生的知识情况来看，一是指数概念早已学过，但由于时间和自身的原因，对指数概念中所含名称：底数、指数、幂的含义并不十分明确；二是再加上以前学过的系数的概念，增加了正确理解法则的困难；三是同底数幂的乘法法则容易与合并同类项混淆，这更给熟练掌握增添了障碍。
系数 底数 指数
合并同类项 相加 不变 不变
同底数幂的乘法 相乘 不变 相加
从学生的能力和情感来看，通过一学期的培养，已由原来的被动式接受学习向主动探究式学习转变，但由于时间和经验的限制，还不够成熟，方法欠灵活。
（四）教学目标
1、 识记目标：①熟记同底数幂乘法的法则；②能正确地运用同底数幂乘法的运算性
质，并能应用它解决一些实际问题。
2、 能力目标：经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，并从同底数幂乘法法则的推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。
3、 情感目标：通过同底数幂乘法法则的推导和应用，使学生初步理解“特殊——一般——特殊”的认知规律和辨证唯物主义思想，体味科学思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新精神。
（五）教学重点、难点
同底数幂的乘法同其他幂的运算性质一样，都是在有理数的基础上讨论的，它既有对
数式通性的慨括，又有从数到式的抽象，而学生在此之前对字母表示数的广泛意义已有初步
认识，但对字母表示幂的指数还是初次遇到，所以他们会对同底数幂的乘法性质感到抽象，
不易理解，因此正确地理解同底数幂的乘法法则既是本节的重点也是难点。突破它的关键是
利用幂的意义通过从特殊到一般地推导性质，再从一般到特殊地运用性质，使学生理解并掌
握性质的条件和结论。同时，由于受思维定势的影响，学生计算时易忽略条件及与数的乘法
相混淆将指数相乘。因此，法则的正确应用是本节学习中的又一个难点，突破的方法一是剖
析性质（法则）的特征，二是通过一组诊断题让学生判断，并要求学生分析错误，比较异同。
总结出运用法则时的注意事项予以强化顺应。
（六）教学过程
（七）教学反思：
1、 本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗
助长，为了后面多做几道练习而人为的主观裁断时间安排，其实规律（公式）的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们的应用公式的本领。因此，不但不可以省，而且还要充分挖掘，以使不同程度的学生都有事情做且乐此不疲，更加充分的参与其中。对于这一点，教师一定要转变观念。
2、在同底数幂乘法公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系地看；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力。教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行学法指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质。
3、对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”。对于公式中的字母指数的取值范围，不必过分强调（实际上，这个范围限定的太小了）；而对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的左边，它是正确应用公式的前提，却往往不被重视，结果造成几个类似公式的混淆，给正确解题设置了障碍。
4、教无定法，教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤，切实把关注学生的发展放在首位来考虑，并依此制定合理而科学的教学计划。如，对于较好的班级，则可以优先发展，采取居高临下的教学思路，先整体把握再对比击破，或是将其纳入整体结构系统，采取类比的学习方式；而对于基础较薄弱的班级，则应以提高学习兴趣、教会学习、培养成功体验为主，千万不可拔苗助长，以防物极必反。
总体来讲，我在教授中深刻的体会到新教材与以往的不同，新教材以学生为本的教学理念始终贯穿本课。采用的利用“Z+Z”智能教育平台进行多媒体教学方式，新颖、有效。学生的学习积极性有较大的提高，学习效果好。原本枯燥的、抽象的纯数学的东西通过与实际联系，变的有趣、易懂。从根本上改变了过去那种填鸭式的教学方法。不但使学生掌握了课本上的知识，还使学生加强了对日常事物的观察分析的能力。真正使教学提高到培养学生能力的层面上来了。但是这对教师自身素质的要求大大提高。当今的学生通过各种媒体对世界的认识和了解较多，在互动教学中如不注重对学生的引导（特别是思想上的），要教好学生就不会那么容易。只有自己不断的学习，充实自己，才能把新教材教好。
我对自己教授本课基本上是满意的，完成了制定的教学目标。但有些细节还有待完善，在今后的工作中我将会改进。
分式教案2
教学目标
(一)教学知识点
1.分式的基本性质.
2.利用分式的基本性质对分式进行"等值"变形.
3.了解分式约分的步骤和依据,掌握分式约分的方法.
4.使学生了解最简分式的意义,能将分式化为最简分式.
(二)能力训练要求
1.能类比分数的基本性质,推测出分式的基本性质.
2.培养学生加强事物之间的联系,提高数学运算能力.
(三)情感与价值观要求
通过类比分数的基本性质及分数的约分,推测出分式的基本性质和约分,在学生已有数学经验的基础上,提高学生学数学的乐趣.
教学重点
1.分式的基本性质.
2.利用分式的基本性质约分.
3.将一个分式化简为最简分式.
教学难点
分子、分母是多项式的约分.
教学方法
讨论--自主探究相结合
教具准备
投影片六张:
第一张:问题串,(记作§3.1.2 A);
第二张:例2,(记作§3.1.2 B);
第三张:例3,(记作§3.1.2 C);
第四张:做一做,(记作§3.1.2 D);
第五张:议一议,(记作§3.1.2 E);
第六张:随堂练习,(记作§3.1.2 F).
教学过程
Ⅰ.复习分数的基本性质,推想分式的基本性质.
[师]我们来看如何做不同分母的分数的加法: + .
[生] + = + = + = .
[师]这里将异分母化为同分母, = = ,
= = .这是根据什么呢?
[生]根据分数的基本性质:分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数,分数的值不变.
[师]很好!分式是一般化了的分数,我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢?
Ⅱ.新课讲解
1.分式的基本性质
出示投影片(§3.1.2 A)
(1) = 的依据是什么?
(2)你认为分式 与 相等吗? 与 呢?与同伴交流.
[生](1)将 的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到.即 = = .
依据是分数的基本性质:分数的分子与分母同乘以(或除以)同一个不等于零的数,分数的值不变.
(2)分式 与 相等,在分式 中,a≠0,所以 = = ;
分式 与 也是相等的.在分式 中,n≠0,所以 = = .
[师]由此,你能推想出分式的基本性质吗?
[生]分式是一般化了的分数,类比分数的基本性质,我们可推想出分式的基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变.
[师]在运用此性质时,应特别注意什么?
[生]应特别强调分式的分子、分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式中的"都""同一个""不为零".
[师]我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形.同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形.
下面我们就来看一个例题(出示投影片§3.1.2 B)
[例2]下列等式的右边是怎样从左边得到的?
(1) = (y≠0);(2) = .
[生]在(1)中,因为y≠0,利用分式的基本性质,在 的分子、分母中同乘以y,即可得到右边,即 = = ;
[师]很好!在(1)中,题目告诉你y≠0,因此我们可用分式的基本性质直接求得.可(2)中右边又是如何从左边得到的呢?
[生]在(2)中, 可以分子、分母同除以x得到,即 = = .
[生]"x"如果等于"0",就不行.
在 中,x不会为"0",如果是"0", 中分母就为"0",分式 将无意义,所以(2)中虽然没有直接告诉我们x≠0,但要由 得到 , 必须有意义,即bx≠0由此可得b≠0且x≠0.
[师]这位同学分析得很精辟!
2.分式的约分.
[师]利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简.
我们不妨先来回忆如何对分数化简.
[生]化简一个分数,首先找到分子、分母的最大公约数,然后利用分数的基本性质就可将分数化简.例如 ,3和12的最大公约数是3,所以 = = . 师]我们不妨仿照分数的化简,来推想对分式化简.(出示投影片§3.1.2 C)
[例3]化简下列各式:
(1) ;(2) .
[师]在分数化简中,我们约去了分子、分母的公约数,那么在分式化简中,我们应如何办?
[生]约去分子、分母中的公因式.例如(1)中a2bc可分解为ac·(ab).分母中也含有因式ab,因此利用分式的基本性质:
= = =ac.
[师]我们可以注意到(1)中的分式,分子、分母都是单项式,把公有的因式分离出来,然后利用分式的基本性质,把公因式约去即可.这样的公因式如何分离出来呢?同学们可小组讨论.
[生]如果分子、分母是单项式,公因式应取系数的最大公约数,相同的字母取它们中最低次幂.
[师]回答得很好.可(2)中的分式,分子、分母都是多项式,又如何化简?
[生]通过对分子、分母因式分解,找到它们的公因式.
[师]这个主意很好.现在同学们自己动手把第(2)题试着完成一下.
[生]解:(2) = = .
[生]老师,我明白了,遇到分子、分母是多项式的分式,应先将它们分解因式,然后约去公有的因式.
[师]在例3中, =ac,即分子、分母同时约去了整式ab; = ,即分子、分母同时约去了整式x-1.把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形我们称为分式的约分.
下面我们亲自动手,再来化简几个分式.(出示投影片§3.1.2 D)
做一做
化简下列分式:
(1) ;(2) .
[生]解:(1) = = ;
(2) = .
[师]在刚才化简第(1)题中的分式时,一位同学这样做的(出示投影片§3.1.2 E)
议一议
在化简 时,小颖是这样做的: =
你对上述做法有何看法?与同伴交流.
[生]我认为小颖的做法中, 中还有公因式5x,没有化简完,也就是说没有化成最简结果.
[师]很好! 如果化简成 ,说明化简的结果中已没有公因式,这种分式称为最简分式.因此,我们通常使结果成为最简分式或者整式.
Ⅲ.巩固、提高
出示投影片(§3.1.2 F)
1.填空:
(1) = ;
(2)
2.化简下列分式:
(1) ;
(2) .
解:1.(1)因为 =
=
所以括号里应填2x2+2xy;
(2)因为 = = .
所以括号里应填y-2.
2.(1) = = ;
(2) = = .
Ⅳ.课时小结
[师]通过今天的学习,同学们有何收获?(鼓励学生积极回答)
[生]数学知识之间是有内在联系的.利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质.
[生]分式的约分和化简可联系分数的约分和化简.
[生]化简分式时,结果一定要求最简.
……
Ⅴ.课后作业
课本习题3.2及读一读.
Ⅵ.活动与探究
实数a、b满足ab=1,记M= + ,N= + ,比较M、N的大小.
分式的乘除法教案
教学目标
(一)教学知识点
1.分式乘除法的运算法则,
2.会进行分式的乘除法的运算.
(二)能力训练要求
1.类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则.
2.在分式乘除法运算过程中,体会因式分解在分式乘除法中的作用,发展有条理的思考和语言表达能力.
3.用分式的乘除法解决生活中的实际问题,提高"用数学"的意识.
(三)情感与价值观要求
1.通过师生共同交流、探讨,使学生在掌握知识的基础上,认识事物之间的内在联系,获得成就感.
2.培养学生的创新意识和应用数学的意识.
教学重点
让学生掌握分式乘除法的法则及其应用.
教学难点
分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算.
教学方法
引导、启发、探求
教具准备
投影片四张
第一张:探索、交流,(记作§3.2 A);
第二张:例1,(记作§3.2 B);
第三张:例2,(记作§3.2 C);
第四张:做一做,(记作§3.2 D).
教学过程
Ⅰ.创设情境,引入新课
[师]上节课,我们学习了分式的基本性质,我们可以发现它与分数的基本性质类似,那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢?下面我们看投影片(§3.2 A)
探索、交流--观察下列算式:
× = , × = ,
÷ = × = , ÷ = × = .
猜一猜 × =? ÷ =?与同伴交流.
[生]观察上面运算,可知:
两个分数相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;
两个分数相除,把除数的分子和分母颠倒位置后,再与被除数相乘.
即 × = ;
÷ = × = .
这里字母a,b,c,d都是整数,但a,c,d不为零.
[师]如果让字母代表整式,那么就得到类似于分数的分式的乘除法.
Ⅱ.讲授新课
1.分式的乘除法法则
[师生共析]分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
2.例题讲解
出示投影片(§3.2 B)
[例1]计算:
(1) · ;(2) · .
分析:(1)将算式对照乘除法运算法则,进行运算;(2)强调运算结果如不是最简分式时,一定要进行约分,使运算结果化为最简分式.
解:(1) · =
= = ;
(2) ·
= = .
出示投影片(§3.2 C)
[例2]计算:
(1)3xy2÷ ;(2) ÷
分析:(1)将算式对照分式的除法运算法则,进行运算;(2)当分子、分母是多项式时,一般应先分解因式,并在运算过程中约分,可以使运算简化,避免走弯路.
解:(1)3xy2÷ =3xy2·
= = x2;
(2) ÷
= ×
=
=
=
3.做一做
出示投影片(§3.2 D)
通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为V= πR3(其中R为球的半径),那么
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少?
(3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算?
[师]夏天快到了,你一定想买一个又大又甜又合算的大西瓜.赶快思考上面的问题,相信你一定会感兴趣的.
[生]我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意,可得:
(1)整个西瓜的体积为V1= πR3; 西瓜瓤的体积为V2= π(R-d)3.
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比为:
= =
=( )3=(1- )3.
(3)我认为买大西瓜合算.
由 =(1- )3可知,R越大,即西瓜越大, 的值越小,(1- )的值越大,(1- )3也越大,则 的值也越大,即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大,因此,买大西瓜更合算.
Ⅲ.随堂练习
1.计算:(1) · ;(2)(a2-a)÷ ;(3) ÷
2.化简:
(1) ÷ ;
(2)(ab-b2)÷
解:1.(1) · = = = ;
(2)(a2-a)÷ =(a2-a)×
= =(a-1)2
=a2-2a+1
(3) ÷ = ×
= =(x-1)y=xy-y.
2.(1) ÷
= ×
=
=(x-2)(x+2)=x2-4.
(2)(ab-b2)÷
=(ab-b2)× =
=b.
Ⅳ.课时小结
[师]同学们这节课有何收获呢?
[生]我们学习分式的基本性质可以发现它类似于分数的基本性质.今天,我们学习分式的乘除法的运算法则,也类似于分数乘除法的运算法则.我们以后对于分式的学习是否也类似于分数,加以推广便可.
[师]很好!其实,数学历史的发展就是不断地将原有的知识加以推广和扩展.
[生]今天我们学习了一种新的运算,能运用因式分解将分子、分母是多项式的分式乘或除,我觉得我们很了不起.
……
Ⅴ.课后作业
1.习题3.3的第1、2题.
2.通过习题总结分式的乘方运算.
Ⅵ.活动与探究
已知a2+3a+1=0,求
(1)a+ ;(2)a2+ ;
(3)a3+ ;(4)a4+
[过程] 根据题意可知a≠0,观察所求四个式子不难发现只要求出(1),其他便可迎刃而解.因为a2+3a+1=0,a≠0,所以a2+3a+1=0两边同除以a,得a+3+ =0,a+ =-3.
[结果]因为a2+3a+1=0,a≠0,
(1)a2+3a+1=0两边同除以a,得
a+3+ =0,a+ =-3;
(2)a2+ =(a+ )2-2=(-3)2-2=7;
(3)a3+ =(a+ )(a2+ -1)=(-3)×(7-1)=-18;
(4)a4+ =(a2+ )2-2=72-2=47.
板书设计
§3.2 分式的乘除法
一、运算法则:
× = ; ÷ = × = .
(其中a、c、d是不为零的整式, , 是分式).
二、应用,升华
[例1](1) · ;(2) · .
分析:(1)对照分式乘法的运算法则.
(2)运算的结果要化简.
(3)分子、分母如果是多项式,应先分解因式,可以使运算少走弯路.
[例2](1)3xy2÷ ;
(2) ÷
(略)