初中数学教学案例

用函数观点看一元二次方程

一、案例背景

《用函数的观点看一元二次方程》选自人教版九年级数学下第二十六章，是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系。二次函数为一元二次方程的求解提供强有力的工具，寻找一元二次方程与二次函数的关系，让学生体会函数与方程两个重要数学概念之间的联系，更让学生对二次函数“数”与“形”能有全面、深刻的认识。

二、案例设计

1、 教学目标

（1）了解一元二次方程的根的几何意义，掌握用二次函数图象求解一元二次方程的根。

（2）建立一元二次方程与二次函数的关系，通过图象，体会数与形的完美结合。

2、教学重、难点

重点：利用二次函数图象解一元二次方程

难点：方程与二次函数的转化

3、教学用具

教具：多媒体平台及多媒体课件.

学具：做图工具

4、教学过程

（一）情景问题

如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位: m)与飞行时间 t (单位: s)之间具有关系：．

（1）球的飞行高度能否达到15 m? 若能,需要多少时间?

（2）球的飞行高度能否达到20 m? 若能,需要多少时间?

（3）球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能,需要多少时间?

（4）球从飞出到落地要用多少时间?

设计意图：

从小球飞行问题寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情．

（二）探究新知

在平面直角坐标系中，任意画几条抛物线，观察它与x轴有几个交点，和小组内的同学互相比较看看。并思考：

（1）抛物线和x轴交点个数有几种？

（2）若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，交点的横坐标怎么计算？

（3）二次函数图象和x轴交点个数与对应的一元二次方程根的个数有什么关系？

例：利用函数图象

(1)求方程                   的实数根.

(2) 当x取何值时,y>0？

(3)当x取何值时,y<0？

设计意图：

（1）让学生自己动手实践、合作交流，让学生感受自己才是课堂的主人。从而促进学生自主学习，同时培养学生合作性学习精神。

（2）利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形的结合给学习带来的方便．

（三）课堂感悟

（1）你的收获。（2）你的疑惑。

设计意图：

让学生对本节课所学知识有个系统的认识，让还存在的疑问能及时解决，不给后续学习留下困惑。

（四）作业布置

（1）必做：教材第20页第4题、5题

（2）选做：教材第20页第6题

设计意图：

让各种层次的学生都能体验到成功的喜悦。

三、案例反思

数学课要注重引导学生探索与获取知识的过程而不单注重学生对知识内容的认识，因为“过程”不仅能引导学生更好地理解知识，还能够引导学生在活动中思考，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验。

本节课从学生看得到、感受得到的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生自主学习。探究抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系及其应用的过程中，引导学生自己实践画出图形，然后从自己所做的图象与x轴交点的个数与方程的根之间进行分析、猜想、归纳、总结。学生需要一个能充分展示自我的自由空间，作为老师，我们需要给学生一个自由的民主的氛围，能充分培养学生的自信，使“学困生”也能产生发言的欲望，也能对问题畅所欲言，教师还应能及时捕捉到这一闪光点，给每一位学生都有展示的机会。当然，这里也体现了数学中重要的数形结合的思想方法，在整个教学过程中始终贯穿的是类比思想方法。这些方法的使用对学生良好思维品质的形成有重要的作用，对学生的终身发展也有一定的作用。

   然而在具体的实施过程中，有很多不能跟着预设走的地方。如：在解决例题的时候，学生代表上黑板板演时，花了大量的时间在做图上，冲淡了本节课的主题，所以在设计例题的时候，可以将草图画出来，直接让学生解决问题，这样让目标更明确，重点更突出。这样还可以多设置一个选做题供学有余力的学生学习。

总之，课堂是在教学过程中，根据学生的学习情况自然而然生成的，不是一定要按照教师预设的轨道一成不变的走下去。只要不偏离主题，学生自主自由的探究往往会收到意想不到的效果！

第二篇：初中数学教学案例及反思

初中数学教学案例及反思

——《探索平行线的性质》顺会中学

一、案例实施背景

本节课是20##-20##学年度第二学期开学第一周我在我们学校多媒体教室里上的一节公开课，课堂中数学优秀生、中等生及后进生都有，所用教材为人教版义务教育课程教科书七年级数学（下册）。

二、案例主题分析与设计

本节课是苏科版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）第七章第2节内容——探索平行线的性质，它是直线平行的继续，是后面研究平移等内容的基础，是“空间与图形”的重要组成部分。

《数学课程标准》强调：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程；动手实践，自主探索，合作交流是孩子学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。本节课将以“生活·数学”、“活动·思考”、“表达·应用”为主线开展课堂教学，以学生看得到、感受得到的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性学习精神。

三、案例教学目标

1、知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。

2、数学思考：  在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、

联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。

3、解决问题：  通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思

想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。

4、情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神。

四、案例教学重、难点

1、重点：对平行线性质的掌握与应用

2、难点：对平行线性质1的探究

五、案例教学用具

1、教具：多媒体平台及多媒体课件

2、学具：三角尺、量角器、剪刀

六、案例教学过程

（一）创设情境，设疑激思

1、播放一组幻灯片。

内容： ① 供火车行驶的铁轨上； ② 游泳池中的泳道隔栏；

③ 横格纸中的线。

2、提问温故：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？

3、学生活动：针对问题，学生思考后回答——① 同位角相等两直线平行； ② 内错角相等两直线平行； ③ 同旁内角互补两直线平行；

4、教师肯定学生的回答并提出新问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？从而引出课题：7.2探索平行线的性质(板书)

（二）数形结合，探究性质

1、画图探究，归纳猜想

教师提要求，学生实践操作：任意画出两条平行线（ a ∥ b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角。（统一采用阿拉伯数字标角）

教师提出研究性问题一：

指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：

教师提出研究性问题二：

将画出图中的同位角任先一组剪下后叠合。

学生活动一：画图 ----度量----填表

----猜想

学生活动二：画图 ----剪图----叠合

让学生根据活动得出的数据与操作得出的结果归纳猜想：两直线平行，同位角相等。

教师提出研究性问题三：

再画出一条截线 d，看你的猜想结论是否仍然成立？

学生活动：探究、按小组讨论，最后得出结论：仍然成立。

2、教师用《几何画板》课件验证猜想，让学生直观感受猜想

3．教师展示平行线性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等）

（三）引申思考，培养创新

教师提出研究性问题四：

请判断两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角各有什么

关系？

学生活动：独立探究 ----小组讨论----成果展示。

教师活动：评价学生的研究成果，并引导学生说理

因为a ∥ b （已知）

所以∠ 1＝ ∠ 2（两直线平行，同位角相等）

又 ∠ 1＝ ∠ 3（对顶角相等）

∠ 1+ ∠ 4＝180°（邻补角的定义）

所以∠ 2＝ ∠ 3（等量代换）

∠ 2+ ∠ 4＝180°（等量代换）

教师展示：

平行线性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直

线平行，内错角相等）

平行线性质2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两

直线平行，同旁内角互补）

（四）实际应用，优势互补

1、（抢答）课本P₁₃   练一练  1、2及习题7.2   1、5

2、（讨论解答）课本P₁₃   习题7.2    2、3、4

（五）课堂总结

这节课你有哪些收获？

1、学生总结：平行线的性质1、2、3

2、教师补充总结：

⑴ 用“运动”的观点观察数学问题；（如我们前面将同位角剪下

叠合后分析问题）

⑵ 用数形结合的方法来解决问题；（如我们前面将同位角测量后

分析问题）

⑶ 用准确的语言来表达问题；（如平行线的性质1、2、3的表述）

⑷ 用逻辑推理的形式来论证问题。（如我们前面对性质2和3的

说理过程）

（六）作业

学习与评价P₅          1、2、3（填空）；

4、5、6（选择）；

7、8（拓展与延伸）

七、教学反思：

数学课要注重引导学生探索与获取知识的过程而不单注重学生对知识内容的认识，因为“过程”不仅能引导学生更好地理解知识，还能够引导学生在活动中思考，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验。

这节课的教学实现了三个方面的转变：

① 教的转变：本节课教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者。教师成为了学生的导师、伙伴、甚至成为了学生的学生，在课堂上除了导引学生活动外，还要认真聆听学生“教”你他们活动的过程和通过活动所得的知识或方法。

② 学的转变：学生的角色从学会转变为会学，跟老师学转变为自主去学。本节课学生不是停留在学会课本知识的层面上，而是站在研究者的角度深入其境，不是简单地“学”数学，而是深入地“做”数学。

③ 课堂氛围的转变：整节课以 “流畅、开放、合作、‘隐'导”为基本特征，教师对学生的思维活动减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征，整节课学生与学生、学生与教师之间以“对话”、“讨论”为出发点，以互助、合作为手段，以解决问题为目的，让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。

总之，在数学教学的花园里，教师只要为学生布置好和谐的场景和明晰的路标，然后就让他们自由地快活地去跳舞吧！