点、直线与圆的位置关系备考策略

主标题：点、直线与圆的位置关系备考策略

副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道.

关键词：点、直线与圆的位置关系，知识总结备考策略

难度：3

重要程度：5

内容一、点M(x₀，y₀)与圆(x－a)²＋(y－b)²＝r²的位置关系

1．若M(x₀，y₀)在圆外，则(x₀－a)²＋(y₀－b)²＞r².

2．若M(x₀，y₀)在圆上，则(x₀－a)²＋(y₀－b)²＝r².

3．若M(x₀，y₀)在圆内，则(x₀－a)²＋(y₀－b)²＜r².

二、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

1．几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：

d＜r?相交；d＝r?相切；d＞r?相离．

2．代数法： 判别式Δ＝b2－4ac

3．有关弦长问题的两种方法

(1)几何法：直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r²＝²＋d²；

(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x₁－x₂|＝ 或|AB|＝ |y₁－y₂|＝ .

4．过一点求圆的切线的方法

(1)过圆上一点(x₀，y₀)的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x₀.

(2)过圆外一点(x₀，y₀)的圆的切线方程的求法

5.当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y₀＝k(x－x₀)，即kx－y＋y₀－kx₀＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．

思维规律解题：考点一：点与圆位置关系

例1.(2013·陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x²＋y²＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)

A．相切                                                    B．相交

C．相离                                                    D．不确定

答案　B

解析　由题意知点在圆外，则a²＋b²>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．

考点二：直线与圆的位置关系

例2.（15年广东理科）平行于直线且与圆相切的直线的方程是

   A．或     B. 或     

   C. 或         D. 或

【答案】．

考点三：直线与圆的位置关系的应用

例3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－y＝4相切．

(1)求圆O的方程；

(2)若圆O上有两点M、N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．

解答　(1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，

即r＝＝2.

所以圆O的方程为x²＋y²＝4.

(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.

则圆心O到直线MN的距离d＝.

由垂径分弦定理得：＋()²＝2²，即m＝±.

所以直线MN的方程为：2x－y＋＝0或2x－y－＝0.

例4．(2014·重庆高考)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x²＋y²＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．

答案：0或6

解答：圆C：x²＋y²＋2x－4y－4＝0的标准方程为(x＋1)²＋(y－2)²＝9，所以圆心为C(－1,2)，半径为3.因为AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，即＝，所以a＝0或6.

备考策略：1.与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解.

2.利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系.

第二篇：高考数学专题复习解析几何直线和圆教案

解析几何   直线和圆

【考点审视】

本章是解析几何的基础，也是高考对解析几何进行综合考查的重要组成部分之一，因为直线和圆是最简单基本的几何图形。研究直线和圆的思想与方法也是解析几何研究的基本思想与方法，同时也是后继学习的基础，所以直线和圆成为高考的必考内容。命题的特点：1.本章在高考中主要考查两类问题：基本概念题和求在不同条件下的直线方程。基本概念重点考查（1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题；（2）直线的平行和垂直的条件；（3）与距离有关的问题等。此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现。2.直线与圆、圆锥曲线的位置关系等综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现。3.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式等代数问题往往借助直线方程进行解决，考查学生的综合能力及创新能力。4.本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。应试策略：首先是注重基础，基本知识、基本题型要掌握好，不必做那些难的有关直线的问题，高考中直线以解答题形式出现的可能性不大。解析几何解答题大多是关于直线与圆锥曲线关系的综合题，考查综合运用知识、分析问题、解决问题的能力，尤其现在高考不要求两圆锥曲线的交点来解决问题后，直线和圆锥曲线的关系问题更是重要，因此，在复习中要注意渗透本章知识在解答解析几何综合问题时的运用。

【疑难点拔】

直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念，突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，直线方程中的各个参数都具有明显的几何意义，它对直线的位置、点与直线、直线与直线、直线与圆的各种关系的研究十分重要，高考中重点考查运用上述知识解题的变通能力。在解答有关直线的问题时，要注意：

（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；

（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况；

（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验不存在的情况，防止丢解；

（4）直线方程的三种形式各有适用范围，要能根据题中所给已知条件选用最恰当的表示形式，并能根据问题的需要灵活准确地进行互化，在求直线方程时，要注意需二个独立的条件才能确定。常用的方法是待定系数法；

（5）两直线的平行与垂直是现实生活中最常见到的两种特殊位置关系，故掌握它们的判断方法就显得非常重要，特别要提醒的是应把它们的判定和平面两向量共线与垂直的判定有机地结合在一起；

（6）在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法。

(7)直线方程问题是“解析几何”的基础，学习时应注意积累下面两方面的经验：①正确选择各种直线方程解决各种问题；②通过直线方程问题的解题，逐步认识“解析几何”问题的解题思维策略，积累“方程”、“坐标”、“图形”的解题经验。

线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用，常通过二元一次不等式表示的平面区域来确定实际问题的解，应用极为广泛。加强思想方法训练，培养综合能力。平面解析几何的核心是坐标法，它需要运用变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此在处理解析几何问题时，从知识到思想方法上都需要与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系。

能够判断直线与圆、点与圆、圆与圆的位置关系，解决直线与圆的有关问题的基本方法是将直线和圆的方程组成的方程组通过消元，化成一元二次方程，然后灵活使用判别式或违达定理解题；同时要善于利用直线和圆的几何知识解题。

直线与圆的位置关系是直线的一种重要应用，在高考中每年都有重点的考查，因此在复习时一定注意知识间的横向联系，以达到融汇贯通。

【知识网络】

 

【经典题例】

例1：不等式 表示的平面区域是在直线（    ）

的点的集合。

（A）左上方      （B）右上方      （C）左下方      （D）右下方

[思路分析]  作出直线，又因为，所以原点在区域内侧表示直线的左下方，故选取C。

[简要评述]  用特殊值法解选择题是常用的方法。

例2：若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是  (     )

（A） （B） （C） （D）或(-1,1]

[思路分析]  数形结合的思想，

表示一组斜率为1的平行直线，

表示y轴的右半圆。如图可知，选（D）

[简要评述]  数形结合思想的灵活运用，此题

可以进一步拓展，，等。

例3：如果实数x、y满足，那么的最大值是            。

[思路分析]  解法一：设直线l：，则表示直线的斜率，直线与圆

相切时，斜率为最大或最小，所以只要求圆心到直线

距离为半径即可。

解法二：设圆的参数方程：

则   据三角知识求解。

解法三：设=t ，则  只要解方程组，利用可得解。

解法四：如图，联结圆心C与切点M，则由OM⊥CM，又Rt△OMC中，OC=2，CM=

        所以，OM=1，得

 [简要评述]  小题小做，选方法四最为简单，数形结合的数学思想的灵活运用。

例4：已知两点，，求直线的斜率与倾斜角。

[思路分析]  注意斜率存在的条件。当时，不存在。=，当时，

；当时,，当时,

[简要评述]  此题涉及到分类讨论的数学思想方法，分类讨论在历年的高考中，特别是综合性题目中常常出现，是重点考查的数学思想方法之一。

例5：过点作两条互相垂直的直线，分别交、的正半轴于、，若四边形的面积被直线平分，求直线方程。

[思路分析]  命题有两种设方程的方案：①设、的点斜式方程，然后求出；②设的截距式方程，经过估算，应选第②方案更好。设方程为（a>0,b>0）

∴、。  ∵⊥ ∴

  ∵a>0  0<b<5   ∵方程的一般式为

∴到的距离

∴的面积

而的面积，

∵直线平分四边形的面积，∴  ， 可得   

故所求方程为和。

[简要评述] 若命题中的直线与两坐标轴均有交点，应首先考虑选用截距式方程是否有利。

例6：已知，定点A(1,0)，B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且(O为坐标原点)，求△ABC重心G的轨迹方程。

[思路分析]  设，则；设G（x，y）

则      ①

        ②

       ①²+②²  得     

即 

[简要评述] 适当运用圆的参数方程，设B、C两点坐标，有利于寻求函数关系。

例7：过点P（-8，0），引圆C： 的割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹方程。

[思路分析] 方法一，      

∵CM⊥PM，∴弦AB的中点M的轨迹是以

P（-8，0）、C（1，-5）中点为圆心，|PC|

长为直径的圆。

   （圆C的内部）

方法二，设M（x，y）为中点，过点P（-8，0）的直线

，又设A（，y₁），B（x₂，y₂），

由方程组 

                                                  

可以得到

据韦达定理可以得解。                                                 

方法三，

化简得       （圆C的内部）

 [简要评述]  方法一是据圆的定义得解的较为简单；方法二容易想到，但计算量太大；方法三是利用平面两向量垂直的性质与平面两向量的数量积，使解题过程简单化。

例8：已知气象台A处向西300km处，有个台风中心，已知台风以每小时40km的速度向东北方向移动，距台风中心250km以内的地方都处在台风圈内，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A处进入台风圈？气象台A处在台风圈内的时间大约多长？

[思路分析]  如图建立直角坐标系，B为台风中心，

处在台风圈内的界线为以B为圆心，半径为250的

圈内，若t小时后，台风中心到达B₁点，则

B₁(-300+40tCOS45⁰,40tsin45⁰)，则以B₁为圆心，

250为半径的圆的方程为

那么台风圈内的点就应满足 。若气象台A处进入台风圈，那么A点的坐标就应满足上述关系式，把A点的坐标(0，0)代入上面不等式，得，解得，即为；所以气象台A处约在2小时后进入台风圈，处在台风圈内的时间大约6小时37分。

[简要评述]  学生怕做应用题，帮助学生分析题意尤其重要。关键是寻求有效信息，建立函数关系式，运算到位。

【热身冲刺】

一、选择题：

1．  △ABC中，三个顶点坐标A（2，4）、B（-1，2）、C（1，0），点P（x，y）在内部及

其边界运动，则z=x-y的最大值及最小值是                               （     ）

   （A）3，1        （B）-1，-3        （C）1，-3        （D）3，-1

2．已知点A（3，1）和B（-4，6）在直线的两侧，则a的取值范围（     ）

   （A）-7＜a＜24    （B）-24＜a＜7    （C）a＜7或a＞24    （D）a=7或a=24

3．如果直线的斜率分别是方程的两根，则的夹角是   （     ）

   （A）π/3          （B）π/4         （C）π/6           （D）π/8

4． 平行直线与的距离是                 （     ）

   （A）2/13         （B）1/13          （C）1/26           （D）5/26

5．等腰三角形ABC，若一腰的两个端点坐标分别是A（4，2）、B（-2，0），A为顶点，则点C的轨迹方程是                                                    （     ）

   （A）

（B）           

      （C）

（D）

6．圆到直线的距离等于的点有     （     ）

   （A）1个         （B）2个         （C）3个         （D）4个

7．曲线曲线方程式是              （     ）

（A）（B）（C）（D） 

8．已知A（3，1），B（-1，2）若∠ACB的平分线方程为，则AC所在的直线方程为                                                                 （     ）

（A）  （B）   （C）  （D）

9．一条光线从点M（5，3）射出，与轴正向成α角，遇轴后反射，若tanα=3，则反射光线所在直线方程为                                                   （     ）

   （A） （B） （C） （D）

10．将直线沿轴正方向平移两个单位，再沿轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率为                                                （     ）

   （A）          （B）              （C）           （D）

二、填空题：

11．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是                        。

12．直线恒过定点，则定点的坐标是                      。  

13．若实数，满足关系：，则+的最大值是                   。

14．若圆，（）关于-=0对称，则系数D、E、F满足关系                             。

三、解答题：

15．直线：相交于第四象限，求m的取值范围。

16．设实数a，考虑方程组（1）若此方程组有实数解，求a的范围；

（2）此方程组有几组不同的实数解？

17．有一种大型的商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回来每公里的运费A地是B地两倍。若A、B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，那么，不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？

18．已知点A（-1，-4），试在y轴和直线y=x上各取一点B、C，使△ABC的周长最小。

19．已知圆x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0。（1）求证：不论m取何值，圆心在同一直线上；（2）与平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：不论m取何值，任何一条平行于且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等。

20．已知△ABC的三边长分别为3、4、5，点P是它的内切圆上一点，求分别以PA、PB、PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。

【热身冲刺】参考答案

1—10.CAACB  CCCDB，11．（1，1），12．（-2，3），13．5，14．D=E，15．m＞-1/2

16．因为ｘ²－ｙ²＝0表示过原点的两条互相垂直的直线：y=x，y=-x，（x-a）²+y²=1表示圆心为C（a，0），半径为1的动圆，本题讨论方程组有实数解的问题即讨论圆与直线有公共点的问题。（1）-≤a≤；（2）当-＜a＜-1或-1＜a＜1或1＜a＜时有四组实数解，当a=±1时，有三组实数解，当a=±时，有两组实数解，当a＜-或a＞时无实数解。

17．以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。设A（-5，0），则B（5，0），在平面内任取一点P（x，y），设从A运货物到P的运费为2a元/km，则从B运到P的费用是a元/km，若P地居民选择在A地购买此商品，则

即P点在圆C

的内部.换言之,圆C内部的居民应在A地购买,同理可推得圆C外部的应在B地购物，圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物。

18．尝试使用对称法，如图作A点关于y轴

的对称点A₁，再作A点关于y=x的对称点A₂，

在y轴和y=x上公别取点B、 C，则|BA|=|BA₁|，

|AC|=|A₂C|，于是△ABC的周长

|AB|+|BC|+|CA|=|A₁B|+|BC|+|CA₂|，

从而将问题转化为在y轴，y=x上各取一点，使

折线A₁BCA₂的长度最小。B（0，-17/5）和C（-17/8，-17/8）

19．（1）配方得圆心，将心坐标消去m可得直线a：x-3y-3=0

   （2）设与直线a平行的直线c：x-3y+b=0（b≠-3），则圆心到直线a的距离为

，∵圆的半径r=5，∴当d＜r时，直线与圆相交，当d=r时，直线与圆相切，当d＞r时直线与圆相离。（3）对于任一条平行于a且与圆相交的直线的直线c，由于圆心到直线c的距离都与m无关，所以弦长与m无关。

20．△ABC为直角三角形，如国图建立直角坐标系，

则A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），设内切圆半径

为r，则r=1/2（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故内切圆方程为

（x-1）²+（y-1）²=1，可设P点坐标（1+Cosα，1+Sinα）

则以PA、PB、PC为直径的三个圆面积之和S=（10-Cｏｓα）

当Cosα=-1时，Smax=5.5π,

当Cosα=1时, Smin=4.5π.