必修二第三章
直线与方程的知识点
倾斜角与斜率
1. 当直线与x轴相交时，我们把x轴 方向与直线向 方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 直线的倾斜角
的范围是 .
2. 斜率：①倾斜角为，则 k= （ 条件： ）
②已知直线上两点
，则有k= （ 条件： ）
特别地是，当
，
时，直线与x轴 ，斜率k
注意：当
时，斜率 ，随着α的增大，斜率 ；
当
时，斜率 ，随着α的增大，斜率 。
两条直线平行与垂直的判定
1. 对于两条不重合的直线
、
，其斜率分别为
、
，有：
（1）平行 （2）垂直
2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；
两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率为0，则它们垂直。
直线的点斜式方程
1. 点斜式：直线
过点
,且斜率为k，其方程为 .
2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为 .
3. 点斜式和斜截式不能表示 的直线.
4.注意：
与
是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.
直线的两点式方程
1. 两点式：直线经过两点
，其方程为 ，
2. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为 .
3. 两点式不能表示 的直线；截距式不能表示 的直线
4. 线段
中点坐标公式
直线的一般式方程
1. 一般式：
，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程
化为斜截式方程 ，斜率为 ，y轴上截距为 .
2. 与直线
平行的直线，可设所求方程为 ；
与直线垂直的直线，可设所求方程为 .
3. 已知直线
的方程分别是：
（
不同时为0），
（
不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
（1）平行 （2）垂直 .
两条直线的交点坐标
1. 求交点：解方程组
.
2. 方程
为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是
与
的交点.
两点间的距离
1. 平面内两点
，
，则两点间的距离为： .
点到直线的距离及两平行线距离
1. 点
到直线
的距离公式为 .
2.两条平行直线
，
之间的距离公式 ，
对称问题
1、关于点的对称：实质考察：
2、关于线的对称：要点：
一.选择题
1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ）
A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0
2. 过点
且垂直于直线
的直线方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 已知过点
和
的直线与直线
平行，则
的值为（ ）
A. 0 B. -8 C. 2 D. 10
4.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ）
A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0
5.设直线ax+by+c=0的倾斜角为
，切
则a,b满足 （ ）
A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0
6. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=
A、 -3 B、-6 C、
D、
7.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）A 2 B 
C 1 D 
8. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ）
A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）
9. 已知直线
平行，则k得值是（ ）
A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
10、若图中的直线L
1、L
2、L
3的斜率分别为K
1、K
2、K
3则（ ）
A、K
1﹤K
2﹤K
3 B、K
2﹤K
1﹤K
3
C、K3﹤K2﹤K1 D、K1﹤K3﹤K2
11、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）
A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0
12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )
A. ab＞0，bc＞0 B. ab＞0，bc＜0 C. ab＜0，bc＞0 D. ab＜0，bc＜0
13. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )
A. 
B. 
C. 
D. 
二、填空题
1. 点
到直线
的距离是________________.
2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a的值为
3.经过两直线11x+3y－7=0和12x+y－19=0的交点，且与A（3，－2），B（－1，6）等距离的直线的方程是 。
4.（全国Ⅰ文16）若直线被两平行线
所截得的线段的长为
，则的倾斜角可以是 ①
②
③
④
⑤
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
5. “直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”,则m=
6. 如果直线l经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x垂直，则原点到直线 l 的距离是
三.解答题
1.已知两条直线
. 
为何值时, 
（1）相交 （2）平行 （3）垂直
2. 求经过直线
的交点且平行于直线
的直线方程.
3.求平行于直线
且与它的距离为
的直线方程。
4.已知直线 l1 : mx + 8y + n = 0与l2 : 2x + my - 1 = 0互相平行，求l1，l2之间的距离为
时的直线l1的方程.
5.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。
6.求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。
第二篇：必修2 直线与方程知识点归纳总结
必修2
第三章 直线与方程
1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
① 关于倾斜角的概念要抓住三点：
ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角?的范围00???1800.
④ 0????90?,k?0； 90????180?,k?0 （2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为900的直线斜率不存在。 ②经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（x1?x2）的直线的斜率公式是k?（x1?x2）
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，则有l1//l2?k1?k2。 特别地，当直线l1,l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行。 （2）两条直线垂直
如果两条直线l1,l2斜率存在，设为k1,k2，则l1?l2?k1?k2??1
注：两条直线l1,l2垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直。
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y2?y1x2?x1
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二、直线的方程 1、直线方程的几种形式
注：过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若x1?x2且y1?y2，直线垂直于x轴，方程为x?x1；
（2）若x1?x2且y1?y2，直线垂直于y轴，方程为y?y1； （3）（3）若x1?x2且y1?y2，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式
若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，且线段P1,P2的中点M的坐标为(x,y)，则
x1?x2?
x???2
?
?y?y1?y2?2?
3. 过定点的直线系
①斜率为k且过定点(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)；
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②过两条直线l1:A1x?B1y?C1?0, l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0（?为参数），其中直线l2不在直线系中.
三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点
设两条直线的方程是l1:A1x?B1y?C1?0, l2:A2x?B2y?C2?0两条直线的交点坐标就是方程组?
?A1x?B1y?C1?0?A2x?B2y?C2?0
的解，
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离
平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2?(x2?x1)2?(y2?y1)2
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP?（2）点到直线的距离
点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离d?（3）两条平行线间的距离
两条平行线l1:Ax?By?C1?0, l2:Ax?By?C2?0间的距离d? （注意：
① 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
② 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）
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x?y
22
Ax0?By0?C
A?B
2
2
C2?C1A?B
2
2
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补充：
1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
（2）．已知斜率k的范围，求倾斜角?的范围时，若k为正数，则?的范围为(0,)的子集，且k=tan?为增函数；若k为负数，则?的范围为(,?)的
2
2
??
子集，且k=tan?为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
2、利用斜率证明三点共线的方法：
已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若x1?x2?x3或kAB?kAC，则有A、B、C三点共线。
注：斜率变化分成两段，900是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 3. 两条直线位置关系的判定：
已知 l1:Ax?By?C1?0, l2:Ax?By?C2?0，则：
（1）l1?l2?A1A2?B1B2?0
（2）l1//l2?A1B2-A2B1?0,A1C2?A2C1?0;
（3）l1与l2重合?A1B2-A2B1?0,A1C2?A2C1?0;
（4）l1与l2相交?A1B2?A2B1?0
如果A2B2C2?0时，则：
(1)l1?l2?(2)l1//l2?
A1B1A1A2
??A2B2B1B2A1A2A1A2
??1 ???C1C2B1B2B1B2
(A2,B2,C2不为0）； ?C1C2
(A2,B2,C2不为0）
(3)l1与l2重合?(4)l1与l2相交?
(A2,B2不为0）
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4. 有关对称问题
常见的对称问题：
（1）中心对称
①若点M(x1,y1)及N(x2,y2)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式得?x?2a?x1 ??y?2b?y1
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1//l2，由点斜式得到所求直线方程。
（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax?By?C?0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l上，由方程组
y1?y2?x1?x2A()?B()?C?0??x2?22??? ?y2?y1Ay??2??(?)??1?B?x2?x1
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)（其中A?0,x1?x2）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
注：①曲线、直线关于一直线y??x?b对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x,y)?0关于直线y?x?2对称曲线方程是f(y?2,x?2)?0
②曲线C:f(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(2a?x,2b?y)?0
5. 两条直线的交角
①直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针
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方向旋转到与
tan??k2?k1
1?k1k2l2重合时所转动的角?，它的范围是(0,?)，当??90?时.
②两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相
??交所成的四个角中最小的正角?，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是?，?0,??2??
当??90?，则有tan??k2?k1
1?k1k2.
6. 直线l上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
(1) 在直线l上求一点P，使PA?PB取得最小值，
① 若点A、B位于直线l的同侧时，作点A（或点B）关于l的对称点A/或B, /连接AB(或AB)交l于P，则点P即为所求点.//
② 若点A、B位于直线的异侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。 可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.
（2）在直线l上求一点P使PA?PB取得最大值，
方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”
① 若点A、B位于直线l的同侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。 ② 若点A、B位于直线的异侧时，作点A（或点B）关于l的对称点A/或B/, 连接AB(或AB)交l于P，则点P即为所求点
22//. (3) PA?PB的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
7. 直线过定点问题：
① 含有一个未知参数，
y?(a?1)x?2a?1 ?y?a(x?2)?x?1 （1）
令x?2?0?x??2，
将x??2代入(1)式，得y?3，从而该直线过定点(?2,3)
② 含有两个未知参数
(3m?n)x?(m?2n)y?n?0 ?m(3x?y)?n(?x?2y?1)?0
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令1?x????3x?y?0?7 ?? ???x?2y?1?y?3
?7?
从而该直线必过定点(?,) 7713
8. 点到几种特殊直线的距离
（1）点P(x0,y0)到x轴的距离d?|y0|。
（2）点P(x0,y0)到y轴的距离d?|x0|.
（3）点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d?|y0?a|。
（4）点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d?|x0?a|.
9. 与已知直线平行的直线系有：
（1）平行于直线Ax?By?C?0的直线可表示为
（2）平行于直线y?kx?b的所有直线为Ax?By?C?0(C?C)//// y?kx?b(b?b)
10. 易错辨析：
（1） 讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：
① 斜率不存在时，是否满足题意；
② 斜率存在时，斜率会有怎样关系。
（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）
（3） 直线到两定点距离相等，有两种情况：
① 直线与两定点所在直线平行；
② 直线过两定点的中点。
（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。）
（4）过点A(x0,y0)，平行于x轴的直线方程为y?y0
过点A(x0,y0)，平行于y轴的直线方程为x?x0
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