整式的加减（二）—去括号与添括号（基础）

撰稿：孙景艳 审稿： 赵炜 【学习目标】

1．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；

2. 会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．

【要点梳理】

【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号388394 去括号法则】

要点一、去括号法则

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

要点诠释：

(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．

（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．

(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．

（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．

要点二、添括号法则

添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．

要点诠释：

(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．

(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：

????如：a?b?c??????????a?(b?c)， a?b?c??????????a?(b?c)

要点三、整式的加减运算法则

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．

要点诠释：

（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．

（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．

(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．

【典型例题】

类型一、去括号 添括号去括号添括号去括号

1．去括号：(1)d-2(3a-2b+3c)；(2)-(-xy-1)+(-x+y)．

【答案与解析】(1)d-2(3a-2b+3c)＝d-(6a-4b+6c)＝d-6a+4b-6c；

(2)-(-xy-1)+(-x+y)＝xy+1-x+y．

【总结升华】去括号时．若括号前有数字因数，应先把它与括号内各项相乘，再去括号． 举一反三

【变式1】去掉下列各式中的括号：

(1). 8m-(3n+5)； (2). n-4(3-2m)；(3). 2(a-2b)-3(2m-n).

【答案】(1). 8m-(3n+5)＝8m-3n-5.

(2). n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.

(3). 2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.

【变式2】下列运算正确的是（ ）.

A．-3(x-1)＝-3x-1 B．-3(x-1)＝-3x+1 C．-3(x-1)＝-3x-3 D．-3(x-1)＝-3x+3

【答案】D

类型二、添括号

2．在各式的括号中填上适当的项，使等式成立．

(1). 2x?3y?4z?5t??()??()?2x?()?2x?3y?(

(2). 2x?3y?4z?5t?2x?()?2x?()?2x?3y?()?4z?5t?(

【答案】（1）. ?2x?3y?4z?5t，2x?3y?4z?5t，?3y?4z?5t，4z?5t.

（2）. ?3y?4z?5t，3y?4z?5t，?4z?5t，?2x?3y.

【解析】(1)2x?3y?4z?5t ??(?2x?3y?4z?5t?)?(2x?3y?4z?5t )

?2x?(?3y?4z?5t)?2x?3y?(4z?5t)；

(2)2x?3y?4z?5t?2x?(?3y?4z?5t)?2x?(3y?4z?5t)

?2x?3y?(?4z?5t)?4z?5t?(?2x?3y)．

【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．

【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号 388394添括号练习】举一反三

【变式】?1?a?b?c?d?a?? ?；?2?x?2y?z??? ?;

?3?a2?b2?a?b??a2?b2??? ?;?4?a2?b2?a?b?a2?a??

【答案】b?c?d；?x?2y?z；a?b；b2?b.

类型三、整式的加减

3． 已知M?3x2?2xy?y2,N?2x2?xy?3y2,求：?1?.M?N;?2?.2M?3N.

【答案与解析】

（1）M?N?(3x2?2xy?y2)?(2x2?xy?3y2)

?3x2?2xy?y2?2x2?xy?3y2

?(3?2)x2?(2?1)xy?(1?3)y2

?x2?3xy?4y2)； )． ?．

（2）2M?3N?2(3x?2xy?y)?3(2x?xy?3y) 2222

?(6x2?4xy?2y2)?(6x2?3xy?9y2)

?6x2?4xy?2y2?6x2?3xy?9y2

?(6?6)x2?(4?3)xy?(2?9)y2

??7xy?11y2

【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． 类型四、化简求值

4. 先化简，再求各式的值：11??2?2?3x???x?y2???2x?y2?,其中x??2,y?; 23??3?3?2

【答案与解析】原式=1312x?x?y2?2x?y2??3x?y2, 2233

2244当x??2,y?时，原式=?3?(?2)?()2?6??6. 3399

【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题的书写格式一般为：当??时，原式=？ 举一反三

【变式1】先化简再求值：(-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)，其中x＝-2．

【答案】 (-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)＝-x2+5x+4+5x-4+2x2＝x2+10x.

当x＝-2，原式=(-2)2+10×(-2)＝-16．

【变式2】先化简，再求值：3(y?2x)?[3x?(x?y)]?2x，其中x,y化为相反数.

【答案】3(y?2x)?[3x?(x?y)]?2x?3y?6x?3x?x?y?2x?2(x?y)

因为x,y互为相反数，所以x?y?0

所以3(y?2x)?[3x?(x?y)]?2x?2(x?y)?2?0?

5. 已知xy??2，x?y?3，求整式(3xy?10y)?[5x?(2xy?2y?3x)]的值．

【答案与解析】由xy??2，x?y?3很难求出x，y的值，可以先把整式化简，然后把xy，x?y分

别作为一个整体代入求出整式的值．

原式?3xy?10y?(5x?2xy?2y?3x)

?3xy?10y?5x?2xy?2y?3x

?5x?3x?10y?2y?3xy?2xy

?8x?8y?xy

?8(x?y)?xy．

把xy??2，x?y?3代入得，原式?8?3?(?2)?24?2?22．

【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便． 举一反三

【变式】已知代数式3y?2y?6的值为8，求

22232y?y?1的值． 2【答案】∵ 3y?2y?6，∴ 3y?2y?2． ?8

当3y?2y?2时，原式＝211(3y2?2y)?1??2?1?2．

22

226. 如果关于x的多项式(8x?6ax?14)?(8x?6x?5)的值与x无关．你知道a应该取什么值吗？

试试看．

【答案与解析】所谓多项式的值与字母x无关，就是合并同类项，结果不含有“x”的项，所以合并同类

项后，让含x的项的系数为0即可．注意这里的a是一个确定的数．

(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)

＝8x2+6ax+14-8x2-6x-5

＝6ax-6x+9

＝(6a-6)x+9

由于多项式(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)的值与x无关，可知x的系数6a-6＝0．

解得a＝1．

【总结升华】本例解题的题眼是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”

的项．

第二篇：《整式的加减》知识讲解(2)

《整式的加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【要点梳理】

要点一、整式的相关概念

1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

3. 多项式的降幂与升幂排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；

（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．

4．整式：单项式和多项式统称为整式．

要点二、整式的加减

1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．

要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：

（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；

（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．

2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．

3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．

4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．

1

5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．

【典型例题】

类型一、整式的相关概念

1．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式．

(1)a?3 (2)5 (3)

(9)xm?n2x?b (4)?y (5)3xy (6) (7) (8)1+a% 25a?1(a?b)h 2

【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故

母，故2?b不是整式；②π是常数而不是字ax

?是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减．如

举一反三： m?nmn111其实质为?，(a?b)h其实质为ah?bh． 555222

【变式1】若单项式?2xayb?2与单项式3y2?bx5的和是单项式，那么3a?b?

【变式2】若多项式(m?4)x3?xn?1?5x?(n?m?2)是关于x的二次三项式，则m?________，

n?________，这个二次三项式为 。 类型二、同类项及合并同类项

2．若2m3m?1n?152n?1xy与?xy是同类项，求出m, n的值，并把这两个单项式相加. 35

【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中，．．．．

常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并.

举一反三：

【变式】合并同类项．

(1)3x?4xy?4y?5x?2xy?2y； 2222

9329111xy?xy?x3y2?xy?x3y?5． 2424

类型三、去（添）括号

(2)5xy?

3．化简x?21?12?． x?(x?x)?2?2??

．【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括 2

号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号．

举一反三：

【变式1】下列去括号正确的是( )．

A．a2?(2a?b2?b)?a2?2a?b2?b

B．?(2x?y)?(?x2?y2)??2x?y?x2?y2

C．2x2?3(x?5)?2x2?3x?5

D．?a3?[?4a2?(1?3a)]??a3?4a2?3a?1

【变式2】先化简代数式2?11???a??a2??(3a2?5a?1)?a?5??，然后选取一个使原33????3

式有意义的a的值代入求值．

【变式3】(1) (x＋y)2－10x－10y＋25＝(x＋y)2－10(______)＋25;

(2) (a－b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]． 类型四、整式的加减

4. 从一个多项式中减去2ab?3bc?4，由于误认为加上这个式子，得到2bc?2ab?1，试求正确答案。

【答案与解析】

解：设该多项式为A，依题意，A?(2ab?3bc?4)?2bc?2ab?1

A?(2bc?2ab?1)?(2ab?3bc?4)

A?(2ab?3bc?4)?(2bc?2ab?1)?2(2ab?3bc?4)

?2bc?2ab?1?4ab?6bc?8?8bc?6ab?9

答：正确答案是8bc?6ab?9．

【总结升华】当整式是一个多项式，不是一个单项式时，应用括号把一个整式作为一个整体来加减． [来源学。科。网]

举一反三：

【变式】已知A＝x2＋2y2－z2，B＝－4x2＋3y2＋2z2，且A＋B＋C＝0，则多项式C为( )． 类型五、化简求值

5. （1）直接化简代入

当22222时，求代数式15a－{－4a＋[5a－8a－(2a－a)＋9a]－3a｝的值． （2）条件求值

2 已知(2a＋b＋3)＋｜b－1｜＝0，求3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1的值．

（3）整体代入

3

已知m2?m?1?0，求m3?2m2?2009的值．

（2）由(2a＋b＋3)2＋｜b－1｜＝0可知：2a＋b＋3=0，b－1=0，解得a= -2，b=1. 3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1

【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系．

举一反三： 2a?b2(2a?b)3(a?b)?6，求代数式?的值． a?ba?b2a?b

类型六、综合应用

【变式】已知

6. 对于任意有理数x，比较多项式4x?5x?2与3x?5x?2的值的大小．

【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．

举一反三：

【变式】设A?2x?3xy?y?x?2y, B?4x?6xy?2y?3x?y. 若x?2a?(y?3)2?0且B?2A?a，求a.

222222

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