初中数学运用反例教学的案例分析

一、数学反例的功能

数学反例贯穿于整个数学学习阶段，通过学习数学反例可加深学生对数学概念的理解：培养学生对数学知识归纳、提炼;还养成严密的逻辑思维能力和正确运用数学语言，通过学习数学反例可以提高学生作图技能.教学中恰当地利用反例，可以促进学生数学概念的形成、数学内涵的理解，使学生全面掌握数学知识，解决数学问题.除此之外，学会举反例，有助于学生形成批判意识，数学反例具有独特的教学功能。所以，在教学中既要重视解答数学命题的能力，又要加强数学反例的教学。

二、教学反例与课堂教学

1、几个相关定理

定理1：有两边及其中一边的对角对应相等的两直角三角形全等。

分析：在两直角三角形中，若已知两边对应相等.则这两边必是两直角边或斜边和一直角边，因此可由边角边公理或斜边直角边公理判定这两个三角形全等。

证明：略。

定理2：有两边及其中一边的对角对应相等的等腰三角形全等。

分析：在两个等腰三角形中，若有一角对应相等.易证另两角也分别对应相等。再由边角边公理可两三角形全等。

证明：略。

由定理1、2知，反例中的三角形一定不是直角三角形或等腰三角形。

定理3：在两三角形中，如果已知两边及其中一边的对角对应相等，则第三边上的高对应相等。

2、举反例有利于数学概念的形成和理解

概念的反例提供了最有利于辨别数学概念的信息，使人产生深刻印象，对概念认识的深化具有非常重要的作用.反例的适当使用不但可以使学生概念的理解更加精确，而且还可以排除无关属性的干扰.教师可以通过创设反例加深学生对概念实质的理解.比如在初二学习函数定义时，“在某一变化过程中，存在两个变量x、y，当变量x在某一允许变化范围内任取一个值，通过某种对应法则，都有唯一的值y与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，其中X叫做自变量，Y叫因变量”.表面上，同学们都认为这个定义不需要解释也能明白、理解，但我出了四个例子(其中二个是反例)让学生来比较判断，结果约有60%多的学生出现错误，是什么原因造成的呢?仔细分析下来，学生对上述定义中两处划线词语的理解不透，我们来简要分析这几个反例.答案(1)中，因为集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合定义中的“唯一”，而答案(3)中的A集合中的元素3没有规定像，也不符合定义中的“任取”之要求，所以正确答案是(2)和(4)。

再比如判断命题“两条直线都平行于同一条直线，那么这两直线也相互平行”“两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线相平行”对于这两个命题，要求学生从命题的条件和结论考虑，许多学生认为这两个命题都是正确的，事实上，第一个命题是正确的，但是第二个命题中还缺少一个大前提“在平面上”，否则结论显然是错误的，反例如图(2)直线a与直线b都垂直于直线c，但直线a与直线b不平行，这样同学们自然而然会对这条性质有了更深的认识。

学习一个新概念对学生来说需要一个过程，有些数学概念比较轴象，学生不容易接受，教师千万不可急于求成，而要努力去寻找突破问题的切入点，如果从正面描述学生还不能理解的话，不妨从反面来解释说明，此时若能举一、两个反例，对照概念的内涵、概念的属性作解释、作比较，再去判断就会起到意想不到的效果.有利于数学知识归纳，学习一节数学知识后，我们经常要对知识进行总结归纳，通常应用比较法、列表法，其中通过举反例来加深学生对知识的理解也是十分有效的手段，例如现行上海市九年级教材第二十八章28.2平行线段成比例定理，学生以为这个定理有逆定理，其实只要举一个反例就能就明问题.再比如，判断一个四边形是平行四边形，除了教材中给出的判定定理之外，还有其它判定方法，如“两组对角分别相等的平面四边形是平行四边形”，为了加深理解，我们可以举相关的例子让学生判断，比如像“一组对角相等，一组对边相等”的四边形是平行四边形吗?这命题是假的，给出一个反例即可，当然这个反例学生是不容易想到的，老师要作分析讲评，请看：反例：一组对角相等，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。

三、数学反例有助于教师专业成长

对于同类的数学知识，我们经常要进行概括，教师要帮助学生找出命题的共同点和不同点，要培养学生学会应用“三段论”还要注意概念的内涵和外延.在总结圆内接四边形时，我曾问学生：什么样的四边形一定有外接圆?有人说“平行四边形”有人说等腰梯形”还有人说“任意四边形也可以”等等，对于这样的问题，只要举反例告诉学生就可以了，但我又提出问题：“能不能用一名话来概括这些共同的圆内接四边形?”经过引导，学生探究得到“对角互补的四边形一定有外接圆”，这类问题在数学中随处可见，只要教师及时把握，就能起到事半功倍的作用。通过循环来消化吸收，加深了对由特殊到一般的辩证关系的理解。体现了波利亚所说：“数学有两个侧面在创造过程中的数学看起来是一门实验性的归纳科学”。

数学反例不但对学生掌握数学知识，理解数学概念，把握数学本质，加强数学应用方面有积极的作用，而且对教师传授数学知识，讲清数学概念，分析数学问题，业务成长方面也有推动作用.数学反例的教学，从某种角度上也可反映教师的基本素质和业务能力，课堂上恰如其分地给出数学反例，提高学生兴趣，加深学生印象，通过比较、举例让学生达到举一反三、融会贯通的目的，这是一名教师驾驭课堂氛围的能力体现.上面已经提到，数学反例并不是随手可得，随意编造的，有的数学反例是不容易想到的，这需要教师在平时注重各个教学细节，各个数学知识点，不断学习积累，养好良好的数学素养，有助于教师专业成长.另外，值得一提的是，举数学反例推翻原命题的结论不同于数学反证法，它们都属于判断一个命题的方法，但有着本质上的区别，在此不再赘述。

第二篇：初中数学课堂教学案例分析

初中数学课堂教学案例分析

一、教学案例实录

教学过程 :

1. 习旧引新

⑴ 在 ⊙O 上 , 任到三个点 A 、 B 、 C, 然后顺次连接 , 得到的是什么图形 ? 这个图形与 ⊙O 有什么关系 ?

⑵ 由圆内接三角形的概念 , 能否得出什么叫圆的内接四边形呢 ( 类比 )?

2. 概念学习

⑴ 什么叫圆的内接四边形 ?

⑵ 如图 1, 说明四边形 ABCD 与 ⊙O 的关系。

3. 探讨性质

⑴ 前面我们已经学习了一类特殊四边形 ---- 平行四边形 , 矩形 , 菱形 , 正方形 , 等腰梯形的性质 , 那么要探讨圆内接四边形的性质 , 一般要从哪几个方面入手 ?

⑵ 打开《几何画板》 , 让学生动手任意画 ⊙O 和 ⊙O 的内接四边形 ABCD 。 ( 教师适当指导 )

⑶ 量出可试题的所有值 ( 圆的半径和四边形的边 , 内角 , 对角线 , 周长 , 面积 ), 并观察这些量之间的关系。

⑷ 改变圆的半径大小 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ?

⑸ 移动四边形的一个顶点 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? 移动四边形的四个顶点呢 ? 移动三个顶点呢 ?

⑹ 如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢 ?( 让学生回答 )

4. 性质的证明及巩固练习

⑴ 证明猜想

已知 : 如图 1, 四边形 ABCD 内接于 ⊙O 。求证 :∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180° 。

⑵ 完善性质

① 若将线段 BC 延长到 E( 如图 2), 那么 ,∠DCE 与 ∠BAD 又有什么关系呢 ? ② 圆的内接四边形的性质定理 : 圆内接四边形的对角互补 , 并且任何一个外角都等于它的内对角。

⑶ 练习

① 已知 : 在圆内接四边形 ABCD 中 , 已知 ∠A=50°,∠D-∠B=40°, 求 ∠B,∠C,∠D 的度数。

② 已知 : 如图 3, 以等腰 △ABC 的底边 BC 为直径的 ⊙O 分别交两腰 AB,AC 于点 E,D, 连结 DE,

求证 :DE∥BC 。 ( 演示作业本 )

5. 例题讲解

引例已知 : 如图 4,AD 是 △ABC 中 ∠BAC 的平分线 , 它与 △ABC 的外接圆交于点 D 。

求证 :DB=DC 。 ( 引例由学生证明并板演 )

教师先评价学生的板演情况 , 然后提出 , 若将已知中的“ AD 是 △ABC 中的 ∠BAC 的平分线 ” 改为“ AD 是 △ABC 的外角 ∠EAC 的平分线 ”, 又该如何证明 ? 引出例题。

例已知 : 如图 5,AD 是 △ABC 的外角 ∠EAC 的平分线 , 与 △ABC 的外接圆交于点 D,

求证 :DB=DC 。

6. 小结 : 为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象 , 让学生组成小组 , 从概念 , 性质 , 方法 , 特殊性进行讨论 , 然后对讨论的结果进行归纳。

⑴ 本节课我们学习了圆内接四边形的概念和圆内接四边形的和要性质 , 要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念 , 理解圆内接四边形的性质定理 ; 并初步应用性质定理进行有关命题的证明和计算。

⑵ 我们结合《几何画板》的使用导出了圆内接四边形的性质 , 在这一过程中用到了许多数学方法 ( 实验 , 观察 , 类比 , 分析 , 归纳 , 猜想等 ), 同学们要逐步学会用并关于应用这些方法去探讨有关的数学问题 , 提高我们的数学实践能力与创新能力。

7. 作业

⑴ 如图 6, 在等腰直角 △ABC 中 ,∠C=90°, 以 AC 为弦的 ⊙O 分别交 BC,AB 于 D,E, 连结 DE 。求证 :△BDE 是等腰直角三角形。

⑵ 已知 :⊙O 和 ⊙O ＇相交于 A,B 两点 , 经过 A,B 两点分别作直线 CD 和 EF,CD 交 ⊙O,⊙O ＇于 C,D,EF 交 ⊙O,⊙O ＇于 E,F, 连结 CE,AB,DF 。

问 : 当 CD 和 EF 满足怎样的条件时 , 四边形 CEDF 是怎样的特殊四边形 ? 并证明所得的结论。 ( 选做 )

二、对教学案例的分析

这一教学案例当然不能被看作是培养学生创新意识的初中数学课堂教学的范例 , 其中许多环节还需要进一步改进完善。但其较为真实地反映了目前数学课堂教学的一些情况 , 一些教学环节的处理还是值得肯定的。

1. 突出了数学课堂教学中的探索性

关于圆的内接四边形性质的引出 , 在本教学案例上没有像教材那样直接给出定理 , 然后证明 ; 而是利用《几何画板》采取了让学生动手画一画 , 量一量的方式 , 使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想 , 自己去发现结论 , 并用命题的形式表述结论。关于圆内接四边形性质的证明 , 没有采用教师给学生演示定理证明 , 而是引导学生证明猜想 , 并做了进一步的完善。这种探索性的数学教学方式在其后的例题讲解中亦得到了进一步的贯彻。这样既调动了学生学习数学的积极性和主动性 , 增强了学生参与数学活动的意识 , 又培养了学生的动手实践能力。同时 , 也向学生渗透了实践 ---- 认识 ---- 再实践 ---- 再认识的辩证观点。一方面 , 使数学不再是一门单调枯燥 , 缺乏直观印象的高度抽象的学科 , 通过提供生动活泼的直观演示 , 让学生多角度 , 快节奏地去认识教学内容 , 达到事半功倍的教学效果 ; 另一方面 , 计算机所特有的 , 对数学活动过程的展示 , 对数学细节问题的处理可以使学生体验到用运动的观点来研究图形的思想 , 让学生充分感受到发现总是代和解决问题带来的愉悦 , 培养学生的数学创新意识。

2. 引进了计算机《几何画板》技术

本课例在引导学生得出圆内接四边形的性质时 , 通过使用《几何画板》 , 从而实现了改变圆的半径 , 移动四边形的顶点等 , 从而使初中平面几何教学发生了重大的变化 , 那就是让图形出来说话 , 充分调动学生的直觉思维。这样一来不仅极大地激发了学生学习的兴趣 , 而且比过去的教学更能够使学生深刻地理解几何。当然 , 本教学案例在这方面的探索还是初步的 , 设想今后通过计算机技术的进一步开发与应用 , 初中平面几何课能够给学生更多动手的机会 , 让学生以研究的方式学习几何 , 进一步突出学生在学习中的主体地位。

3. 引入了数学开放题

本教学案例在增大数学课堂教学的探索性 , 计算机技术进入数学课堂的同时 , 在学生作业中还增加了开放题 ( 作业 2), 为学生创造了更为广阔的思维空间 , 对此应大

力提倡。目前 , 世界各国在数学教育改革中都十分强调高层次思维能力的培养 , 这些高层次思维能力包括了推理 , 交流 , 概括和解决问题等方面的能力。要提高学生这种高层次的思维 , 在数学课堂教学中引进开放性问题是十分有益的。我国的数学题一直是化归型的 , 即将结论化归为条件 , 所求的对象化归为已知的结果。这种只考查逻辑连接的能力固然重要 , 并且永远是主要部分 , 但是 , 它不能是惟一的。单一的题型已经严惩阻碍了学生数学创新能力的培养。

在数学教学中还可将一些常规性题目发行为开放题。如教材中有这样一个平面几何题“证明 : 顺次连接四边形四条边的中点 , 所得的四边形是平行四边形。 ” 这是一个常规性题目 , 我们可以把它发行为“画一个四边形是什么样的特殊四边形 , 并加以证明。 ” 我们还可用计算机来演示一个形状不断变化的四边形 , 让学生观察它们四条边中点的连线组成一个什么样的特殊四边形 , 在学生完成猜想和证明过程后 , 我们进而可提出如下问题 :” 要使顺次连接四条边的中点所得的四边形是菱形 , 那么对原来的四边形应有哪些新的要求 ? 如果要使所得的四边形是正方形 , 还需要有什么新的要求 ?” 通过这些改造 , 常规题便具有了“开放题 ” 的形式 , 例题的功能也可更充分地发挥。

在此 , 我们进一步强调培养学生创新意识的数学课堂教学 , 不应仅仅把开放题作为一种习题形式 , 而应作为一咱教学思想。这种教学思想反映了数学教学观的转变 , 这主要反映在开放性问题强调了数学知识的整体性 , 数学教学的思维性 , 数学解决问题的过程性 , 强调了学生在教学活动中的主体作用于以及有利于提高学生学习的乐趣 , 提高了学生学习的内在动力等。

4. 学生学习方式被确定为“发现学习 ”

在学习理论上 , 按不同的学习方式 , 可分为接受学习 (reception learning) 和发现学习 (discovery learning) 。所谓接受学习 , 是指学习者将别人的经验变成自己的经验的时候 , 所学习的内容是以定论或确定的形式通过传授者的传授 , 不需要自己任何方式的独立发现 ; 发现学习则是由学习者自己发现问题和解决问题的一种学习方式 , 在课堂教学中则主要是指发现学习。尽管发现学习效率比接受学习的效率低 , 但却十分有利于培养学生发现与创新的意识 , 鉴于初中学生的身心与教学内容特点 , 发现学习应是培养创新意识的初中数学课堂教学中学生学习的主要方式。本教学案例中学生的学被确定为发现学习 , 那么教师的教学行为就应根据学生的这一学习特点来设计相应的教学方法以及教学的组织形式。即教师在指导学生学习概念和原理时 , 只给他们一些事实和问题 , 让学生积极思考 , 独立探索 , 自己发现并掌握相应的原理和规则。对此本教学案例中圆的内接四边形

的概念、性质等均没有直接给学生 , 而是在教师创设的问题情境中让学生发现而获得。但不足的是本案例似乎在这方面还不够典型 , 学生学习积极性的发挥与调动亦没有充分反映出来。这些问题都有待于我们继续进行深入的研究。