第一章
1 误差
相对误差和绝对误差得概念
例题:
当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?
答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果
在这个过程中存在一下几种误差:
建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差
选用数值方法产生:截断误差
计算过程产生:舍入误差 传播误差
6.设关于精确数有3位有效数字,估计的相对误差. 对于,估计对于的误差和相对误差.
解 的相对误差:由于
. ,
. ()
对于的误差和相对误差.
==
. □
2有效数字
基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:
2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)
例题:
4.改变下列表达式使计算结果比较精确:
(1)
(2)
(3) .
解 (1) . (2) .
(3) . □
第二章
拉格朗日插值公式(即公式(1))
插值基函数(因子)可简洁表示为
其中: .
例1 n=1时,线性插值公式 ,
例2 n=2时,抛物插值公式
牛顿(Newton)插值公式
由差商的引入,知
(1) 过点的一次插值多项式为
其中
(2) 过点的二次插值多项式为
其中
重点是分段插值:
例题:
1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式(结果要简化):
解(2):
方法一. 由 Lagrange 插值公式
可得:
方法二. 令
由 , , 定A,B (称之为待定系数法) □
15.设,求在区间上的分段线性插值函数,并估计误差,取等距节点,且.
解 , , ,
设 ,则:
误差估计:
. □
第三章
最佳一致逼近:(了解)
最佳平方逼近
主要分两种情形:
1. 连续意义下
在空间中讨论
2. 离散意义下
在维欧氏空间中讨论,只要求提供的样本值
1. 最佳逼近多项式的法方程组
设的维子空间 =span,
其中 是的线性无关多项式系.
对,设其最佳逼近多项式可表示为:
由
即 (*2)
其中
称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组(或正规方程组).
由的线性无关性,可证明正定,即
上述法方程组的解存在且唯一 .
11、 求 ,的一次和二次最佳平方逼近多项式.
解: 设 ,
分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。
内积
计算如下内积:
, ,
, ,
, ,
建立法方程组:
(1) ,得: ,
于是
(2)
解得: , , , 于是: . □
第四章
1 为什么要进行数值积分?常用哪些公式,方法?
答: 梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.
2: 方法好坏的判断: 代数精度
l 误差分析
1.代数精度的概念
定义 若求积公式 (*)对所有次数的多项式是精确的,但对 次多项式不精确,则称(*)具有次代数精度。
等价定义
若求积公式(*)对是精确的,但对不精确,则(*)具有次代数精度。
3: 误差
1 等距剖分下的数值求积公式:
公式特点:节点预先给定,均匀分布,系数待定
利用插值多项式近似代替,即得插值型求积公式Newton-Cotes公式
2 给定节点数下的具有最佳逼近性质(具有最高次代数精度)的数值求积公式:Gauss求积公式 公式特点:系数和节点均待定
3 分段插值多项式近似代替 (分段求积)复化求积公式
复化求积公式
通过高次求积公式提高精度的途径不行,类似函数插值
分而治之: 分段+低次求积公式---------- 称为复化求积法
两类低次()求积公式:
1. Newton-Cotes型:矩形、梯形、Simpson、Cotes公式
分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式
2. Gauss型: 一点、两点、三点Gauss求积公式
称为复化一点、两点、三点Gauss公式
复化梯形公式()
复化辛甫生公式: (每个上用辛甫生公式求积)
,为的中点
复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。
常采用其等价形式:
复化柯特斯公式
其中,,为的中点,
,为的四等分的分点
l 自适应复化求积法
计算时,要预先给定或步长,在实际中难以把握
因为,取得太大则精度难以保证,太小则增加计算工作量.
自适应复化梯形法的具有计算过程如下:
步1
步2
步3 判断?若是,则转步5;
步4 ,转步2;
步5 输出 .
第五章
1: 常用方法:
(1).直接解法:
逐步(顺序)消去法、
主元素法、矩阵分解法等;
(2).迭代解法:构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解
①.经典迭代法
迭代法、迭代法、
逐次超松弛(SOR)迭代法等;
②. Krolov子空间的迭代法
根据的对称性,又分为:
对称正定------- 共轭梯度法
非对称--------- BICG 、 GMRes(最小残量法)
③.解一类特定背景问题的迭代法
多重网格法
2: 几类迭代法优缺点比较:
3: 迭代方法
目标: 求解 其中,非奇异。
基本思想:
把线性方程组的解,化为一个迭代序列极限解
关键:构造迭代序列所满足的公式:迭代格式。
构造迭代格式基本步骤:
1. 将分裂:, 其中,非奇异
2. 构造迭代格式
其中,称之为迭代矩阵 ,
其中,为的残余向量
此时,
常用的迭代方法
将分裂为
其中
,,
l Jacobi迭代方法
若,迭代格式
①
其中 Jacobi迭代矩阵:
①式可写为分量形式
. (*1)
方法(*1)或①称为Jacobi迭代方法.
Gauss—Seidle迭代方法
若,迭代格式
②
其中,
Gauss-Seidel迭代矩阵:
其分量形式
,. (*2)
即,
在计算新分量时,利用新值,。
迭代法(*2)或②称为Gauss—Seidel迭代方法 。
l 超松弛方法(SOR)方法
定义SOR方法的迭代格式如下:
,
(*3)
称为松弛因子,即为方法.
其矩阵形式
其中,
SOR法的迭代矩阵:
.
第七章
1: 解非线性方程与方程组的方法:
1. 准确方法
如:用求根公式对次的代数多项式求根。
但: 绝大多数的方程并无准确方法可用。如: 次的代数多项式并无求根公式。
2. 数值方法(实际中大多采用)
基本思想: 设法找到一个能收敛到方程的解的序列。
(1).区间套法—— 二分法。
(2).迭代法:
①.简单迭代法; ②. Newton迭代法;
3. 割线法; 4.加速算法。
2: 收敛条件:
二分法无条件
简单迭代法条件:
定理1 如果 满足以下条件:
1) , ;
2) 常数 : , 使得对任意两点 ,都有
,
则: 方程(*)在 上的解存在唯一,且对任给的初值,由迭代过程(* *) 所产生的序列收敛到.
例题:
2. 为求方程在附近的一个根,设将方程改写为下列等价形式,并建立相应的迭代公式:
(1),迭代公式
(2),迭代公式 ,
(3),迭代公式 ,
试分析每一种迭代公式的收敛性,并问哪一种迭代收敛得快?
解:取的邻域来考察
(1) ,,故迭代公式(1)收敛.
(2) ,
,
故迭代公式(2)也收敛。
(3) ,
故迭代公式(3)发散.
由于越小,越快地收敛于根 ,故(2)式收敛最快。□
第八章
解一阶常微分方程的常用方法: Euler 方法 Runge-Kutta 方法
2阶常微分方程边值问题的差分方法
1. 三类边值问题
1)第一类边值问题:
, (3.1)
。 (3.2)
2)第二类边值问题:
, (3.3)
。 (3.4)
3)第三类边值问题:
, (3.5)
, (3.6)
其中, 。
2. 差分格式的建立
针对方程(3.1)而言.
Step 1 取 的离散节点:
, 第 步步长 , 一般可取等
步长: ,
Step 2 将 用二阶差商、 用一阶差商近似:
,
.
理由:由Taylor展开,有
两式相加得
,
其中, .
两式相减得
,
其中, .
Step 3 略去 项 , 并记 则由方程(3.1)有:
………………………………(3.7)
所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2)的差分格式:
…(3.8)
. …………………………(3.9)
对第二边值条件(3.3),由于
其中, , ,
已及
所以可得到第二类边值问题(3.3)-(3.4)的差分格式:
…(3.10)
. ………(3.11)
类似可得第三类边值问题(3.5)-(3.6)的差分格式(略).