数值分析编程总结

时间：2024.4.20

1. LU分解：

[L U]=lu(A);

2. 追赶法

function x=zhuiganfa(A,b)

[n,n]=size(A);

for i=1:n

if(i==1)

l(i)=A(i,i);

y(i)=b(i)/l(i);

else

l(i)=A(i,i)-A(i,i-1)*u(i-1);

y(i)=(b(i)-y(i-1)*A(i,i-1))/l(i);

end

if(i

u(i)=A(i,i+1)/l(i);

end

x(n)=y(n)

for j=n-1:-1:1

x(j)=y(j)-u(j)*x(j+1);

end

数值试验：

n=101;

关键是如何定义上述矩阵：

＞＞n=101;

c1=ones(1,n-1);

a1=diag(c1,-1); 这个-1说明行位置-1

c2=12*ones(1,n);

a2=diag(c2);

c3=ones(1,n-1);

a3=diag(c3,1);

a=a1+a2+a3;

3. 拉格朗日插值

function yh=lage(x,y,xh)

n=length(x);

m=length(xh);

yh=zeros(1,m);

c1=ones(n-1,1);

c2=ones(1,m);

for i=1:n

xp=x([1:i-1 i+1:n]);

yh=yh+y(i)*prod((c1*xh-xp'*c2)./(x(i)-xp'*c2));

end

＞＞ x=[11,12];

＞＞ y=[2,4];

＞＞ xh=[11.75];

＞＞ lage(x,y,xh)

ans =

3.5000

4 最小二乘法

1. 最小二乘的xi和yi为：

要拟合的函数为：y=a+bx-cxy 注意不是多项式

2. 编程函数为：

function z = erchen(x,y)

x1=ones(5,1);

A=[x1,x,-x.*y]; 注意点乘

z=A\y; 注意左除

a=z(1);

b=z(2);

c=z(3);

end

输入：

?? x=[1953 1964 1982 1990 2000]';

?? y=[5.82 6.95 10.08 11.34 12.66]';

?? erchen(x,y)

ans =

2.9456 =a

-0.0014 =b

-0.0005 =c

1. 最小二乘的xi和yi为：

要拟合的函数为：y=a+bx+cx2 是多项式

2. 编程函数为：

function z = erchen2(x,y)

x1=ones(5,1);

A=[x1,x,x.^2];

z=A\y;

a=z(1);

b=z(2);

c=z(3);

end

输入：

?? x=[0 0.25 0.5 0.75 1.00]';

?? y=[1.00 1.284 1.6487 2.1170 2.7183]';

?? erchen2(x,y)

ans =

1.0051

0.8642

0.8437

最小二乘多项式拟合的简单函数方法：

?? x=[0 0.25 0.5 0.75 1.00]';

?? y=[1.00 1.284 1.6487 2.1170 2.7183]';

?? P=polyfit(x,y,2) 要拟合成4次，则2改成4就可以了

P =

0.8437 0.8642 1.0051 注意此内置函数输出的结果c,b,a是反的

5 复合辛普森公式求解积分

先定义函数：

function v=f(x)

v=sin(x); “若定义有除数要点除，分母有0时要特殊定义”

end

定义程序：

function I=fsps(f,a,b,n)

h=(b-a)/n;

x=linspace(a,b,2*n+1);

y=feval(f,x);

I=(h/6)*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n))+y(2*n+1));

end

＞＞ fsps('f ',0,1,4)

ans =

0.4597

6.不动点迭代思路

不动点迭代常常有好几个迭代的不动点函数,所以要分别定义这些函数是很困难的,如是乎使用SWITCH内置函数进行切换,叫切换函数.

1.先定义函数后进行编程的方法

先需要定义不动点函数:

function v=f(x)

v=x^3-x-1;

end

再定义编程:

function [it,x]=fixpnt1(f,a,maxit,tol)

it=0;

x=feval(f,a);

while it＜=maxit & abs(x-a)＞tol,

it=it+1;

a=x;

x=feval(f,a);

end

此函数的调用：

＞＞ fixpnt1('f',2,100,1e-5)

ans =

3.利用切换函数SWITCH的方法（多个不动点迭代函数）

function [x,it]=fixpnt(np,a,maxit,tol)

switch np,

case 1,

phi=inline('(3*x+10)^(1/5)');

case 2,

phi=inline('sin(10*x)+2*cos(x)-3');

case 3,

phi=inline('3-atan(x)');

case 4,

phi=inline('-2-1/log(x^2+x+1)');

end

it=0;

x=phi(a);

while it＜=maxit & abs(x-a)＞tol,

it=it+1;

a=x;

x=phi(a);

end

使用与输入：

＞＞ fixpnt(2,1,100,1e-5)

ans =

-4.2696

7. 雅可比迭代

function [x it]=jacobi(A,b,tol)

D=diag(diag(A));

L=D-tril(A);

U=D-triu(A);

x=zeros(size(b));

for it=1:500

x=D\(b+L*x+U*x);

error=norm(b-A*x)/norm(b);

if (error

break;

end

8. 高斯迭代

function [x it]=gaosi(A,b,tol)

D=diag(diag(A));

L=D-tril(A);

U=D-triu(A);

x=zeros(size(b));

for it=1:500

x=(D-L)\(b+U*x);

error=norm(b-A*x)/norm(b);

if (error

break;

end

9. SOR迭代

function [x it]=SOR(A,b,w,tol)

D=diag(diag(A));

L=D-tril(A);

U=D-triu(A);

x=zeros(size(b));

for it=1:500

x=(D-w*L)\(w*b+(1-w)*D*x+w*U*x);

error=norm(b-A*x)/norm(b);

if (error

break;

end

10.二分法：

1. 先要定义所求的函数:

function v=f(x)

v=x^3-x-1;

end

2. 二分法程序如下:

function [x,it]=erfengfa(a,b,f,tol)

fa=feval(f,a);

fb=feval(f,b);

it=0;

while abs(b-a)＞tol,

it=it+1;

x=a/2+b/2;

fx=feval(f,x);

if sign(fx)==sign(fa),

a=x;fa=fx;

else

b=x;fb=fx;

end

11. 牛顿法：

1.先定义函数后进行编程的方法

先需要定义不动点函数

需要计算的函数f

function v = f( x )

v=x^5-3*x-10;

end

需要计算的函数的导数g

function v = g( x )

v=5*x^4-3;

end

2. 再定义编程:

function v = newton(a,f,g,maxit,tol)

it=0;

x=a;

while it＜=maxit & abs(feval(f,x))＞tol,

it=it+1;

x=x-feval(f,x)/feval(g,x);

end

v=[x,it];

end

12. 牛顿下山法：

1.先定义函数后进行编程的方法

先需要定义不动点函数

需要计算的函数f

function v = f(x)

v=x^2+sin(10*x)-1

end

需要计算的函数的导数g

function v =g(x)

v = 2*x+10*cos(10*x)

end

2. 再定义编程1:

function v = newtonxiashang(x0,f,g,maxit,tol)

x=x0;

it=0;

while it＜=maxit & abs(feval(f,x))＞tol,

it=it+1;

d=-feval(f,x)/feval(g,x);

lambda=1;

isdone=0;

while ~isdone,

xn=x+lambda*d;

if abs(feval(f,xn))

isdone=1;

else lambda=lambda*0.5;

end

x=xn;

end

v=[x,it];

end

3. 再定义编程2:

function v = newtonxiashang2(x0,f,g,maxit,tol)

x=x0;

it=0;

while it＜=maxit & abs(feval(f,x))＞tol,

it=it+1;

d=-feval(f,x)/feval(g,x);

lambda=1;

while abs(feval(f,x+lambda*d))＞=abs(feval(f,x)),

lambda=0.5*lambda;

end

x=x+lambda*d;

end

v=[x,it];

end

13. 割线法

1.先定义函数后进行编程的方法

先需要定义函数

需要计算的函数f

function v = f( x )

v=x^5-3*x-10;

end

2. 再定义编程:

function v = gexian(a,b,f,maxit,tol)

it=0;

x0=a;

x=b;

while it＜=maxit & abs(feval(f,x))＞tol,

it=it+1;

xt=x-feval(f,x)/(feval(f,x)-feval(f,x0))*(x-x0);

x0=x;

x=xt;

end

v=[x,it];

end

输入:

＞＞ gexian(1,2,'f',100,1e-5)

ans =

1.7226 7.0000

14. 乘幂法

function [t,y] = chenmifa( a,xinit,ep )

v0=xinit;

[tv ti]= max(abs(v0));

lam0=v0(ti);

u0=v0/lam0;

flag=0;

while (flag==0)

v1=a*u0;

[tv ti]= max(abs(v1));

lam1=v1(ti);

u0=v1/lam1;

if (abs(lam0-lam1)＜=ep)

flag=1;

end

lam0=lam1;

end

t=lam1;

y=u0;

end

运行及其结果:

＞＞ a=[2,3,2;10,3,4;3,6,1];

＞＞ xinit=[1 1 1]';

＞＞ ep=0.0001;

＞＞ [t y]=chenmifa(a,xinit,ep)

t =

11.0000

y =

0.5000

1.0000

0.7500

15. 反幂法

function [t y] =fanmifa( a,xinit,ep )

v0=xinit;

[tv ti]= max(abs(v0));

lam0=v0(ti);

u0=v0/lam0;

flag=0;

while (flag==0)

v1=a^-1*u0;

[tv ti]= max(abs(v1));

lam1=v1(ti);

u0=v1/lam1;

if (abs(lam0^-1-lam1^-1)＜=ep)

flag=1;

end

lam0=lam1;

end

t=lam1^-1;

y=u0;

end

运行提示：

＞＞ a=[12 6 -6;6 16 2;-6 2 16];

＞＞xinit=[1 -0.5 0.5]'；

＞＞ [t y] =fanmifa( a,xinit,0.0001 )

t =

4.4560

y =

1.0000

-0.6287

0.6287

16. 结合原点平移反幂法

function [t y] =yuandian( a,p,xinit,ep )

[n n]=size(a);

v0=xinit;

[tv ti]= max(abs(v0));

lam0=v0(ti);

u0=v0/lam0;

flag=0;

while (flag==0)

v1=(a-p*eye(n))^-1*u0;

[tv ti]= max(abs(v1));

lam1=v1(ti);

u0=v1/lam1;

if (abs(lam0^-1-lam1^-1)＜=ep)

flag=1;

end

lam0=lam1;

end

t=lam1^-1+p;

y=u0;

end

运行结果:

＞＞ a=[6 2 1;2 3 1;1 1 1];

＞＞ p=6;

＞＞ ep=0.0001;

＞＞ xinit=[1 1 1]';

＞＞ [t y]=yuandian(a,p,xinit,ep)

t =

7.2880

y =

1.0000

0.5229

0.2422

17. 欧拉公式初值问题

1. 先定义导数函数f：

function v = f( x,y)

v=-y+x+1;

end

2. 定义欧拉公式编程：

function [x,y] = oula( f,y0,a,b,n )

y(1)=y0;

h=(b-a)/n;

x=a:h:b;

for i=1:n;

y(i+1)=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i));

end

18. 改进的欧拉公式初值问题

1. 先定义导数函数f：

function v = f( x,y)

v=-y+x+1;

end

要先运行一下。

2. 定义欧拉公式编程：

function [x,y] =gaijingoula(f,y0,a,b,n)

y(1)=y0;

h=(b-a)/n;

x=a:h:b;

for i=1:n;

yp=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i));

yc=y(i)+h*feval(f,x(i+1),yp);

y(i+1)=0.5*(yc+yp);

end

19. 梯形公式初值问题

1. 先定义导数函数f：

function v = f( x,y)

v=-y+x+1;

end

要先运行一下。

2. 定义欧拉公式编程：

function [x,y] = tixing( f,y0,a,b,n )

y(1)=y0;

h=(b-a)/n;

x=a:h:b;

for i=1:n;

y(i+1)=1/(0.5*h+1)*(y(i)+0.5*h*(feval(f,x(i),y(i))+x(i+1)+1));

end

20. 标准四阶四段龙格库塔公式初值问题

1. 先定义导数函数f：

function v = f( x,y)

v=y+x;

end

要先运行一下。

2. 定义欧拉公式编程：

function [x,y] = longgekuta(f,y0,a,b,n)

y(1)=y0;

h=(b-a)/n;

x=a:h:b;

for i=1:n,

k1=h*feval(f,x(i),y(i));

k2=h*feval(f,x(i)+0.5*h,y(i)+0.5*k1);

k3=h*feval(f,x(i)+0.5*h,y(i)+0.5*k2);

k4=h*feval(f,x(i)+h,y(i)+k3);

y(i+1)=y(i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

end

21. 基本问题

1. 特征值:

eig(A)

2. 数值显示位数：

＞＞ format long

＞＞ format short

3. 左除和右除：

AX=B，则X=A\B；左除\

XB=A，则X=A/B；右除/ (右除是真除)

4. 特殊符号

In(x)=log(x)

根号用sqrt(x)

5.绘图功能

Plot(x,y,style)

＞＞x=0:0.5:10;

＞＞y=x;

＞＞hold on;

＞＞plot(x,y,’g+:’)

后面style的意义：

y,g,r,b分别指颜色黄色、绿色、红色、蓝色；

o * + p 代表节点的形状，圆形、*号、+号、五角星；

--、-、：代表线型，分别为虚线、线段、点线

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