第二篇：20xx年上海地区高二数列部分易错点分析、总结及练习6
《数列》易错点归纳整理
【易错点1】已知
求
时, 易忽略n＝１的情况．
例1．数列
前n项和
且
。（1）求
的值及数列的通项公式。
【易错点分析】此题在应用与的关系时误认为
对于任意n值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。易得出数列为等比数列的错误结论。
解析：易求得
。由得
故
得
又
，
故该数列从第二项开始为等比数列故
。
【知识点归类点拔】对于数列与之间有如下关系：
利用两者之间的关系可以已知求。但注意只有在当
适合
时两者才可以合并否则要写分段函数的形式。
【练1】（2004全国理）已知数列满足
则数列的通项为 。
答案：（将条件右端视为数列
的前n-1项和利用公式法解答即可）
【易错点2】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）
例2、等差数列的首项
，前n项和，当
时，
。问n为何值时最大?
【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。
解析：由题意知=
此函数是以n为变量的二次函数，因为，当时，故
即此二次函数开口向下，故由
得当
时
取得最大值，但由于
，故若
为偶数，当
时，最大。
当为奇数时，当
时最大。
【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如
所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此时由
知数列中的点
是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n项和
所对应的数列必为一等比数列的前n项和。
【练2】设是等差数列，是前n项和，且
，
，则下列结论错误的是（）A、B、
C、
D、
和
均为的最大值。
答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）
【易错点3】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。
例3、已知关于的方程
和
的四个根组成首项为
的等差数列，求
的值。
【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。
解析：不妨设是方程的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程的另一根是此等差数列的第四项，而方程的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：
故
从而=
。
【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列
，若
，则
；对于等比数列，若
，则
；若数列
是等比数列，
是其前n项的和，
，那么
，
，
成等比数列；若数列是等差数列，
是其前n项的和，
，那么
，
，
成等差数列等性质要熟练和灵活应用。
【练3】已知方程
和
的四个根组成一个首项为
的等差数列，则
=（） A、1 B、 C、
D、
答案：C
【易错点4】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况
例4、数列
中，
，
，数列
是公比为
（
）的等比数列。
（I）求使
成立的的取值范围；（II）求数列的前
项的和
．
【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列是公比为（）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。
解：（I）∵数列是公比为的等比数列，∴
，
，由
得
，即
（），解得
．
（II）由数列是公比为的等比数列，得
，这表明数列的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是，又，，∴当
时，
，当
时，
．
【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中
是解题的关键，这种给出数列的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。
【练4】设等比数列的公比为q，前n项和
（1）求q的取值范围。
答案：
【易错点5】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。
例5．（2003北京理）已知数列是等差数列，且
（1）求数列的通项公式（2）令
求数列
前项和的公式。
【思维分析】本题根据条件确定数列的通项公式再由数列的通项公式分析可知数列是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。
解析：（1）易求得
（2）由（1）得
令
（Ⅰ）则
（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得
当
当
时
综上可得：
当当时
【知识点归类点拔】一般情况下对于数列
有
其中数列和分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。
【练5】已知
当
时，求数列的前n项和
答案：
时
当
时
.
【易错点6】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。
例6、求
…
．
【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。
解：由等差数列的前
项和公式得
，∴
，取
，
，
，…，就分别得到
，…，∴
．
【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求
，方法还是抓通项，即
，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：
，求其前项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
【练6】求和
＋
＋
＋…＋
．
答案：
…
＝
．
【易错点7】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。
例7、（20##年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若首项
，公差
，求满足
的正整数k；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立.
【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)时极易根据条件“对于一切正整数k都有成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。
解：（I）当
时
由
，即 
又
.
（II）设数列{an}的公差为d，则在
中分别取k=1,2,得
由（1）得 
当
若
成立 ,
若
故所得数列不符合题意.当
若
若
.
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{an} : an=0，即0，0，0，…；②{an} : an=1，即1，1，1，…； ③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…，
【知识点归类点拔】事实上，“条件中使得对于一切正整数k都有成立.”就等价于关于k的方程的解是一切正整数又转化为关于k的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。
【练7】已知数列,其中
,且数列
为等比数列.求常数p
答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p的方程，再说明p值对任意自然数n都成立）