对数与对数函数
1.对数
（1）对数的定义：
如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.
（2）指数式与对数式的关系：ab=N
logaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
（3）对数运算性质:
①loga（MN）=logaM+logaN.
②loga
=logaM－logaN.
③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）
④对数换底公式：logbN=
（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.
2.对数函数
（1）对数函数的定义
函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.
注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1
在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）
（2）对数函数的图象
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
（3）对数函数的性质:
①定义域：（0，+∞）.
②值域：R.
③过点（1，0），即当x=1时，y=0.
④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.
基础例题
1.函数f（x）=|log2x|的图象是?
2.若f－1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f－1（x）的值域为___________________.
3.已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log
（3－x）］的定义域是__________.
4.若logx
=z，则x、y、z之间满足
A.y7=xz B.y=x7z
C.y=7xz D.y=zx
5.已知1＜m＜n，令a=（lognm）2，b=lognm2，c=logn（lognm），则
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.c＜a＜b
6.若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于
A.
B.
C.
D.
7.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于 (x=-2非解)
A. B.－ C.2 D.－2
8.函数f（x）=log2|x|，g（x）=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是
9.设f －1（x）是f（x）=log2（x+1）的反函数，若［1+ f －1（a）］［1+ f －1（b）］=8，则f（a+b）的值为
A.1 B.2 C.3 D.log23
10.方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.
典型例题
【例1】 已知函数f（x）=
则f（2+log23）的值为
A.
B.
C.
D.
【例2】 求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.
【例3】 已知f（x）=log
［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间.
【例4】已知y=loga（3－ax）在［0，2］上是x的减函数，求a的取值范围.
【例5】设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和
g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.
【例6】 求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值.
【例7】 在f1（x）=x
，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=logx四个函数中，x1＞x2＞1时，能使［f（x1）+f（x2）］＜f（
）成立的函数是
A.f1（x）=x (平方作差比较) B.f2（x）=x2
C.f3（x）=2x D.f4（x）=logx
探究创新
1.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.
（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；
（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？
2.已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y= f－1（x）图象上的点.
（1）求实数k的值及函数f－1（x）的解析式；
（2）将y= f－1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数
y=g（x）的图象，若2 f－1（x+
－3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.
第二篇：对数函数知识点及典型例题讲解
对数函数知识点
1．对数：
(1) 定义：如果
，那么称 为 ，记作 ，其中
称为对数的底，N称为真数.
① 以10为底的对数称为常用对数，
记作___________．
② 以无理数
为底的对数称为自然对数，
记作_________．
(2) 基本性质：
① 真数N为 (负数和零无对数)；② 
；③ 
；
④ 对数恒等式：
．
(3) 运算性质：
① loga(MN)＝___________________________；
② loga
＝____________________________；
③ logaMn＝ (n∈R).
④ 换底公式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)
⑤ 
.
2．对数函数：
① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；
4) 函数
与函数 
互为反函数.
② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当
时，图象向上无限接近y轴；当
时，图象向下无限接近y轴)；
4) 函数y＝logax与 的图象关于x轴对称．
③ 函数值的变化特征：
例1 计算：（1）
（2）2(lg
)2+lg·lg5+
;
（3）
lg
-
lg
+lg
.
例2 比较下列各组数的大小.
（1）log3
与log5
;（2）log1.10.7与log1.20.7;
（3）已知log
b＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.
例3已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，
试求a的取值范围.
函数y=log2x的图象交于C、D两点.
例4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行与
（1）证明:点C、D和原点O在同一直线上；
（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
1解：（1）方法一 利用对数定义求值
设=x,则(2+
)x=2-=
=（2+）-1,∴x=-1.
方法二 利用对数的运算性质求解
=
=(2+)-1=-1.
（2）原式=lg（2lg+lg5）+
=lg(lg2+lg5)+|lg-1|=lg+(1-lg)=1.
（3）原式=（lg32-lg49）-lg8
+lg245= (5lg2-2lg7)-×
+ (2lg7+lg5)
=
lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(2×5)= lg10=.
2解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5.
(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞
,∴
,
即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.
方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.
(3)∵y=
为减函数，且
,∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.
3解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.
只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,
∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数，
∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.∴对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，
只要-loga3≥1成立即可，∴loga3≤-1=loga
,即≤3,∴
≤a＜1.
综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）.
例4（1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x1＞1,x2＞1,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.
因为A、B在过点O的直线上，所以
点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),
由于log2x1=
=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=
,
OD的斜率为
由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.
（2）解： 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1,又因x1＞1,解得x1=,于是点A的坐标为（，log8).
训练1：化简求值.
（1）log2
+log212-log242-1;
（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;
（3）(log32+log92)·(log43+log83).
训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga
的大小关系是 （ ）
A.loga
B.
C.
D.
训练3：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.
训练4：已知函数f(x)=log2
+log2(x-1)+log2(p-x).（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x)的值域.
1解：(1)原式=log2
+log212-log2
-log22=log2
（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.
（3）原式=(
2解： C
3解：令g(x)=x2-ax-a,
则g(x)=（x-
）2-a-
,由以上知g(x）的图象关于直线x=对称且此抛物线开口向上.
因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1,在区间（-∞,1-］上是减函数，
所以g(x)=x2-ax-a在区间（-∞,1-］上也是单调减函数，且g(x)＞0.
∴
解得2-2≤a＜2.
故a的取值范围是{a|2-2≤a＜2}.
4解：（1）f(x)有意义时，有
由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).
（2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］=log2［-（x-
）2+
］ (1＜x＜p),
①当1＜＜p，即p＞3时，0＜-(x-
,∴log2
≤2log2(p+1)-2.
②当≤1，即1＜p≤3时，∵0＜-(x-
∴log2
＜1+log2(p-1).
综合①②可知：当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).
1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.
2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.
3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.
4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.