高中数学 选修2－3知识点

第一章 计数原理

知识点：

1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。

3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取．．．．．．

出m个元素的一个排列

4、排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号Anm表示。

A?n(n?1)?(n?m?1)?

5、公式：

，

mmn!(n?m)!(m?n,n,m?N) An?1?An?Am?Cm?1mmmm?1n?An?mAmm?1n

6、组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

mAn)1?(n(??1n!n!Ann(n(?n1?)?nm?m?)1)mm7、公式：CC??m?CC?nnmm!m!m!m(nm)!Am!(?n?m)!AmmmnnmAn?nAn?1

Cmn?m

n?Cn;

C

rn?rrnnm?1mmn?Cn?Cn?1

8、二项式定理： (a?b)?Ca?Cab?Cab????Cab??Cbnnnnn

rn?rrn0n1n?12n?229、二项式通项公式 开式的通项公式：T?Cab(r?0，1??n)r?1n

考点：1、排列组合的运用

2、二项式定理的应用

★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。某校高一新生中的五名同 学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团。若

每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同

学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为

A．72 B．108 C．180

（ ） D．216

★★2．在(x?1

3x)24的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有 （ ）

A．3项 B．4项 C．5项 D．6项

★★3．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是

A．420 B．560 C．840 D．20160

★★4．把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为

182★★5．(x?)的展开式中x的系数为 （ ） x

A．-56 B．56 C．-336 D．336

第二章 随机变量及其分布

知识点：

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn

X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

4、分布列性质① pi≥0, i =1，2， ? ；② p1 + p2 +?+pn= 1．

5、二项分布：如果随机变量X的分布列为：

其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布

6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，

则它取值为k时的概率为P(X?k)?CMCN?M

CNnkn?k(k?0,1,2,?,m)，

*其中m?min?M,n?,且n≤N,M≤N,n,M,N?N

7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率

8、公式：

P(B|A)?P(AB)

P(A),P(A)?0.

9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。P(A?B)?P(A)?P(B)

10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中 P(??k)?Cnpqkkn?k（其中 k=0,1, ??,n，q=1-p ）

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数

12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋?＋xnpn＋? 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。

13、两点分布数学期望：E(X)=np

14、超几何分布数学期望：E（X）=n?M

N.

15、方差:D(ξ)=(x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2 +......+（xn-Eξ)2·Pn 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。

16、集中分布的期望与方差一览：

17.正态分布：

若概率密度曲线就是或近似地是函数

f(x)?

12???(x??)2?22e,x?(??,??)

（??0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 的图像，其中解析式中的实数?、?

则其分布叫正态分布记作：N(?,?)，f( x )的图象称为正态曲线。

18.基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

②曲线关于直线x=?对称，且在x=?时位于最高点.

③当时x??，曲线上升；当时x??，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

④当?一定时，曲线的形状由?确定．?越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.

⑥正态曲线下的总面积等于1.

19. 3?原则：

从上表看到,正态总体在 (??2?,??2?) 以外取值的概率 只有4.6%,在 (??3?,??3?)以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

考点：1、概率的求解

2、期望的求解

3、正态分布概念

★★★1．(本小题满分12分)某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可以继续参加科目B 的考试。每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目A成绩合格的概率均为

概率均为

23，每次考科目B成绩合格的12。假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试

的次数为X。

(1)求X的分布列和均值；

(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。

★★★2（本小题满分12分）

济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是

0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设?表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。

（1）求?=0对应的事件的概率； （2）求?的分布列及数学期望。

★★★3. 袋子中装有8个黑球，2个红球，这些球只有颜色上的区别。

（1）随机从中取出2个球，?表示其中红球的个数，求?的分布列及均值。

（2）现在规定一种有奖摸球游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖，第一个奖100元，第二个奖200元，?，第k个奖k?100元，取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球，按照这种规则，取球多少次比较适宜？说明理由。

第三章 统计案例

知识点：

1、独立性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为：

x1

x2

总计 y1 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较

精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方） K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。

K2≤3.841时，X与Y无关； K2>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能性有关

2、回归分析

??a?bx 回归直线方程y

其中b??xy?

21?x

考点：无 ?n1?x?2y?n(?x)?(x?)(y??(x?)2)SP?, a??b SSx

第二篇：高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(文)

平面向量

【基本概念与公式】       【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量：既有大小又有方向的量。记作：或。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。

3.单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则。

4.零向量：长度为0的向量。记作：。【方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。。

8.三角形法则：

；；（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。

10.共线定理：。当时，同向；当时，反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若，则，，

13.数量积与夹角公式：；  

14.平行与垂直：；

题型1.基本概念判断正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是。

（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若与共线， 与共线，则与共线。

（8）若，则。

（9）若，则。

（10）若与不共线，则与都不是零向量。

（11）若，则。

（12）若，则。

题型2.向量的加减运算

1.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则         。

2.化简           。

3.已知,,则的最大值和最小值分别为     、     。

4.已知的和向量，且，则      ，      。

5.已知点C在线段AB上，且,则   ，   。

题型3.向量的数乘运算

1.计算：（1）         （2）

2.已知，则            。

题型4.作图法球向量的和

已知向量，如下图，请做出向量和。

      

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在中，是的中点，请用向量表示。

2.在平行四边形中，已知，求。

题型6.向量的坐标运算

1.已知，，则点的坐标是            。

2.已知，，则点的坐标是            。

3.若物体受三个力,,,则合力的坐标为      。

4.已知，，求，，。

5.已知,向量与相等，求的值。

6.已知，，，则                。

7.已知是坐标原点，，且，求的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.   B.   C.   D.

2.已知，能与构成基底的是（     ）

A.   B.   C.   D.

题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。

2.已知是原点，点在第一象限，，，求的坐标。

题型9.求数量积

1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），

（3），（4）。

2.已知，求（1），（2），（3），（4）。

题型10.求向量的夹角

1.已知，，求与的夹角。

2.已知，求与的夹角。

3.已知，，，求。

题型11.求向量的模

1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）。

2.已知，求（1），（5），（6）。

3.已知，，求。

题型12.求单位向量           【与平行的单位向量：】

1.与平行的单位向量是            。

2.与平行的单位向量是            。

题型13.向量的平行与垂直

1.已知，，当为何值时，（1）？（2）？

2.已知，，（1）为何值时，向量与垂直？

（2）为何值时，向量与平行？

3.已知是非零向量，，且，求证：。

题型14.三点共线问题

1.已知，，，求证：三点共线。

2.设，求证：三点共线。

3.已知，则一定共线的三点是       。

4.已知，，若点在直线上，求的值。

5.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使成立？

题型15.判断多边形的形状

1.若，，且,则四边形的形状是          。

2.已知，，，，证明四边形是梯形。

3.已知，，，求证：是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用

1.已知，，当为何值时，向量与平行？

2.已知，且，，求的坐标。

3.已知同向，，则，求的坐标。

3.已知，，，则         。

4.已知，，，请将用向量表示向量。

5.已知，，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；

（2）若与的夹角为锐角，求的范围。

6.已知，，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与的夹角为锐角？

7.已知梯形的顶点坐标分别为，，，且，，求点的坐标。

8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标。

9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度与船的实际速度。

10.已知三个顶点的坐标分别为，，，

（1）若，求的值；（2）若，求的值。

【备用】

1.已知，求和向量的夹角。

2.已知，，且，，求的夹角的余弦。

1.已知，则        。

4.已知两向量，求当垂直时的x的值。

5.已知两向量，的夹角为锐角，求的范围。

变式：若，的夹角为钝角，求的取值范围。

选择、填空题的特殊方法：

1.代入验证法

例：已知向量，则（    ）

A.   B.  C.  D.

变式：已知，请用表示。

2.排除法

例：已知M是的重心，则下列向量与共线的是（   ）

A.   B.  C.  D.

广东省近八年高考试题-平面向量（文科）

1. (2007年高考广东卷第4小题)若向量满足，与的夹角为，则（     ）

Ａ．         Ｂ．         Ｃ．         Ｄ．2

2.(2008年高考广东卷第3小题)已知平面向量=（1，2），=（－2，m），且∥，则2 + 3 =（     ）

A. （－5，－10）   B. （－4，－8）     C. （－3，－6）     D. （－2，－4）

3.(2009年高考广东卷第3小题)已知平面向量a= ，b=， 则向量 （  C   ）

A平行于轴              B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于轴             D.平行于第二、四象限的角平分线 

4.(2010年高考广东卷第5小题)若向量=（1,1），=（2,5），=(3,x)满足条件 (8－)·=30，

则= (    )     A．6    B．5      C．4      D．3

5.(2011年高考广东卷第3小题)已知向量．若为实数, (    )     A．         B.        C.1        D. 2

6.(2012年高考广东卷第3小题)若向量，则(   )

   A．     B．     C．      D．

7.(2012年高考广东卷第10小题) 对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则(     )

A．         B．        C．         D．

8.(2013年高考广东卷第10小题)设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：(   )

①给定向量，总存在向量，使；

②给定向量和，总存在实数和，使；

③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；

④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；

上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是

A．1              B．2               C．3            D．4

9.（2014广东高考数学文科3）．已知向量，，则

A．        B．        C．        D．