新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析
u 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )
v 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 
在
次实验中发生了
次，当实验的次数很大时，我们称事件A发生的概率为
说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
w概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件 ，有
② 
③如果事件
x 古典概率（Classical probability model）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个，则每一个基本事件发生的概率都是
，如果某个事件包含了其中的个等可能的基本事件，则事件发生的概率为 
y 几何概型（geomegtric probability model）：一般地，一个几何区域
中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域
内”为事件，则事件发生的概率为
（ 这里要求的侧度不为0，其中侧度的意义由确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）
几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多
颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域内随机地取点，指的是该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。
z互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，事件的对立事件 记为：
{独立事件的概率：
，
若
颜老师说明：① 若
可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件
是互斥事件，则有
⑦ 一般地，如果 
两两互斥，则有
⑧ 
⑨ 在本教材中
指的是 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题
|例题选讲：
例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？
【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法
解法1：（互斥事件）设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为 意义为“选取2个球都是其它颜色球”
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 
.
解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有
种情况，设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，而事件所含有的基本事件数有
所以
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .
解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：
， 则有 
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .
评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!
变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？
解法1：（互斥事件）设事件 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为， 意义为“选取3个球都是白球”
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 
.
解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有
种情况，设事件 为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件所含有的基本事件数有
， 所以 
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .
解法3：（独立事件概率）设事件 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件的情况如下：
红 白 白 
1红2白 白 白 红 
白 红 白 
红 红 白 
2红1白 红 白 红 
白 红 红 
所以 
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .
变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：
（1）第1次抽到的是次品
（2）抽到的2次中，正品、次品各一次
解：设事件为“第1次抽到的是次品”， 事件
为“抽到的2次中，正品、次品各一次”
则 
，
（或者
）
答：第1次抽到的是次品的概率为
，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为
变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？
【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来
解：设事件为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件为“至少1人抽到选择题”，则
为“两人都抽到填空题”
（1）
（2）
则 
答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 
，少1人抽到选择题的概率为 .
变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不放回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？
【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，要么是1黄1球
略解:
变式训练5：设盒子中有6个球，其中4个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到1个红球1个白球的概率是多少？
略解: 
例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？
【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量
解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1千米的正方形为区域 ，事件“发放急救物品无效”为 ，距离水池10米范围为区域 ，即为图中的阴影部分， 则有
答：略
颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用
几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域
之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一
般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个网格，分析是同样的
变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚
硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？
略解：
变式训练2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是
, 现有一直径等于
的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？
【分析】
因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点
只要圆心到网格线的距离小于等于半径
解：如图，正三角形
内有一正三角形 
，其中
，
当圆心落在三角形 之外时，硬币与网格有公共点
答：硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82 .
变式训练3：如图，已知矩形
的概率？
略解：
变式训练4：平面上画了彼此相距2a的平行线把一枚半径r < a的
硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相
碰的概率？
解：设事件为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币
的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线
，垂足
为
， 线段的长度的取值范围为
，其长度就是
几何概型所有的可能性构成的区域的几何测度，只有当
时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足
事件 的区域的几何测度，所以
答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为
【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域和区域，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。
蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为
（
） ，
向平面内任意的投掷一枚长为
的针，求针与平行线相交的概率？
解：以
表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以
表示针与此直线的交角，如图易知
，有这两式可以确定
平面上的一个矩形
，这是为了针与平行线相交，其充要条件为
，有这个不等式表示的区域为图中的阴影部分，由等可能性知 
如果
，而关于
的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，既: 如果 投针N 次，其中平行线相交的次数为n次，则频率为
，于是，
注释：这也是历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出
. 在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算 ，如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求 的.
会面问题：甲乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？
解：设“两人能会面”为事件，以 x和y分别表示
甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充
要条件为： 
在平面上建立如图所示的
坐标系，则
的所有可能的结果是边长为60的
正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，
由几何概型知，
答：两人能会面的概率
.
◆课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形中，在斜边
上任取一点，求
的概率？
【分析】点随机的落在线段上，故线段为区域
，当点位于如图的
内时，故线段
即为区域
解: 在上截取
，于是
答：的概率为
【变式训练】如图，在等腰直角三角形中，在
内部任意作一条射线
，与线段交于点，求的概率？
错解：在上截取 ，在内部任意作一条射线，满足条件的看作是在线段上任取一点，则有
【分析】这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思，我们再看看题目的条件已经发生了改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取得一点所作的射线是均匀的，所以不能把等可能的取点看作是等可能的取射线，在确定基本事件时一定要注意观察角度， 注意基本事件的等可能性.
正解：在内的射线是均匀分布的，所以射线作在任何位置都是等可能的，在上截取 ，则
，故满足条件的概率为
评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域和，求出其测度，再利用几何概型来求概率.
例3. 利用随机模拟法计算曲线
所围成的图形的面积.
【分析】在直角坐标系中作出长方形（
所围成的部分，用随机模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值）
解：（1）利用计算机或者计算器生成两组0到1区间上
的随机数，
（2）进行平移变换：
，其中
分
别随机点的横坐标和纵坐标
（3）假如作
次试验，数处落在阴影部分的点数
，
用几何概型公式计算阴影部分的面积
由 
得出 
评价：这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型
公式来计算若干函数围成的图形面积，其基本原理还是
利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另外要求我们理解用试验的频率来近似概率的思想.
另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：
