知识点回顾

1、分解因式的概念：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

2、分解因式与整式乘法的关系：互为逆运算。

3、分解因式的注意事项：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

4、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

5、完全平方公式：(a土b)2=a2土2ab+b2

考点难点

     a. 分组分解法

    在分解因式时，有时为了创造应用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，进行因式分例题精讲：

分组时，要注意各项的系数以及各项次数之间的关系，这一点可以启示我们对下一步分解的预测是提公因式还是应用公式等。

b. 用整体思想分解因式在分解因式时，要建立一种整体思想和转化的思想。

c.对结果要检验（1）看是否丢项（2）看能否再次提公因式或用公式法进行分解，分解到不能分解为止。

分解因式常用方法

一、提公因式法.

    如多项式

二、运用公式法.

运用公式法，即用   

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：         例2、分解因式：

（二）分组后能直接运用公式

例3、

 四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

     （2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

（二）二次项系数不为1的二次三项式——

（2）

解：原式=

        =

九、待定系数法。

例7、分解因式

分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为

解：设=

∵=

∴=

对比左右两边相同项的系数可得，解得

∴原式=

例8、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。

      （2）如果有两个因式为和，求的值。

（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为

解：设=

    则=

比较对应的系数可得：，解得：或

∴当时，原多项式可以分解；

当时，原式=；

当时，原式=

（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。

解：设=

    则=

∴，解得，

∴=21

分解因式练习题：

 （1）直接用公式。

若是完全平方式，则的值等于_____。

若=，则m=_______，n=_________。

若的值为0，则的值是________。

若则___      。

（2）提公因式后用公式。如：ab2－a＝a（b2－1）＝a（b+1）（b－1）

（3）整体用公式。

l    

（4）连续用公式。如：

 （5）化简后用公式。（a＋b）2－4ab      

（6）变换成公式的模型用公式。如：

                  x9+x6+x3-3

（7）换元法(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1        

(x+3)(x2-1)(x+5)-20         (x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90 

       

计算：分解因式

                                  

                 

               

综合应用——————化简求值：

1、若x、y互为相反数，且，求x、y的值

2、已知1+x+x2+x3=0. 求1+x2+x2....................+x2008的值

3、若+(x-1)(x+3)(x-4)(x+8)+m是完全平方式，求m的值

4、已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。

5、5、为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

6、6、不解方程组　求­的值．

第二篇：因式分解方法总结及练习

解不等式：（3x-4）2＞（－4+3x）（3x+4）

解方程：(x-7)(x+9)+2x(x-5)=(3x-4)(x-1)

－a3·a4·a＋(a2)4＋(－a4)2            (－3x2y)3·(－2xy3z)2

 (5a2b－3ab－1)(－3a2)        3a2－2a(5a－4b)－b(3a－b)   

 6x2－(x－1)(x＋2)－2(x－1)(x＋3)     

(0.16mn4-0.6m2n3+1.4mn3)÷(-mn3)

        （a+4b-3c）（a-4b-3c）

79.8×80.2                    

                  

待定系数法(因式分解)

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

解　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3

　　=(x+2y+m)(x+y+n)

　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

　　比较两边对应项的系数，则有

　　解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

　例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．

解 设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

　　　　=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，

　　所以有

　　由bd=7，先考虑b=1，d=7有

　　所以

　　原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

求根法(因式分解)

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

分解： 

解：

例1、

所以

十字相乘法(因式分解)

双十字相乘法

　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

　　-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

　　例1 分解因式：

　　(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

　　(2)x2-y2+5x+3y+4；

　　(3)xy+y2+x-y-2；

　　(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

　利用非负数的性质求值

　　若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．

　　例1 、若x2-4x+|3x-y|=-4，求的值．

　　

　　例2、未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0， 其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．

　　

练习

1．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．

　　2．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．

　　

　　3．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．

　　

4．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．

5．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值．

分解因式

；         ；        ；        ；

                            

                  

                        

；           ；         

；         ；         ．

；          ；         ；

；                ；

．